Δίνεται η πυκνότητα κατανομής της τυχαίας μεταβλητής x. Προσδοκία συνεχούς τυχαίας μεταβλητής

………………………………………………………

Аn - η τυχαία μεταβλητή X έχει πάρει την τιμή An.

Είναι προφανές ότι το άθροισμα των γεγονότων A1 A2, . , Το An είναι ένα αξιόπιστο συμβάν, αφού η τυχαία μεταβλητή πρέπει να λάβει τουλάχιστον μία από τις τιμές x1, x2, xn.

Επομένως P (A1 È A2 È . È An) = 1.

Επιπλέον, τα συμβάντα A1, A2, ., An είναι ασυνεπή, καθώς μια τυχαία μεταβλητή κατά τη διάρκεια ενός πειράματος μπορεί να λάβει μόνο μία από τις τιμές x1, x2, ., xn. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα πρόσθεσης για ασύμβατα γεγονότα, λαμβάνουμε

P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,

δηλ. p1+p2+. +pn = 1 ή, εν συντομία,

Επομένως, το άθροισμα όλων των αριθμών που βρίσκονται στη δεύτερη σειρά του Πίνακα 1, που δίνει τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X, πρέπει να είναι ίσο με ένα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Έστω η τυχαία μεταβλητή X ο αριθμός των πόντων που αποκτήθηκαν κατά τη ρίψη ενός ζαριού. Βρείτε τον νόμο κατανομής (σε μορφή πίνακα).

Η τυχαία μεταβλητή Χ παίρνει τιμές

x1=1, x2=2, … , x6=6

με πιθανότητες

р1= р2 = … = р6 =

Ο νόμος διανομής δίνεται από τον πίνακα:

πίνακας 2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.Διωνυμική κατανομή. Ας εξετάσουμε μια τυχαία μεταβλητή Χ - τον αριθμό των εμφανίσεων του γεγονότος Α σε μια σειρά ανεξάρτητων πειραμάτων, σε καθένα από τα οποία το Α εμφανίζεται με πιθανότητα p.

Η τυχαία μεταβλητή X μπορεί προφανώς να λάβει μία από τις ακόλουθες τιμές:

0, 1, 2, ., k, ., n.

Η πιθανότητα του γεγονότος ότι η τυχαία μεταβλητή X θα λάβει τιμή ίση με k καθορίζεται από τον τύπο Bernoulli:

Рn(k)= όπου q=1- р.

Αυτή η κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής ονομάζεται διωνυμική κατανομή ή κατανομή Bernoulli. Η κατανομή Bernoulli καθορίζεται πλήρως από δύο παραμέτρους: τον αριθμό n όλων των πειραμάτων και την πιθανότητα p με την οποία συμβαίνει ένα γεγονός σε κάθε μεμονωμένο πείραμα.

Η συνθήκη για τη διωνυμική κατανομή έχει τη μορφή:

Για να αποδειχθεί η εγκυρότητα αυτής της ισότητας αρκεί στην ταυτότητα

(q+px)n=

βάλε x=1.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.Κατανομή Poisson. Αυτό είναι το όνομα της κατανομής πιθανότητας της φόρμας:

Р(k)= .

Καθορίζεται από μία μόνο (θετική) παράμετρο α. Εάν το ξ είναι μια τυχαία μεταβλητή με κατανομή Poisson, τότε η αντίστοιχη παράμετρος a είναι η μέση τιμή αυτής της τυχαίας μεταβλητής:

a=Mξ=, όπου M είναι η μαθηματική προσδοκία.

Η τυχαία μεταβλητή είναι:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.Εκθετική κατανομή.

Αν ο χρόνος είναι τυχαία μεταβλητή, ας τη συμβολίσουμε με τ, έτσι ώστε

όπου 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.

Η μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής t είναι:

Η πυκνότητα κατανομής έχει τη μορφή:

4) Κανονική κατανομή

Έστω ανεξάρτητες, πανομοιότυπα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές και ας Εάν οι όροι είναι αρκετά μικροί και ο αριθμός n είναι αρκετά μεγάλος, εάν για n à ∞ η μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής Mξ και η διακύμανση Dξ ίση με Dξ=M(ξ–Mξ)2 είναι τέτοια ώστε Mξ~a, Dξ ~σ2, λοιπόν

- κανονική ή Gaussian κατανομή

.

5) Γεωμετρική κατανομή. Ας υποδηλώσουμε με ξ τον αριθμό των δοκιμών που προηγούνται της έναρξης της πρώτης «επιτυχίας». Αν υποθέσουμε ότι κάθε δοκιμή διαρκεί μια μονάδα χρόνου, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ξ ως τον χρόνο αναμονής μέχρι την πρώτη «επιτυχία». Η διανομή μοιάζει με:

Р(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0

6) Υπεργεωμετρική κατανομή.

Υπάρχουν N αντικείμενα, μεταξύ των οποίων n είναι «ειδικά αντικείμενα». Μεταξύ όλων των αντικειμένων, τα k-αντικείμενα επιλέγονται τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ των επιλεγμένων αντικειμένων να είναι ίσα με r - "ειδικά αντικείμενα". Η διανομή μοιάζει με:

7) Κατανομή Pascal.

Έστω x ο συνολικός αριθμός των «αποτυχιών» που προηγούνται της άφιξης της rης «επιτυχίας». Η διανομή μοιάζει με:

Η συνάρτηση διανομής έχει τη μορφή:

Η κατανομή ισοπιθανότητας υπονοεί ότι η τυχαία μεταβλητή x μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα με ίση πιθανότητα. Η πυκνότητα κατανομής υπολογίζεται ως

Τα γραφήματα πυκνότητας κατανομής και η συνάρτηση κατανομής παρουσιάζονται παρακάτω.

Πριν εξηγήσουμε την έννοια του «λευκού θορύβου», είναι απαραίτητο να δώσουμε ορισμένους ορισμούς.

Μια τυχαία συνάρτηση είναι μια συνάρτηση ενός μη τυχαίου ορίσματος t, το οποίο, για κάθε σταθερή τιμή του ορίσματος, είναι μια τυχαία μεταβλητή. Για παράδειγμα, εάν το U είναι μια τυχαία μεταβλητή, τότε η συνάρτηση X(t)=t2U είναι τυχαία.

Η διατομή μιας τυχαίας συνάρτησης είναι μια τυχαία μεταβλητή που αντιστοιχεί σε μια σταθερή τιμή του ορίσματος της τυχαίας συνάρτησης. Έτσι, μια τυχαία συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνολο τυχαίων μεταβλητών (X(t)), ανάλογα με την παράμετρο t.

Τυχαία μεταβλητή είναι μια μεταβλητή που μπορεί να λάβει ορισμένες τιμές ανάλογα με τις διάφορες περιστάσεις και Η τυχαία μεταβλητή ονομάζεται συνεχής , εάν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από οποιοδήποτε περιορισμένο ή απεριόριστο διάστημα. Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή, είναι αδύνατο να υποδειχθούν όλες οι πιθανές τιμές, επομένως ορίζουμε διαστήματα αυτών των τιμών που σχετίζονται με ορισμένες πιθανότητες.

Παραδείγματα συνεχών τυχαίων μεταβλητών περιλαμβάνουν: τη διάμετρο ενός τμήματος που αλέθεται σε ένα δεδομένο μέγεθος, το ύψος ενός ατόμου, το εύρος πτήσης ενός βλήματος κ.λπ.

Αφού για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές η συνάρτηση φά(Χ), Σε αντίθεση με διακριτές τυχαίες μεταβλητές, δεν έχει άλματα πουθενά, τότε η πιθανότητα οποιασδήποτε μεμονωμένης τιμής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι μηδέν.

Αυτό σημαίνει ότι για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή δεν έχει νόημα να μιλάμε για την κατανομή πιθανοτήτων μεταξύ των τιμών της: καθεμία από αυτές έχει μηδενική πιθανότητα. Ωστόσο, κατά μία έννοια, μεταξύ των τιμών μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής υπάρχουν «περισσότερο και λιγότερο πιθανές». Για παράδειγμα, σχεδόν κανείς δεν θα αμφισβητούσε ότι η τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής - το ύψος ενός ατόμου που συναντάται τυχαία - 170 cm - είναι πιο πιθανή από 220 cm, αν και και οι δύο τιμές μπορούν να προκύψουν στην πράξη.

Συνάρτηση κατανομής συνεχούς τυχαίας μεταβλητής και πυκνότητα πιθανότητας

Ως νόμος κατανομής που έχει νόημα μόνο για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, εισάγεται η έννοια της πυκνότητας κατανομής ή της πυκνότητας πιθανότητας. Ας το προσεγγίσουμε συγκρίνοντας τη σημασία της συνάρτησης κατανομής για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή και για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή.

Άρα, η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής (τόσο διακριτής όσο και συνεχής) ή αναπόσπαστη λειτουργίαονομάζεται συνάρτηση που καθορίζει την πιθανότητα ότι η τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής Χμικρότερη ή ίση με την οριακή τιμή Χ.

Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή στα σημεία των τιμών της Χ1 , Χ 2 , ..., ΧΕγώ,...μάζες πιθανοτήτων συγκεντρώνονται Π1 , Π 2 , ..., ΠΕγώ,..., και το άθροισμα όλων των μαζών είναι ίσο με 1. Ας μεταφέρουμε αυτή την ερμηνεία στην περίπτωση μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής. Ας φανταστούμε ότι μια μάζα ίση με 1 δεν συγκεντρώνεται σε μεμονωμένα σημεία, αλλά «αλείφεται» συνεχώς κατά μήκος του άξονα της τετμημένης Ωμε κάποια ανομοιόμορφη πυκνότητα. Πιθανότητα τυχαίας μεταβλητής να πέσει σε οποιαδήποτε περιοχή Δ Χθα ερμηνευθεί ως η μάζα ανά τμήμα και η μέση πυκνότητα σε αυτό το τμήμα ως ο λόγος της μάζας προς το μήκος. Μόλις εισαγάγαμε μια σημαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων: την πυκνότητα κατανομής.

Πυκνότητα πιθανότητας φά(Χ) μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι η παράγωγος της συνάρτησης κατανομής της:

.

Γνωρίζοντας τη συνάρτηση πυκνότητας, μπορείτε να βρείτε την πιθανότητα ότι η τιμή μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής ανήκει στο κλειστό διάστημα [ ένα; σι]:

η πιθανότητα ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χθα πάρει οποιαδήποτε τιμή από το διάστημα [ ένα; σι], ισούται με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα της πυκνότητας πιθανοτήτων που κυμαίνεται από έναπριν σι:

.

Σε αυτή την περίπτωση, ο γενικός τύπος της συνάρτησης φά(Χ) κατανομή πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί εάν είναι γνωστή η συνάρτηση πυκνότητας φά(Χ) :

.

Το γράφημα πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής ονομάζεται καμπύλη κατανομής της (σχήμα παρακάτω).

Το εμβαδόν ενός σχήματος (σκιασμένο στο σχήμα) που οριοθετείται από μια καμπύλη, ευθείες γραμμές που σχεδιάζονται από σημεία έναΚαι σικάθετη στον άξονα x, και τον άξονα Ω, εμφανίζει γραφικά την πιθανότητα ότι η τιμή μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χβρίσκεται εντός του εύρους των έναπριν σι.

Ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής

1. Η πιθανότητα ότι μια τυχαία μεταβλητή θα λάβει οποιαδήποτε τιμή από το διάστημα (και το εμβαδόν του σχήματος που περιορίζεται από το γράφημα της συνάρτησης φά(Χ) και άξονα Ω) ισούται με ένα:

2. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δεν μπορεί να λάβει αρνητικές τιμές:

και έξω από την ύπαρξη της κατανομής η τιμή της είναι μηδέν

Πυκνότητα κατανομής φά(Χ), καθώς και τη συνάρτηση διανομής φά(Χ), είναι μία από τις μορφές του νόμου κατανομής, αλλά σε αντίθεση με τη συνάρτηση κατανομής, δεν είναι καθολική: η πυκνότητα κατανομής υπάρχει μόνο για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.

Ας αναφέρουμε τους δύο πιο σημαντικούς τύπους κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής στην πράξη.

Αν η συνάρτηση πυκνότητας κατανομής φά(Χ) συνεχής τυχαία μεταβλητή σε κάποιο πεπερασμένο διάστημα [ ένα; σι] παίρνει σταθερή τιμή ντο, και έξω από το διάστημα παίρνει μια τιμή ίση με μηδέν, τότε αυτό η κατανομή ονομάζεται ομοιόμορφη .

Εάν το γράφημα της συνάρτησης πυκνότητας κατανομής είναι συμμετρικό ως προς το κέντρο, οι μέσες τιμές συγκεντρώνονται κοντά στο κέντρο και όταν απομακρύνεστε από το κέντρο, συλλέγονται αυτές που είναι πιο διαφορετικές από το μέσο όρο (το γράφημα της συνάρτησης μοιάζει με ένα τμήμα ενός κουδουνιού), τότε αυτό Η κατανομή ονομάζεται κανονική .

Παράδειγμα 1.Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι γνωστή:

Εύρεση συνάρτησης φά(Χ) πυκνότητα πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής. Κατασκευάστε γραφήματα και των δύο συναρτήσεων. Βρείτε την πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα από 4 έως 8: .

Λύση. Λαμβάνουμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας βρίσκοντας την παράγωγο της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας:

Γράφημα μιας συνάρτησης φά(Χ) - παραβολή:

Γράφημα μιας συνάρτησης φά(Χ) - ευθεία:

Ας βρούμε την πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να πάρει οποιαδήποτε τιμή στην περιοχή από 4 έως 8:

Παράδειγμα 2.Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής δίνεται ως εξής:

Υπολογίστε τον συντελεστή ντο. Εύρεση συνάρτησης φά(Χ) κατανομή πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής. Κατασκευάστε γραφήματα και των δύο συναρτήσεων. Βρείτε την πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να πάρει οποιαδήποτε τιμή στην περιοχή από 0 έως 5: .

Λύση. Συντελεστής ντοβρίσκουμε, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 1 της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας:

Έτσι, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι:

Με την ενσωμάτωση, βρίσκουμε τη συνάρτηση φά(Χ) κατανομές πιθανοτήτων. Αν Χ < 0 , то φά(Χ) = 0. Αν 0< Χ < 10 , то

.

Χ> 10, λοιπόν φά(Χ) = 1 .

Έτσι, η πλήρης εγγραφή της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας είναι:

Γράφημα μιας συνάρτησης φά(Χ) :

Γράφημα μιας συνάρτησης φά(Χ) :

Ας βρούμε την πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να πάρει οποιαδήποτε τιμή στην περιοχή από 0 έως 5:

Παράδειγμα 3.Πυκνότητα πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χδίνεται από την ισότητα , και . Βρείτε συντελεστή ΕΝΑ, η πιθανότητα ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χθα πάρει οποιαδήποτε τιμή από το διάστημα ]0, 5[, τη συνάρτηση κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ.

Λύση. Με όρους φτάνουμε στην ισότητα

Επομένως, , από πού . Ετσι,

.

Τώρα βρίσκουμε την πιθανότητα ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χθα πάρει οποιαδήποτε τιμή από το διάστημα ]0, 5[:

Τώρα παίρνουμε τη συνάρτηση κατανομής αυτής της τυχαίας μεταβλητής:

Παράδειγμα 4.Βρείτε την πυκνότητα πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ, το οποίο λαμβάνει μόνο μη αρνητικές τιμές και τη συνάρτηση κατανομής του .

Ασκηση 1. Η πυκνότητα κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ έχει τη μορφή:
Εύρημα:
α) παράμετρος Α.
β) συνάρτηση κατανομής F(x) ;
γ) την πιθανότητα μιας τυχαίας μεταβλητής Χ να πέσει στο διάστημα.
δ) μαθηματική προσδοκία ΜΧ και διακύμανση ΔΧ.
Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση των συναρτήσεων f(x) και F(x).

Εργασία 2. Βρείτε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής X που δίνεται από την ολοκληρωτική συνάρτηση.

Εργασία 3. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής X δεδομένης της συνάρτησης κατανομής.

Εργασία 4. Η πυκνότητα πιθανότητας κάποιας τυχαίας μεταβλητής δίνεται ως εξής: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Βρείτε τον συντελεστή Α, τη συνάρτηση κατανομής F(x), τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση, καθώς και την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή στο διάστημα. Σχεδιάστε γραφικές παραστάσεις f(x) και F(x).

Εργο. Η συνάρτηση κατανομής κάποιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής δίνεται ως εξής:

Προσδιορίστε τις παραμέτρους a και b, βρείτε μια έκφραση για την πυκνότητα πιθανότητας f(x), τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση, καθώς και την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή στο διάστημα. Σχεδιάστε γραφικές παραστάσεις των f(x) και F(x).

Ας βρούμε τη συνάρτηση πυκνότητας κατανομής ως παράγωγο της συνάρτησης κατανομής.
F′=f(x)=a
Γνωρίζοντας ότι θα βρούμε την παράμετρο α:

ή 3a=1, από όπου a = 1/3
Βρίσκουμε την παράμετρο b από τις παρακάτω ιδιότητες:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 από όπου b = -1/3
Επομένως, η συνάρτηση κατανομής έχει τη μορφή: F(x) = (x-1)/3

Αναμενόμενη αξία.


Διασπορά.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Ας βρούμε την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή στο διάστημα
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Παράδειγμα Νο. 1. Δίνεται η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας f(x) μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ. Απαιτείται:

1. Να προσδιορίσετε τον συντελεστή Α.
2. βρείτε τη συνάρτηση κατανομής F(x) .
3. Κατασκευάστε σχηματικά γραφήματα των F(x) και f(x).
4. βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση του Χ.
5. βρείτε την πιθανότητα ότι το X θα πάρει μια τιμή από το διάστημα (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Λύση:

Η τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από την πυκνότητα κατανομής f(x):

Ας βρούμε την παράμετρο Α από την συνθήκη:



ή
14/3*A-1 = 0
Οπου,
A = 3/14

Η συνάρτηση κατανομής μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο.

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

Παράδειγμα 2.1.Τυχαία τιμή Χδίνεται από τη συνάρτηση κατανομής

Βρείτε την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής Χθα λάβει τις τιμές που περιέχονται στο διάστημα (2,5; 3,6).

Λύση: Χστο διάστημα (2,5; 3,6) μπορεί να προσδιοριστεί με δύο τρόπους:

Παράδειγμα 2.2.Σε ποιες τιμές παραμέτρων ΕΝΑΚαι ΣΕλειτουργία φά(Χ) = A + Be - xμπορεί να είναι συνάρτηση κατανομής για μη αρνητικές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής Χ.

Λύση:Δεδομένου ότι όλες οι πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής Χανήκουν στο διάστημα , τότε προκειμένου η συνάρτηση να είναι συνάρτηση κατανομής για Χ, το ακίνητο πρέπει να ικανοποιείται:

.

Απάντηση: .

Παράδειγμα 2.3.Η τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από τη συνάρτηση κατανομής

Βρείτε την πιθανότητα ότι, ως αποτέλεσμα τεσσάρων ανεξάρτητων δοκιμών, η τιμή Χακριβώς 3 φορές θα πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (0,25;0,75).

Λύση:Πιθανότητα να χτυπηθεί μια τιμή Χστο διάστημα (0,25;0,75) βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Παράδειγμα 2.4.Η πιθανότητα να χτυπήσει η μπάλα στο καλάθι με ένα σουτ είναι 0,3. Συντάξτε έναν νόμο κατανομής για τον αριθμό των χτυπημάτων με τρεις βολές.

Λύση:Τυχαία τιμή Χ– ο αριθμός των χτυπημάτων στο καλάθι με τρεις βολές – μπορεί να πάρει τις ακόλουθες τιμές: 0, 1, 2, 3. Πιθανότητες που Χ

Χ:

Παράδειγμα 2.5.Δύο σκοπευτές ο καθένας πυροβολεί έναν στόχο. Η πιθανότητα ο πρώτος σκοπευτής να το χτυπήσει είναι 0,5, ο δεύτερος - 0,4. Συντάξτε έναν νόμο κατανομής για τον αριθμό των χτυπημάτων σε έναν στόχο.

Λύση:Ας βρούμε τον νόμο κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ– αριθμός χτυπημάτων στο στόχο. Αφήστε το γεγονός να είναι ο πρώτος σκοπευτής που θα χτυπήσει τον στόχο, και ο δεύτερος σκοπευτής να χτυπήσει τον στόχο και να είναι οι αστοχίες τους, αντίστοιχα.

Ας συνθέσουμε τον νόμο της κατανομής πιθανοτήτων του SV Χ:

Παράδειγμα 2.6.Τρία στοιχεία ελέγχονται, λειτουργώντας ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Η διάρκεια του χρόνου (σε ώρες) της λειτουργίας των στοιχείων χωρίς αστοχία έχει συνάρτηση πυκνότητας κατανομής: για το πρώτο: φά 1 (t) =1-μι- 0,1 t, για το δεύτερο: φά 2 (t) = 1-μι- 0,2 t, για το τρίτο: φά 3 (t) =1-μι- 0,3 t. Βρείτε την πιθανότητα ότι στο χρονικό διάστημα από 0 έως 5 ώρες: μόνο ένα στοιχείο θα αποτύχει. Μόνο δύο στοιχεία θα αποτύχουν. και τα τρία στοιχεία θα αποτύχουν.

Λύση:Ας χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της συνάρτησης δημιουργίας πιθανοτήτων:

Η πιθανότητα ότι σε ανεξάρτητες δοκιμές, στην πρώτη από τις οποίες η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν ΕΝΑίσο με , στο δεύτερο, κ.λπ., γεγονός ΕΝΑεμφανίζεται ακριβώς μία φορά, ίσος με τον συντελεστή στην επέκταση της συνάρτησης παραγωγής σε δυνάμεις του . Ας βρούμε τις πιθανότητες αστοχίας και μη, αντίστοιχα, του πρώτου, του δεύτερου και του τρίτου στοιχείου στο χρονικό διάστημα από 0 έως 5 ώρες:

Ας δημιουργήσουμε μια συνάρτηση δημιουργίας:

Ο συντελεστής στο είναι ίσος με την πιθανότητα ότι το γεγονός ΕΝΑθα εμφανιστεί ακριβώς τρεις φορές, δηλαδή η πιθανότητα αποτυχίας και των τριών στοιχείων. ο συντελεστής at είναι ίσος με την πιθανότητα να αποτύχουν ακριβώς δύο στοιχεία. ο συντελεστής at είναι ίσος με την πιθανότητα να αποτύχει μόνο ένα στοιχείο.

Παράδειγμα 2.7.Δεδομένης της πυκνότητας πιθανότητας φά(Χ)τυχαία μεταβλητή Χ:

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής F(x).

Λύση:Χρησιμοποιούμε τον τύπο:

.

Έτσι, η συνάρτηση διανομής μοιάζει με:

Παράδειγμα 2.8.Η συσκευή αποτελείται από τρία ανεξάρτητα λειτουργικά στοιχεία. Η πιθανότητα αστοχίας κάθε στοιχείου σε ένα πείραμα είναι 0,1. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για τον αριθμό των αποτυχημένων στοιχείων σε ένα πείραμα.

Λύση:Τυχαία τιμή Χ– ο αριθμός των στοιχείων που απέτυχαν σε ένα πείραμα – μπορεί να πάρει τις ακόλουθες τιμές: 0, 1, 2, 3. Πιθανότητες που Χπαίρνει αυτές τις τιμές, βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli:

Έτσι, λαμβάνουμε τον ακόλουθο νόμο της κατανομής πιθανοτήτων μιας τυχαίας μεταβλητής Χ:

Παράδειγμα 2.9.Σε μια παρτίδα 6 εξαρτημάτων υπάρχουν 4 τυπικά. Επιλέχθηκαν 3 μέρη τυχαία. Συντάξτε έναν νόμο διανομής για τον αριθμό των τυπικών εξαρτημάτων μεταξύ των επιλεγμένων.

Λύση:Τυχαία τιμή Χ– ο αριθμός των τυπικών τμημάτων μεταξύ των επιλεγμένων – μπορεί να λάβει τις ακόλουθες τιμές: 1, 2, 3 και έχει υπεργεωμετρική κατανομή. Πιθανότητες που Χ

Οπου -- αριθμός εξαρτημάτων στην παρτίδα·

-- αριθμός τυπικών εξαρτημάτων σε μια παρτίδα·

– αριθμός επιλεγμένων εξαρτημάτων·

-- αριθμός τυπικών ανταλλακτικών μεταξύ αυτών που επιλέχθηκαν.

.

.

.

Παράδειγμα 2.10.Η τυχαία μεταβλητή έχει πυκνότητα κατανομής

και δεν είναι γνωστά, αλλά, α και . Βρείτε και.

Λύση:Σε αυτή την περίπτωση, η τυχαία μεταβλητή Χέχει τριγωνική κατανομή (κατανομή Simpson) στο διάστημα [ α, β]. Αριθμητικά χαρακτηριστικά Χ:

Ως εκ τούτου, . Λύνοντας αυτό το σύστημα, λαμβάνουμε δύο ζεύγη τιμών: . Αφού σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, τελικά έχουμε: .

Απάντηση: .

Παράδειγμα 2.11.Κατά μέσο όρο, κάτω από το 10% των συμβολαίων, η ασφαλιστική εταιρεία καταβάλλει ασφαλιστικά ποσά σε σχέση με την επέλευση ενός ασφαλιστικού συμβάντος. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία και τη διασπορά του αριθμού τέτοιων συμβάσεων μεταξύ τεσσάρων τυχαία επιλεγμένων.

Λύση:Η μαθηματική προσδοκία και η διακύμανση μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους τύπους:

.

Πιθανές αξίες SV (αριθμός συμβολαίων (από τέσσερα) με την εμφάνιση ενός ασφαλισμένου συμβάντος): 0, 1, 2, 3, 4.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο του Bernoulli για να υπολογίσουμε τις πιθανότητες διαφορετικών αριθμών συμβολαίων (από τα τέσσερα) για τα οποία καταβλήθηκαν τα ποσά ασφάλισης:

.

Η σειρά διανομής IC (ο αριθμός των συμβολαίων με την εμφάνιση ενός ασφαλισμένου συμβάντος) έχει τη μορφή:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Απάντηση: , .

Παράδειγμα 2.12.Από τα πέντε τριαντάφυλλα, τα δύο είναι λευκά. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής που εκφράζει τον αριθμό των λευκών τριαντάφυλλων μεταξύ δύο που λαμβάνονται ταυτόχρονα.

Λύση:Σε μια επιλογή από δύο τριαντάφυλλα, μπορεί είτε να μην υπάρχει λευκό τριαντάφυλλο, είτε να υπάρχουν ένα ή δύο λευκά τριαντάφυλλα. Επομένως, η τυχαία μεταβλητή Χμπορεί να πάρει τιμές: 0, 1, 2. Πιθανότητες που Χπαίρνει αυτές τις τιμές, το βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Οπου -- αριθμός τριαντάφυλλων?

-- αριθμός λευκών τριαντάφυλλων?

– αριθμός τριαντάφυλλων που λαμβάνονται ταυτόχρονα.

-- ο αριθμός των λευκών τριαντάφυλλων μεταξύ αυτών που λαμβάνονται.

.

.

.

Τότε ο νόμος κατανομής της τυχαίας μεταβλητής θα είναι ο εξής:

Παράδειγμα 2.13.Από τις 15 συναρμολογημένες μονάδες, οι 6 απαιτούν πρόσθετη λίπανση. Συντάξτε έναν νόμο κατανομής για τον αριθμό των μονάδων που χρειάζονται πρόσθετη λίπανση μεταξύ πέντε που επιλέχθηκαν τυχαία από τον συνολικό αριθμό.

Λύση:Τυχαία τιμή Χ– ο αριθμός των μονάδων που απαιτούν πρόσθετη λίπανση μεταξύ των πέντε επιλεγμένων – μπορεί να λάβει τις ακόλουθες τιμές: 0, 1, 2, 3, 4, 5 και έχει υπεργεωμετρική κατανομή. Πιθανότητες που Χπαίρνει αυτές τις τιμές, το βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Οπου -- αριθμός συναρμολογημένων μονάδων·

-- τον αριθμό των μονάδων που απαιτούν πρόσθετη λίπανση.

– αριθμός επιλεγμένων μονάδων·

-- τον αριθμό των μονάδων που απαιτούν πρόσθετη λίπανση μεταξύ των επιλεγμένων.

.

.

.

.

.

.

Τότε ο νόμος κατανομής της τυχαίας μεταβλητής θα είναι ο εξής:

Παράδειγμα 2.14.Από τα 10 ρολόγια που παραλήφθηκαν για επισκευή, τα 7 απαιτούν γενικό καθαρισμό του μηχανισμού. Τα ρολόγια δεν ταξινομούνται κατά τύπο επισκευής. Ο πλοίαρχος, θέλοντας να βρει ρολόγια που χρειάζονται καθάρισμα, τα εξετάζει ένα προς ένα και, έχοντας βρει τέτοια ρολόγια, σταματά την περαιτέρω προβολή. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση του αριθμού των ωρών παρακολούθησης.

Λύση:Τυχαία τιμή Χ– ο αριθμός των μονάδων που χρειάζονται πρόσθετη λίπανση μεταξύ των πέντε επιλεγμένων – μπορεί να λάβει τις ακόλουθες τιμές: 1, 2, 3, 4. Πιθανότητες που Χπαίρνει αυτές τις τιμές, το βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο:

.

.

.

.

Τότε ο νόμος κατανομής της τυχαίας μεταβλητής θα είναι ο εξής:

Ας υπολογίσουμε τώρα τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της ποσότητας:

Απάντηση: , .

Παράδειγμα 2.15.Ο συνδρομητής έχει ξεχάσει το τελευταίο ψηφίο του αριθμού τηλεφώνου που χρειάζεται, αλλά θυμάται ότι είναι μονό. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση του αριθμού των φορών που καλεί έναν αριθμό τηλεφώνου πριν φτάσει στον επιθυμητό αριθμό, εάν πληκτρολογήσει το τελευταίο ψηφίο τυχαία και στη συνέχεια δεν καλέσει το ψηφίο που καλεί.

Λύση:Η τυχαία μεταβλητή μπορεί να λάβει τις ακόλουθες τιμές: . Δεδομένου ότι ο συνδρομητής δεν καλεί το καλούμενο ψηφίο στο μέλλον, οι πιθανότητες αυτών των τιμών είναι ίσες.

Ας συντάξουμε μια σειρά διανομής μιας τυχαίας μεταβλητής:

	0,2

Ας υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση του αριθμού των προσπαθειών κλήσης:

Απάντηση: , .

Παράδειγμα 2.16.Η πιθανότητα αστοχίας κατά τη δοκιμή αξιοπιστίας για κάθε συσκευή της σειράς είναι ίση με Π. Προσδιορίστε τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των συσκευών που απέτυχαν εάν είχαν δοκιμαστεί Νσυσκευές.

Λύση:Η διακριτή τυχαία μεταβλητή X είναι ο αριθμός των συσκευών που έχουν αποτύχει Νανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η πιθανότητα αποτυχίας είναι ίση Π,κατανέμεται σύμφωνα με τον διωνυμικό νόμο. Η μαθηματική προσδοκία μιας διωνυμικής κατανομής είναι ίση με τον αριθμό των δοκιμών πολλαπλασιαζόμενη με την πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε μία δοκιμή:

Παράδειγμα 2.17.Διακριτή τυχαία μεταβλητή Χπαίρνει 3 πιθανές τιμές: με πιθανότητα ; με πιθανότητα και με πιθανότητα. Βρείτε και, γνωρίζοντας ότι M( Χ) = 8.

Λύση:Χρησιμοποιούμε τους ορισμούς της μαθηματικής προσδοκίας και του νόμου κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής:

Βρίσκουμε: .

Παράδειγμα 2.18.Το τμήμα τεχνικού ελέγχου ελέγχει τα προϊόντα για τυποποίηση. Η πιθανότητα ότι το προϊόν είναι τυπικό είναι 0,9. Κάθε παρτίδα περιέχει 5 προϊόντα. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Χ– τον ​​αριθμό των παρτίδων, καθεμία από τις οποίες περιέχει ακριβώς 4 τυποποιημένα προϊόντα, εάν 50 παρτίδες υπόκεινται σε έλεγχο.

Λύση:Σε αυτήν την περίπτωση, όλα τα πειράματα που διεξάγονται είναι ανεξάρτητα και οι πιθανότητες κάθε παρτίδα να περιέχει ακριβώς 4 τυπικά προϊόντα είναι οι ίδιες, επομένως, η μαθηματική προσδοκία μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο:

,

πού είναι ο αριθμός των κομμάτων;

Η πιθανότητα ότι μια παρτίδα περιέχει ακριβώς 4 τυπικά προϊόντα.

Βρίσκουμε την πιθανότητα χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli:

Απάντηση: .

Παράδειγμα 2.19.Βρείτε τη διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής Χ– αριθμός περιστατικών του συμβάντος ΕΝΑσε δύο ανεξάρτητες δοκιμές, εάν οι πιθανότητες να συμβεί ένα συμβάν σε αυτές τις δοκιμές είναι οι ίδιες και είναι γνωστό ότι Μ(Χ) = 0,9.

Λύση:Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με δύο τρόπους.

1) Πιθανές τιμές SV Χ: 0, 1, 2. Χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli, προσδιορίζουμε τις πιθανότητες αυτών των γεγονότων:

, , .

Μετά ο νόμος διανομής Χέχει τη μορφή:

Από τον ορισμό της μαθηματικής προσδοκίας, προσδιορίζουμε την πιθανότητα:

Ας βρούμε τη διασπορά του SV Χ:

.

2) Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:

.

Απάντηση: .

Παράδειγμα 2.20.Προσδοκία και τυπική απόκλιση μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής Χαντίστοιχα ίσο με 20 και 5. Να βρείτε την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα του τεστ Χθα λάβει την τιμή που περιέχεται στο διάστημα (15; 25).

Λύση:Πιθανότητα να χτυπήσετε μια κανονική τυχαία μεταβλητή Χστο τμήμα από έως εκφράζεται μέσω της συνάρτησης Laplace:

Παράδειγμα 2.21.Δεδομένη λειτουργία:

Σε ποια τιμή παραμέτρου ντοΑυτή η συνάρτηση είναι η πυκνότητα κατανομής κάποιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ? Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής Χ.

Λύση:Για να είναι μια συνάρτηση η πυκνότητα κατανομής κάποιας τυχαίας μεταβλητής, πρέπει να είναι μη αρνητική και να ικανοποιεί την ιδιότητα:

.

Ως εκ τούτου:

Ας υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία χρησιμοποιώντας τον τύπο:

.

Ας υπολογίσουμε τη διακύμανση χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Το Τ είναι ίσο Π. Είναι απαραίτητο να βρεθεί η μαθηματική προσδοκία και η διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής.

Λύση:Ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X - ο αριθμός των εμφανίσεων ενός συμβάντος σε ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν είναι ίση με , ονομάζεται διωνυμικός. Η μαθηματική προσδοκία της διωνυμικής κατανομής είναι ίση με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών και της πιθανότητας εμφάνισης του συμβάντος Α σε μία δοκιμή:

.

Παράδειγμα 2.25.Τρεις ανεξάρτητες βολές εκτοξεύονται στο στόχο. Η πιθανότητα να χτυπήσετε κάθε βολή είναι 0,25. Προσδιορίστε την τυπική απόκλιση του αριθμού των χτυπημάτων με τρεις βολές.

Λύση:Εφόσον εκτελούνται τρεις ανεξάρτητες δοκιμές και η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α (ένα χτύπημα) σε κάθε δοκιμή είναι η ίδια, θα υποθέσουμε ότι η διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ - ο αριθμός των χτυπημάτων στον στόχο - κατανέμεται σύμφωνα με διωνυμικός νόμος.

Η διακύμανση της διωνυμικής κατανομής είναι ίση με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών και της πιθανότητας εμφάνισης και μη εμφάνισης ενός συμβάντος σε μία δοκιμή:

Παράδειγμα 2.26.Ο μέσος αριθμός πελατών που επισκέπτονται μια ασφαλιστική εταιρεία σε 10 λεπτά είναι τρεις. Βρείτε την πιθανότητα να φτάσει τουλάχιστον ένας πελάτης στα επόμενα 5 λεπτά.

Μέσος αριθμός πελατών που φτάνουν σε 5 λεπτά: . .

Παράδειγμα 2.29.Ο χρόνος αναμονής για μια εφαρμογή στην ουρά του επεξεργαστή υπακούει σε έναν νόμο εκθετικής κατανομής με μέση τιμή 20 δευτερολέπτων. Βρείτε την πιθανότητα η επόμενη (τυχαία) αίτηση να περιμένει στον επεξεργαστή για περισσότερα από 35 δευτερόλεπτα.

Λύση:Σε αυτό το παράδειγμα, η μαθηματική προσδοκία και το ποσοστό αποτυχίας είναι ίσο με .

Τότε η επιθυμητή πιθανότητα:

Παράδειγμα 2.30.Μια ομάδα 15 μαθητών πραγματοποιεί μια συνάντηση σε μια αίθουσα με 20 σειρές των 10 θέσεων η καθεμία. Κάθε μαθητής παίρνει μια θέση στην αίθουσα τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα να μην είναι περισσότερα από τρία άτομα στην έβδομη θέση της σειράς;

Λύση:

Παράδειγμα 2.31.

Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας:

Οπου -- αριθμός εξαρτημάτων στην παρτίδα·

-- αριθμός μη τυποποιημένων εξαρτημάτων στην παρτίδα.

– αριθμός επιλεγμένων εξαρτημάτων·

-- αριθμός μη τυποποιημένων ανταλλακτικών μεταξύ των επιλεγμένων.

Τότε ο νόμος κατανομής της τυχαίας μεταβλητής θα είναι ο εξής.

Μαθηματική προσδοκίαΗ διακριτή τυχαία μεταβλητή ονομάζεται:

Στην περίπτωση ενός άπειρου συνόλου τιμών, υπάρχει μια σειρά στη δεξιά πλευρά του (4.4) και θα εξετάσουμε μόνο εκείνες τις τιμές του X για τις οποίες αυτή η σειρά είναι απολύτως συγκλίνουσα.

M(X)αντιπροσωπεύει τη μέση αναμενόμενη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής. Έχει τις εξής ιδιότητες:

1) M(C)=C, όπου C=const

2) M (CX)=CM (X) (4,5)

3) Μ (Χ+Υ)=Μ(Χ)+Μ(Υ), για οποιαδήποτε Χ και Υ.

4) M (XY)=M (X)M(Y), εάν τα X και Y είναι ανεξάρτητα.

Για να υπολογίσετε τον βαθμό διασποράς των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τη μέση τιμή της Μ(Χ)= ΕΝΑ εισάγονται έννοιες αποκλίσειςD(X)και μέση τετραγωνική (τυπική) απόκλιση. Διαφοράονομάζεται μαθηματική προσδοκία της διαφοράς στο τετράγωνο (Χ-),εκείνοι. :

D(X)=M(X-) 2 = p i,

Οπου =M(X);ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, δηλ. .

Για να υπολογίσετε τη διακύμανση χρησιμοποιήστε τον τύπο:

(4.6)

Ιδιότητες διασποράς και τυπική απόκλιση:

1) D(C)=0, όπου C=const

2) D(CX)=C 2 D(X), (CX)= çCç (X) (4.7)

3) D(X+Y) =D(X)+D(Y),

αν τα Χ και Υ είναι ανεξάρτητα.

Η διάσταση των ποσοτήτων και συμπίπτει με τη διάσταση της ίδιας της τυχαίας μεταβλητής Χ και η διάσταση του D(X) είναι ίση με το τετράγωνο της διάστασης της τυχαίας μεταβλητής Χ.

4.3. Μαθηματικές πράξεις σε τυχαίες μεταβλητές.

Έστω η τυχαία μεταβλητή Χ να πάρει τιμές με πιθανότητες και η τυχαία μεταβλητή Υ να πάρει τιμές με πιθανότητες. Το γινόμενο KX της τυχαίας μεταβλητής Χ και η σταθερή τιμή Κ είναι μια νέα τυχαία μεταβλητή που, με τις ίδιες πιθανότητες με την τυχαία η μεταβλητή X, παίρνει τιμές ίσες με τα γινόμενα με τιμές K της τυχαίας μεταβλητής X. Συνεπώς, ο νόμος κατανομής της έχει τη μορφή Πίνακας 4.2:

Πίνακας 4.2

			...
			...

τετράγωνοτυχαία μεταβλητή Χ, δηλ. , είναι μια νέα τυχαία μεταβλητή που, με τις ίδιες πιθανότητες με την τυχαία μεταβλητή X, παίρνει τιμές ίσες με τα τετράγωνα των τιμών της.

Αθροισμαοι τυχαίες μεταβλητές X και Y είναι μια νέα τυχαία μεταβλητή που παίρνει όλες τις τιμές της φόρμας με πιθανότητες που εκφράζουν την πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή X θα πάρει την τιμή και το Y είναι η τιμή, δηλαδή

(4.8)

Εάν οι τυχαίες μεταβλητές X και Y είναι ανεξάρτητες, τότε:

Η διαφορά και το γινόμενο των τυχαίων μεταβλητών X και Y προσδιορίζονται ομοίως.

Διαφοράτυχαίες μεταβλητές X και Y - αυτή είναι μια νέα τυχαία μεταβλητή που παίρνει όλες τις τιμές της φόρμας και δουλειά- όλες οι τιμές της φόρμας με πιθανότητες που καθορίζονται από τον τύπο (4.8) και εάν οι τυχαίες μεταβλητές X και Y είναι ανεξάρτητες, τότε από τον τύπο (4.9).

4.4. Διανομές Bernoulli και Poisson.

Εξετάστε μια ακολουθία από n πανομοιότυπες επαναλαμβανόμενες δοκιμές που ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες:

1. Κάθε τεστ έχει δύο αποτελέσματα, που ονομάζονται επιτυχία και αποτυχία.

Αυτά τα δύο αποτελέσματα είναι αμοιβαία ασύμβατα και αντίθετα γεγονότα.

2. Η πιθανότητα επιτυχίας, που συμβολίζεται με p, παραμένει σταθερή από δοκιμή σε δοκιμή. Η πιθανότητα αστοχίας συμβολίζεται με q.

3. Όλα τα n τεστ είναι ανεξάρτητα. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε οποιαδήποτε από τις n επαναλαμβανόμενες δοκιμές δεν εξαρτάται από τα αποτελέσματα άλλων δοκιμών.

Η πιθανότητα ότι σε n ανεξάρτητες επαναλαμβανόμενες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν είναι ίση με , το γεγονός θα συμβεί ακριβώς m φορές (σε οποιαδήποτε ακολουθία) είναι ίση με

(4.10)

Η έκφραση (4.10) ονομάζεται τύπος του Bernoulli.

Πιθανότητες να συμβεί το συμβάν:

α) λιγότερο από m φορές,

β) περισσότερες από m φορές,

γ) τουλάχιστον m φορές,

δ) όχι περισσότερο από m φορές - βρίσκονται αναλόγως σύμφωνα με τους τύπους:

Διωνυμικός είναι ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X - ο αριθμός των εμφανίσεων ενός συμβάντος σε n ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν είναι ίση με p. Οι πιθανότητες των πιθανών τιμών X = 0,1,2,..., m,...,n υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli (Πίνακας 4.3).

Πίνακας 4.3

Αριθμός επιτυχιών X=m				...	Μ	...	n
Πιθανότητα Π				...		...

Εφόσον η δεξιά πλευρά του τύπου (4.10) αντιπροσωπεύει τον γενικό όρο της διωνυμικής επέκτασης, αυτός ο νόμος κατανομής ονομάζεται διωνυμικός. Για μια τυχαία μεταβλητή Χ που κατανέμεται σύμφωνα με τον διωνυμικό νόμο, έχουμε.