Η ιστορία του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Φέλιξ Κιρσάνοφ

Το τελευταίο θεώρημα του Fermat Singh Simon

"Έχει αποδειχθεί το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά;"

Ήταν μόνο το πρώτο βήμα προς την απόδειξη της εικασίας Taniyama-Shimura, αλλά η στρατηγική του Wiles ήταν μια λαμπρή μαθηματική ανακάλυψη, ένα αποτέλεσμα που άξιζε να δημοσιευτεί. Αλλά λόγω του όρκου σιωπής που επέβαλε ο Wiles, δεν μπορούσε να πει στον υπόλοιπο κόσμο για το αποτέλεσμά του και δεν είχε ιδέα ποιος άλλος θα μπορούσε να κάνει μια εξίσου σημαντική ανακάλυψη.

Ο Wiles θυμάται τη φιλοσοφική του στάση απέναντι σε οποιονδήποτε πιθανό αμφισβητία: «Κανείς δεν θέλει να περάσει χρόνια για να αποδείξει κάτι και να ανακαλύψει ότι κάποιος άλλος κατάφερε να βρει την απόδειξη λίγες εβδομάδες νωρίτερα. Όμως, παραδόξως, καθώς προσπαθούσα να λύσω ένα πρόβλημα που θεωρείτο ουσιαστικά αδιάλυτο, δεν φοβόμουν πολύ τους αντιπάλους. Απλώς δεν περίμενα ότι εγώ ή κάποιος άλλος θα έβγαζε μια ιδέα που θα οδηγούσε σε απόδειξη».

Στις 8 Μαρτίου 1988, ο Γουάιλς σοκαρίστηκε όταν είδε τίτλους με μεγάλα γράμματα στα πρωτοσέλιδα των εφημερίδων που έγραφαν: «Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά αποδείχθηκε». Η Washington Post και οι New York Times ανέφεραν ότι ο τριανταοκτάχρονος Yoichi Miyaoka του Μητροπολιτικού Πανεπιστημίου του Τόκιο είχε λύσει το πιο δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα στον κόσμο. Ο Miyaoka δεν έχει ακόμη δημοσιεύσει την απόδειξή του, αλλά περιέγραψε την πρόοδό του σε ένα σεμινάριο στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Max Planck στη Βόννη. Ο Don Tsagir, ο οποίος ήταν παρών στην ομιλία του Miyaoka, εξέφρασε την αισιοδοξία της μαθηματικής κοινότητας με τα ακόλουθα λόγια: «Η απόδειξη που παρουσιάζει η Miyaoka είναι εξαιρετικά ενδιαφέρουσα και ορισμένοι μαθηματικοί πιστεύουν ότι έχει μεγάλη πιθανότητα να είναι σωστή. Δεν είμαστε ακόμα απόλυτα σίγουροι, αλλά μέχρι στιγμής τα στοιχεία φαίνονται πολύ ενθαρρυντικά».

Μιλώντας σε ένα σεμινάριο στη Βόννη, ο Miyaoka μίλησε για την προσέγγισή του στην επίλυση του προβλήματος, την οποία θεώρησε από μια εντελώς διαφορετική, αλγεβρική-γεωμετρική, σκοπιά. Τις τελευταίες δεκαετίες, οι γεωμέτροι έχουν επιτύχει μια βαθιά και λεπτή κατανόηση των μαθηματικών αντικειμένων, ιδιαίτερα των ιδιοτήτων των επιφανειών. Στη δεκαετία του '70, ο Ρώσος μαθηματικός S. Arakelov προσπάθησε να δημιουργήσει παραλληλισμούς μεταξύ των προβλημάτων της αλγεβρικής γεωμετρίας και των προβλημάτων της θεωρίας αριθμών. Αυτό ήταν ένα από τα σκέλη του προγράμματος του Langlands και οι μαθηματικοί ήλπιζαν ότι τα άλυτα προβλήματα στη θεωρία αριθμών θα μπορούσαν να λυθούν μελετώντας αντίστοιχα προβλήματα στη γεωμετρία, τα οποία επίσης παρέμεναν άλυτα. Αυτό το πρόγραμμα ήταν γνωστό ως η φιλοσοφία του παραλληλισμού. Όσοι αλγεβρικοί γεωμέτρων προσπάθησαν να λύσουν προβλήματα στη θεωρία των αριθμών ονομάζονταν «αριθμητικοί αλγεβρικοί γεωμέτροι». Το 1983, προανήγγειλαν την πρώτη τους σημαντική νίκη όταν ο Gerd Faltings του Ινστιτούτου Προηγμένων Σπουδών του Πρίνστον συνέβαλε σημαντικά στην κατανόηση του θεωρήματος του Fermat. Θυμηθείτε ότι, σύμφωνα με τον Fermat, η εξίσωση

στο nμεγαλύτερο από 2 δεν έχει λύσεις σε ακέραιους αριθμούς. Ο Faltings αποφάσισε ότι είχε σημειώσει πρόοδο στην απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat μελετώντας γεωμετρικές επιφάνειες που σχετίζονται με διαφορετικές τιμές n. Επιφάνειες που σχετίζονται με τις εξισώσεις του Fermat για διάφορες τιμές n, διαφέρουν μεταξύ τους, αλλά έχουν μια κοινή ιδιότητα - όλες έχουν τρύπες ή, με απλά λόγια, τρύπες. Αυτές οι επιφάνειες είναι τετραδιάστατες, όπως και τα γραφήματα των αρθρωτών σχημάτων. Οι δισδιάστατες τομές δύο επιφανειών φαίνονται στο Σχ. 23. Οι επιφάνειες που σχετίζονται με την εξίσωση του Fermat μοιάζουν. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή nστην εξίσωση, τόσο περισσότερες τρύπες υπάρχουν στην αντίστοιχη επιφάνεια.

Ρύζι. 23. Αυτές οι δύο επιφάνειες λήφθηκαν χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα υπολογιστή Mathematica. Κάθε ένα από αυτά αντιπροσωπεύει τον τόπο των σημείων που ικανοποιούν την εξίσωση x n + y n = z n(για την επιφάνεια στα αριστερά n=3, για την επιφάνεια στα δεξιά n=5). Μεταβλητές ΧΚαι yθεωρούνται περίπλοκα εδώ

Ο Faltings μπόρεσε να αποδείξει ότι εφόσον τέτοιες επιφάνειες έχουν πάντα πολλές τρύπες, η σχετική εξίσωση Fermat θα μπορούσε να έχει μόνο ένα πεπερασμένο σύνολο ακέραιων λύσεων. Ο αριθμός των λύσεων θα μπορούσε να είναι οτιδήποτε - από μηδέν, όπως υπέθεσε ο Fermat, έως ένα εκατομμύριο ή ένα δισεκατομμύριο. Έτσι, ο Faltings δεν απέδειξε το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat, αλλά τουλάχιστον κατάφερε να απορρίψει την πιθανότητα η εξίσωση του Fermat να έχει άπειρες λύσεις.

Πέντε χρόνια αργότερα, ο Miyaoka ανέφερε ότι το είχε πάει ένα βήμα παραπέρα. Ήταν τότε στα είκοσί του. Ο Miyaoka διατύπωσε μια υπόθεση σχετικά με κάποια ανισότητα. Έγινε σαφές ότι η απόδειξη της γεωμετρικής του εικασίας θα σήμαινε ότι ο αριθμός των λύσεων στην εξίσωση του Fermat δεν είναι απλώς πεπερασμένος, αλλά ίσος με το μηδέν. Η προσέγγιση του Miyaoka ήταν παρόμοια με αυτή του Wiles στο ότι και οι δύο προσπάθησαν να αποδείξουν το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat συνδέοντάς το με μια θεμελιώδη υπόθεση σε έναν άλλο κλάδο των μαθηματικών. Για τη Miyaoka ήταν αλγεβρική γεωμετρία· για τον Wiles, η πορεία προς την απόδειξη βρισκόταν μέσα από ελλειπτικές καμπύλες και αρθρωτές μορφές. Προς μεγάλη απογοήτευση του Wiles, αγωνιζόταν ακόμα να αποδείξει την εικασία Taniyama-Shimura όταν ο Miyaoka ισχυρίστηκε ότι είχε μια πλήρη απόδειξη της δικής του εικασίας και, επομένως, του Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat.

Δύο εβδομάδες μετά την ομιλία του στη Βόννη, ο Miyaoka δημοσίευσε πέντε σελίδες υπολογισμών που αποτέλεσαν την ουσία της απόδειξής του και ξεκίνησε μια ενδελεχής εξέταση. Οι θεωρητικοί αριθμών και οι ειδικοί της αλγεβρικής γεωμετρίας σε όλο τον κόσμο μελέτησαν, γραμμή προς γραμμή, δημοσίευσαν υπολογισμούς. Λίγες μέρες αργότερα, οι μαθηματικοί ανακάλυψαν μια αντίφαση στην απόδειξη που δεν μπορούσε παρά να προκαλέσει ανησυχία. Ένα μέρος της δουλειάς του Miyaoka οδήγησε σε μια δήλωση από τη θεωρία αριθμών, η οποία, όταν μεταφράστηκε στη γλώσσα της αλγεβρικής γεωμετρίας, παρήγαγε μια δήλωση που έρχεται σε αντίθεση με το αποτέλεσμα που λήφθηκε αρκετά χρόνια νωρίτερα. Αν και αυτό δεν ακύρωνε απαραίτητα ολόκληρη την απόδειξη του Miyaoka, η αντίφαση που ανακαλύφθηκε δεν ταίριαζε στη φιλοσοφία του παραλληλισμού μεταξύ της θεωρίας των αριθμών και της γεωμετρίας.

Άλλες δύο εβδομάδες αργότερα, ο Γκερντ Φάλτινγκς, ο οποίος είχε ανοίξει το δρόμο για τον Μιγιάοκε, ανακοίνωσε ότι είχε ανακαλύψει την ακριβή αιτία της προφανούς παραβίασης του παραλληλισμού - ένα κενό στη λογική. Ο Ιάπωνας μαθηματικός ήταν γεωμέτρης και δεν ήταν εντελώς αυστηρός όταν μετέφραζε τις ιδέες του στο λιγότερο οικείο έδαφος της θεωρίας αριθμών. Ένας στρατός θεωρητικών αριθμών έκανε ξέφρενες προσπάθειες να κλείσει την τρύπα στην απόδειξη του Miyaoka, αλλά μάταια. Δύο μήνες αφότου ο Miyaoka ισχυρίστηκε ότι είχε μια πλήρη απόδειξη για το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat, η μαθηματική κοινότητα κατέληξε σε ομόφωνο συμπέρασμα: η απόδειξη του Miyaoka ήταν καταδικασμένη να αποτύχει.

Όπως και με προηγούμενες αποτυχημένες αποδείξεις, η Miyaoka μπόρεσε να λάβει πολλά ενδιαφέροντα αποτελέσματα. Μερικά τμήματα της απόδειξής του ήταν αξιοσημείωτα ως πολύ έξυπνες εφαρμογές της γεωμετρίας στη θεωρία αριθμών, και τα επόμενα χρόνια άλλοι μαθηματικοί τα χρησιμοποίησαν για να αποδείξουν ορισμένα θεωρήματα, αλλά κανείς δεν κατάφερε να αποδείξει το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά με αυτόν τον τρόπο.

Η αναταραχή για το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά σύντομα έσβησε και οι εφημερίδες δημοσίευαν σύντομες ανακοινώσεις που έλεγαν ότι ο γρίφος τριακοσίων ετών παρέμενε ακόμη άλυτος. Η ακόλουθη επιγραφή εμφανίστηκε στον τοίχο του σταθμού του μετρό Eighth Street της Νέας Υόρκης, αναμφίβολα εμπνευσμένη από την κάλυψη του Τύπου του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά: «Εξ. xn + yn = znδεν έχει λύσεις. Βρήκα μια πραγματικά εκπληκτική απόδειξη αυτού του γεγονότος, αλλά δεν μπορώ να τη γράψω εδώ γιατί το τρένο μου έφτασε».

Κεφάλαιο δέκατο ΦΑΡΜΑ ΚΡΟΚΟΔΗΛΩΝ Οδηγούσαν σε έναν γραφικό δρόμο με το αυτοκίνητο του παλιού Τζον, καθισμένοι στα πίσω καθίσματα. Στο τιμόνι ήταν ένας μαύρος οδηγός με ένα φωτεινό πουκάμισο με ένα περίεργα κομμένο κεφάλι. Πάνω στο ξυρισμένο κρανίο του στέκονταν θάμνοι από μαύρα μαλλιά σκληρά σαν σύρμα, λογική

Προετοιμασία για τον αγώνα. Alaska, Linda Pletner's Iditarod Farm είναι ένας ετήσιος αγώνας σκύλων ελκήθρου στην Αλάσκα. Το μήκος της διαδρομής είναι 1150 μίλια (1800 km). Αυτός είναι ο μεγαλύτερος αγώνας σκύλων ελκήθρου στον κόσμο. Έναρξη (εορταστική) - 4 Μαρτίου 2000 από το Anchorage. Αρχή

Κατσικοτροφείο Το καλοκαίρι στο χωριό έχει πολλή δουλειά. Όταν επισκεφτήκαμε το χωριό Khomutets, εκεί μαζεύονταν σανό και τα μυρωδάτα κύματα από φρεσκοκομμένα βότανα έμοιαζαν να διαπερνούν τα πάντα. σε αυτούς. Αυτό

Καλοκαιρινό αγρόκτημα Ένα άχυρο, σαν αστραπή χειρός, γυαλί στο γρασίδι. Ένας άλλος, έχοντας υπογράψει στον φράχτη, άναψε μια φωτιά με πράσινο ποτήρι νερό σε μια γούρνα αλόγων. Μέσα στο γαλάζιο λυκόφως Εννέα πάπιες περιπλανώνται, ταλαντεύονται, κατά μήκος μιας αυλάκωσης στο πνεύμα των παράλληλων γραμμών. Εδώ το κοτόπουλο δεν κοιτάζει τίποτα μόνο του

Ερειπωμένο αγρόκτημα Ο ήρεμος ήλιος, σαν σκούρο κόκκινο λουλούδι, Βυθίστηκε στο έδαφος, μεγαλώνει στο ηλιοβασίλεμα, Αλλά η κουρτίνα της νύχτας σε αδράνεια δύναμη Τραβούσε τον κόσμο, ταραγμένο από το βλέμμα. Η σιωπή βασίλευε στο αγρόκτημα χωρίς στέγη, Σαν κάποιος να της έκοψε τα μαλλιά, Μάλωναν για τον κάκτο

Αγρόκτημα ή αγρόκτημα; Στις 13 Φεβρουαρίου 1958, όλες οι κεντρικές εφημερίδες της Μόσχας και στη συνέχεια οι περιφερειακές εφημερίδες δημοσίευσαν την απόφαση της Κεντρικής Επιτροπής του Κομμουνιστικού Κόμματος της Ουκρανίας «Σχετικά με ένα λάθος στην αγορά αγελάδων από συλλογικούς αγρότες στην περιοχή Zaporozhye». Δεν μιλούσαμε καν για ολόκληρη την περιοχή, αλλά για δύο από τις συνοικίες της: το Primorsky

Το πρόβλημα του Fermat Το 1963, όταν ήταν μόλις δέκα ετών, ο Andrew Wiles ήταν ήδη γοητευμένος από τα μαθηματικά. «Στο σχολείο μου άρεσε να λύνω προβλήματα, τα έπαιρνα σπίτι και έβγαζα νέα από κάθε πρόβλημα. Αλλά το καλύτερο πρόβλημα που αντιμετώπισα ποτέ ήταν σε έναν τοπικό

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά Το Πυθαγόρειο θεώρημα και ο άπειρος αριθμός των Πυθαγόρειων τριπλών συζητήθηκαν στο βιβλίο του E.T. Bell's "The Great Problem" - το ίδιο βιβλίο της βιβλιοθήκης που τράβηξε την προσοχή του Andrew Wiles. Και παρόλο που οι Πυθαγόρειοι πέτυχαν σχεδόν πλήρη

Τα μαθηματικά μετά την απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά Παραδόξως, ο ίδιος ο Wiles είχε ανάμεικτα συναισθήματα για την έκθεσή του: «Η αφορμή για την ομιλία επιλέχθηκε πολύ καλά, αλλά η ίδια η διάλεξη μου προκάλεσε ανάμεικτα συναισθήματα. Δουλεύοντας πάνω στην απόδειξη

Κεφάλαιο 63 Old McLennon's Farm Περίπου ενάμιση μήνα μετά την επιστροφή στη Νέα Υόρκη, ένα βράδυ Νοεμβρίου, το τηλέφωνο χτύπησε στο διαμέρισμα του Lennons. Η Yoko απάντησε στο τηλέφωνο. Μια αντρική φωνή με πορτορικανική προφορά ρώτησε τη Yoko Ono. Προσποιούμενος

Το θεώρημα του Pontryagin Την ίδια περίοδο με το Ωδείο, ο πατέρας μου σπούδαζε στο Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, σπουδάζοντας μηχανική και μαθηματικά. Αποφοίτησε με επιτυχία και μάλιστα δίστασε για κάποιο διάστημα στην επιλογή επαγγέλματος. Η μουσικολογία κέρδισε, με αποτέλεσμα να επωφεληθεί από τη μαθηματική του νοοτροπία.Ένας από τους συμμαθητές του πατέρα μου

Θεώρημα Το θεώρημα για το δικαίωμα μιας θρησκευτικής ένωσης να επιλέγει ιερέα χρειάζεται απόδειξη. Έχει ως εξής: «Η Ορθόδοξη κοινότητα δημιουργείται... υπό την πνευματική ηγεσία ιερέα που εκλέγεται από την κοινότητα και ευλογείται από τον επισκοπικό επίσκοπο».

Ι. Φάρμα («Εδώ, από περιττώματα κοτόπουλου...») Εδώ, από περιττώματα κοτόπουλου Μια σωτηρία είναι μια σκούπα. Αγάπη - ποια; - Με πήγε στο κοτέτσι. Ραμπώντας τα σιτηρά, οι κότες κακαρίζουν, τα κοκόρια βαδίζουν σημαντικά. Και χωρίς μέγεθος και λογοκρισία Τα ποιήματα συντίθενται στο μυαλό. Σχετικά με ένα Προβηγκιανό απόγευμα

Ο Pierre Fermat, διαβάζοντας την «Αριθμητική» του Διόφαντου της Αλεξάνδρειας και αναλογιζόμενος τα προβλήματά της, είχε τη συνήθεια να καταγράφει τα αποτελέσματα των στοχασμών του με τη μορφή σύντομων σχολίων στο περιθώριο του βιβλίου. Ενάντια στο όγδοο πρόβλημα του Διόφαντου στο περιθώριο του βιβλίου, ο Φερμά έγραψε: Αντίθετα, είναι αδύνατο να αποσυντεθεί είτε ένας κύβος σε δύο κύβους, είτε ένας δυαδικός σε δύο διτετράγωνα και, γενικά, καμία ισχύς μεγαλύτερη από ένα τετράγωνο σε δύο δυνάμεις με τον ίδιο εκθέτη. Ανακάλυψα μια πραγματικά υπέροχη απόδειξη αυτού, αλλά αυτά τα πεδία είναι πολύ στενά για αυτό» / E.T. Bell «Οι Δημιουργοί των Μαθηματικών». Μ., 1979, σ.69/. Φέρνω στην προσοχή σας μια στοιχειώδη απόδειξη του θεωρήματος του Φερμά, την οποία μπορεί να κατανοήσει κάθε μαθητής γυμνασίου που ενδιαφέρεται για τα μαθηματικά.

Ας συγκρίνουμε το σχόλιο του Φερμά στο πρόβλημα του Διόφαντου με τη σύγχρονη διατύπωση του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά, που έχει τη μορφή εξίσωσης.
« Η εξίσωση

x n + y n = z n(όπου n είναι ακέραιος μεγαλύτερος από δύο)

δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς»

Το σχόλιο βρίσκεται σε λογική σύνδεση με την εργασία, παρόμοια με τη λογική σύνδεση του κατηγορήματος με το υποκείμενο. Αυτό που υποστηρίζει το πρόβλημα του Διόφαντου, αντίθετα, υποστηρίζεται από το σχόλιο του Φερμά.

Το σχόλιο του Fermat μπορεί να ερμηνευτεί ως εξής: εάν μια τετραγωνική εξίσωση με τρεις αγνώστους έχει άπειρο αριθμό λύσεων στο σύνολο όλων των τριπλών των Πυθαγορείων αριθμών, τότε, αντίθετα, μια εξίσωση με τρεις αγνώστους σε δύναμη μεγαλύτερη από το τετράγωνο

Στην εξίσωση της σύνδεσής του με το πρόβλημα του Διόφαντου δεν υπάρχει καν νύξη. Η δήλωσή του απαιτεί απόδειξη, αλλά δεν υπάρχει συνθήκη από την οποία προκύπτει ότι δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς.

Οι επιλογές για την απόδειξη της εξίσωσης που είναι γνωστός μου συνοψίζονται στον ακόλουθο αλγόριθμο.

1. Ως συμπέρασμα λαμβάνεται η εξίσωση του θεωρήματος Fermat, η εγκυρότητα της οποίας επαληθεύεται μέσω της απόδειξης.
2. Αυτή η ίδια εξίσωση ονομάζεται πρωτότυποεξίσωση από την οποία πρέπει να προκύψει η απόδειξή του.

Ως αποτέλεσμα, σχηματίστηκε μια ταυτολογία: Αν μια εξίσωση δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους, τότε δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς«Η απόδειξη της ταυτολογίας είναι προφανώς εσφαλμένη και στερείται οποιουδήποτε νοήματος. Αλλά αποδεικνύεται από την αντίφαση.

• Γίνεται μια υπόθεση που είναι αντίθετη από αυτή που δηλώνει η εξίσωση που πρέπει να αποδειχθεί. Δεν πρέπει να έρχεται σε αντίθεση με την αρχική εξίσωση, αλλά έρχεται. Δεν έχει νόημα να αποδεικνύεται αυτό που είναι αποδεκτό χωρίς απόδειξη και να αποδέχεται χωρίς απόδειξη αυτό που πρέπει να αποδειχθεί.
• Με βάση την αποδεκτή υπόθεση, εκτελούνται απολύτως σωστές μαθηματικές πράξεις και ενέργειες για να αποδειχθεί ότι έρχεται σε αντίθεση με την αρχική εξίσωση και είναι ψευδής.

Επομένως, εδώ και 370 χρόνια, η απόδειξη της εξίσωσης του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά παραμένει ένα απραγματοποίητο όνειρο για τους ειδικούς και τους λάτρεις των μαθηματικών.

Πήρα την εξίσωση ως συμπέρασμα του θεωρήματος, και το όγδοο πρόβλημα του Διόφαντου και την εξίσωσή του ως συνθήκη του θεωρήματος.

«Αν η εξίσωση x 2 + y 2 = z 2 (1) έχει άπειρο αριθμό λύσεων στο σύνολο όλων των τριπλών των Πυθαγόρειων αριθμών, τότε, αντίστροφα, η εξίσωση x n + y n = z n , Οπου n > 2 (2) δεν έχει λύσεις στο σύνολο των θετικών ακεραίων.

Απόδειξη.

ΕΝΑ)Όλοι γνωρίζουν ότι η εξίσωση (1) έχει άπειρο αριθμό λύσεων στο σύνολο όλων των τριπλών των Πυθαγόρειων αριθμών. Ας αποδείξουμε ότι ούτε μία τριάδα Πυθαγόρειων αριθμών που να είναι λύση της εξίσωσης (1) δεν είναι λύση της εξίσωσης (2).

Με βάση το νόμο της αντιστρεψιμότητας της ισότητας, ανταλλάσσουμε τις πλευρές της εξίσωσης (1). Πυθαγόρειοι αριθμοί (z, x, y) μπορεί να ερμηνευθεί ως τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου και τα τετράγωνα (x 2, y 2, z 2) μπορεί να ερμηνευθεί ως η περιοχή των τετραγώνων που χτίζονται στην υποτείνουσα και στα πόδια του.

Ας πολλαπλασιάσουμε τα εμβαδά των τετραγώνων της εξίσωσης (1) με ένα αυθαίρετο ύψος η :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

Η εξίσωση (3) μπορεί να ερμηνευθεί ως η ισότητα του όγκου ενός παραλληλεπίπεδου με το άθροισμα των όγκων δύο παραλληλεπίπεδων.

Έστω το ύψος τριών παραλληλεπίπεδων h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Ο όγκος του κύβου αποσυντίθεται σε δύο όγκους δύο παραλληλεπίπεδων. Αφήνουμε τον όγκο του κύβου αμετάβλητο και μειώνουμε το ύψος του πρώτου παραλληλεπίπεδου σε Χ και μειώνουμε το ύψος του δεύτερου παραλληλεπίπεδου σε y . Ο όγκος ενός κύβου είναι μεγαλύτερος από το άθροισμα των όγκων δύο κύβων:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

Στο σύνολο των τριπλών των Πυθαγόρειων αριθμών ( x, y, z ) στο n=3 δεν μπορεί να υπάρξει λύση στην εξίσωση (2). Κατά συνέπεια, στο σύνολο όλων των τριπλών των Πυθαγόρειων αριθμών είναι αδύνατο να αποσυντεθεί ένας κύβος σε δύο κύβους.

Έστω στην εξίσωση (3) το ύψος τριών παραλληλεπίπεδων h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Ο όγκος ενός παραλληλεπίπεδου αποσυντίθεται στο άθροισμα των όγκων δύο παραλληλεπίπεδων.
Αφήνουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης (6) αμετάβλητη. Στη δεξιά πλευρά του το ύψος z 2 Μειώστε σε Χ στην πρώτη θητεία και πριν στις 2 στη δεύτερη θητεία.

Η εξίσωση (6) μετατράπηκε σε ανισότητα:

Ο όγκος του παραλληλεπίπεδου διασπάται σε δύο όγκους δύο παραλληλεπίπεδων.

Αφήνουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης (8) αμετάβλητη.
Στη δεξιά πλευρά το ύψος zn-2 Μειώστε σε xn-2 στον πρώτο όρο και να μειώσουν σε y n-2 στη δεύτερη θητεία. Η εξίσωση (8) γίνεται ανισότητα:

z n > x n + y n

(9)

Στο σύνολο των τριπλών των Πυθαγόρειων αριθμών δεν μπορεί να υπάρχει μία μόνο λύση στην εξίσωση (2).

Κατά συνέπεια, στο σύνολο όλων των τριπλών Πυθαγόρειων αριθμών για όλους n > 2 Η εξίσωση (2) δεν έχει λύσεις.

Έχει ληφθεί μια «πραγματικά θαυματουργή απόδειξη», αλλά μόνο για τρίδυμα Πυθαγόρειοι αριθμοί. Αυτό είναι έλλειψη αποδεικτικών στοιχείωνκαι ο λόγος της άρνησης του P. Fermat από αυτόν.

ΣΙ)Ας αποδείξουμε ότι η εξίσωση (2) δεν έχει λύσεις στο σύνολο των τριπλών μη Πυθαγόρειων αριθμών, που αντιπροσωπεύει μια οικογένεια ενός αυθαίρετου τριπλού Πυθαγόρειων αριθμών z = 13, x = 12, y = 5 και μια οικογένεια ενός αυθαίρετου τριπλού θετικών ακεραίων z = 21, x = 19, y = 16

Και οι δύο τριπλέτες των αριθμών είναι μέλη των οικογενειών τους:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

Ο αριθμός των μελών της οικογένειας (10) και (11) είναι ίσος με το μισό του γινόμενου 13 επί 12 και 21 επί 20, δηλαδή 78 και 210.

Κάθε μέλος της οικογένειας (10) περιέχει z = 13 και μεταβλητές Χ Και στο 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

Κάθε μέλος της οικογένειας (11) περιέχει z = 21 και μεταβλητές Χ Και στο , τα οποία λαμβάνουν ακέραιες τιμές 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Οι μεταβλητές μειώνονται διαδοχικά κατά 1 .

Τριπλάσια αριθμών της ακολουθίας (10) και (11) μπορούν να παρασταθούν ως ακολουθία ανισώσεων τρίτου βαθμού:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

και με τη μορφή ανισοτήτων τέταρτου βαθμού:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

Η ορθότητα κάθε ανισότητας επαληθεύεται ανεβάζοντας τους αριθμούς στην τρίτη και τέταρτη δύναμη.

Ένας κύβος μεγαλύτερου αριθμού δεν μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο κύβους μικρότερων αριθμών. Είναι είτε μικρότερο είτε μεγαλύτερο από το άθροισμα των κύβων των δύο μικρότερων αριθμών.

Το διτετραγωνικό ενός μεγαλύτερου αριθμού δεν μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο διτετράγωνα μικρότερων αριθμών. Είναι είτε μικρότερο είτε μεγαλύτερο από το άθροισμα των διτετράγωνων μικρότερων αριθμών.

Καθώς ο εκθέτης αυξάνεται, όλες οι ανισότητες, εκτός από την αριστερή ακραία ανισότητα, έχουν την ίδια σημασία:

Όλοι έχουν την ίδια σημασία: η δύναμη του μεγαλύτερου αριθμού είναι μεγαλύτερη από το άθροισμα των δυνάμεων των δύο μικρότερων αριθμών με τον ίδιο εκθέτη:

	13 n > 12 n + 12 n ; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n	(12)
	21 n > 20 n + 20 n ; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n	(13)

Ο αριστερός ακραίος όρος των ακολουθιών (12) (13) αντιπροσωπεύει την πιο αδύναμη ανισότητα. Η ορθότητά του καθορίζει την ορθότητα όλων των επόμενων ανισώσεων της ακολουθίας (12) για n > 8 και την ακολουθία (13) στο n > 14 .

Δεν μπορεί να υπάρχει ισότητα μεταξύ τους. Ένα αυθαίρετο τριπλό θετικών ακεραίων (21,19,16) δεν είναι λύση στην εξίσωση (2) του τελευταίου θεωρήματος του Fermat. Εάν ένα αυθαίρετο τριπλό θετικών ακεραίων δεν είναι λύση στην εξίσωση, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις στο σύνολο των θετικών ακεραίων, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.

ΜΕ)Ο σχολιασμός του Fermat στο πρόβλημα του Διόφαντου αναφέρει ότι είναι αδύνατο να αποσυντεθεί " γενικά, καμία δύναμη μεγαλύτερη από ένα τετράγωνο, δύο δυνάμεις με τον ίδιο εκθέτη».

Φιλίένας βαθμός μεγαλύτερος από ένα τετράγωνο δεν μπορεί πραγματικά να αποσυντεθεί σε δύο μοίρες με τον ίδιο εκθέτη. Όχι φιλιάένας βαθμός μεγαλύτερος από ένα τετράγωνο μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο δυνάμεις με τον ίδιο εκθέτη.

Οποιαδήποτε αυθαίρετη τριάδα θετικών ακεραίων (z, x, y) μπορεί να ανήκει σε μια οικογένεια, κάθε μέλος της οποίας αποτελείται από έναν σταθερό αριθμό z και δύο νούμερα μικρότερα z . Κάθε μέλος της οικογένειας μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή μιας ανισότητας και όλες οι προκύπτουσες ανισότητες μπορούν να αναπαρασταθούν με τη μορφή μιας ακολουθίας ανισοτήτων:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n

(14)

Η ακολουθία των ανισώσεων (14) ξεκινά με ανισώσεις για τις οποίες η αριστερή πλευρά είναι μικρότερη από τη δεξιά πλευρά και τελειώνει με ανισώσεις για τις οποίες η δεξιά πλευρά είναι μικρότερη από την αριστερή πλευρά. Με αυξανόμενο εκθέτη n > 2 ο αριθμός των ανισώσεων στη δεξιά πλευρά της ακολουθίας (14) αυξάνεται. Με τον εκθέτη n = k όλες οι ανισώσεις στην αριστερή πλευρά της ακολουθίας αλλάζουν τη σημασία τους και παίρνουν τη σημασία των ανισώσεων στη δεξιά πλευρά των ανισώσεων της ακολουθίας (14). Ως αποτέλεσμα της αύξησης του εκθέτη όλων των ανισοτήτων, η αριστερή πλευρά αποδεικνύεται μεγαλύτερη από τη δεξιά πλευρά:

z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; z k > 2 k + 1 k ; z k > 1 k + 1 k

(15)

Με περαιτέρω αύξηση του εκθέτη n>k καμία από τις ανισότητες δεν αλλάζει το νόημά της και μετατρέπεται σε ισότητα. Σε αυτή τη βάση, μπορεί να υποστηριχθεί ότι κάθε αυθαίρετα επιλεγμένο τριπλό θετικών ακεραίων (z, x, y) στο n > 2 , z > x , z > y

Σε ένα αυθαίρετα επιλεγμένο τριπλό θετικών ακεραίων z μπορεί να είναι ένας αυθαίρετα μεγάλος φυσικός αριθμός. Για όλους τους φυσικούς αριθμούς που δεν είναι μεγαλύτεροι από z , το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά αποδεικνύεται.

ΡΕ)Όσο μεγάλος κι αν είναι ο αριθμός z , στη φυσική σειρά αριθμών υπάρχει ένα μεγάλο αλλά πεπερασμένο σύνολο ακεραίων πριν από αυτό, και μετά από αυτό υπάρχει ένα άπειρο σύνολο ακεραίων.

Ας αποδείξουμε ότι ολόκληρο το άπειρο σύνολο των φυσικών αριθμών είναι μεγάλο z , σχηματίστε τριάδες αριθμών που δεν είναι λύσεις στην εξίσωση του τελευταίου θεωρήματος του Fermat, για παράδειγμα, ένα αυθαίρετο τριπλό θετικών ακεραίων (z + 1, x ,y) , όπου z + 1 > x Και z + 1 > y για όλες τις τιμές του εκθέτη n > 2 δεν είναι λύση στην εξίσωση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά.

Μια τυχαία επιλεγμένη τριάδα θετικών ακεραίων (z + 1, x, y) μπορεί να ανήκει σε μια οικογένεια τριπλών αριθμών, κάθε μέλος της οποίας αποτελείται από έναν σταθερό αριθμό z+1 και δύο αριθμούς Χ Και στο , παίρνοντας διαφορετικές αξίες, μικρότερες z+1 . Τα μέλη της οικογένειας μπορούν να αναπαρασταθούν με τη μορφή ανισοτήτων στις οποίες η σταθερή αριστερή πλευρά είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από τη δεξιά πλευρά. Οι ανισώσεις μπορούν να ταξινομηθούν με τη μορφή μιας ακολουθίας ανισώσεων:

Με περαιτέρω αύξηση του εκθέτη n>k στο άπειρο, καμία από τις ανισότητες της ακολουθίας (17) δεν αλλάζει το νόημά της και μετατρέπεται σε ισότητα. Στην ακολουθία (16), η ανισότητα σχηματίστηκε από ένα αυθαίρετα επιλεγμένο τριπλό θετικών ακεραίων (z + 1, x, y) , μπορεί να βρίσκεται στη δεξιά πλευρά του στη μορφή (z + 1) n > x n + y n ή να είναι στην αριστερή πλευρά του στη φόρμα (z+1)n< x n + y n .

Σε κάθε περίπτωση, ένα τριπλό θετικών ακεραίων (z + 1, x, y) στο n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y στην ακολουθία (16) αντιπροσωπεύει μια ανισότητα και δεν μπορεί να αντιπροσωπεύει μια ισότητα, δηλαδή, δεν μπορεί να αντιπροσωπεύει μια λύση στην εξίσωση του τελευταίου θεωρήματος του Fermat.

Είναι εύκολο και απλό να κατανοήσουμε την προέλευση της ακολουθίας των ανισώσεων ισχύος (16), στην οποία η τελευταία ανισότητα στην αριστερή πλευρά και η πρώτη ανισότητα στη δεξιά πλευρά είναι ανισότητες αντίθετης σημασίας. Αντίθετα, δεν είναι εύκολο και δύσκολο για μαθητές, μαθητές γυμνασίου και λυκείου, να κατανοήσουν πώς σχηματίζεται μια ακολουθία ανισοτήτων (16) από μια ακολουθία ανισοτήτων (17), στην οποία όλες οι ανισότητες έχουν την ίδια σημασία. .

Στην ακολουθία (16), η αύξηση του ακέραιου βαθμού των ανισώσεων κατά 1 μονάδα μετατρέπει την τελευταία ανισότητα στην αριστερή πλευρά στην πρώτη ανισότητα της αντίθετης αίσθησης στη δεξιά πλευρά. Έτσι, ο αριθμός των ανισώσεων στην αριστερή πλευρά της ακολουθίας μειώνεται και ο αριθμός των ανισώσεων στη δεξιά πλευρά αυξάνεται. Μεταξύ της τελευταίας και της πρώτης ανισότητας ισχύος αντίθετης σημασίας υπάρχει αναγκαστικά μια ισότητα ισχύος. Ο βαθμός του δεν μπορεί να είναι ακέραιος, αφού μόνο οι μη ακέραιοι αριθμοί βρίσκονται ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς. Μια ισότητα ισχύος μη ακέραιου βαθμού, σύμφωνα με τις συνθήκες του θεωρήματος, δεν μπορεί να θεωρηθεί λύση της εξίσωσης (1).

Αν στην ακολουθία (16) συνεχίσουμε να αυξάνουμε το βαθμό κατά 1 μονάδα, τότε η τελευταία ανισότητα της αριστερής πλευράς της θα μετατραπεί στην πρώτη ανισότητα της αντίθετης σημασίας της δεξιάς πλευράς. Ως αποτέλεσμα, δεν θα υπάρχουν αριστερές ανισότητες αριστερά και θα παραμείνουν μόνο ανισότητες της δεξιάς, οι οποίες θα είναι μια ακολουθία αυξανόμενων ανισοτήτων ισχύος (17). Μια περαιτέρω αύξηση στην ακέραια ισχύ τους κατά 1 μονάδα ενισχύει μόνο τις ανισότητες ισχύος του και αποκλείει κατηγορηματικά την πιθανότητα ισότητας στην ακέραια ισχύ.

Κατά συνέπεια, γενικά, καμία ακέραια δύναμη ενός φυσικού αριθμού (z+1) της ακολουθίας ανισώσεων ισχύος (17) δεν μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο ακέραιες δυνάμεις με τον ίδιο εκθέτη. Επομένως, η εξίσωση (1) δεν έχει λύσεις σε ένα άπειρο σύνολο φυσικών αριθμών, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.

Κατά συνέπεια, το τελευταίο θεώρημα του Fermat αποδεικνύεται στο σύνολό του:

• στην ενότητα Α) για όλα τα τρίδυμα (z, x, y) Πυθαγόρειοι αριθμοί (η ανακάλυψη του Fermat είναι πραγματικά μια υπέροχη απόδειξη)
• στην ενότητα Β) για όλα τα μέλη της οικογένειας οποιουδήποτε τριπλού (z, x, y) Πυθαγόρειοι αριθμοί,
• στην ενότητα Γ) για όλες τις τριάδες των αριθμών (z, x, y) , όχι μεγάλους αριθμούς z
• στην ενότητα Δ) για όλες τις τριάδες των αριθμών (z, x, y) φυσική σειρά αριθμών.

Οι αλλαγές έγιναν 09/05/2010

Ποια θεωρήματα μπορούν και δεν μπορούν να αποδειχθούν με αντίφαση;

Το επεξηγηματικό λεξικό μαθηματικών όρων ορίζει μια απόδειξη με αντίφαση ενός θεωρήματος, το αντίθετο ενός αντίστροφου θεωρήματος.

«Η απόδειξη με αντίφαση είναι μια μέθοδος απόδειξης ενός θεωρήματος (πρότασης), που συνίσταται στην απόδειξη όχι του ίδιου του θεωρήματος, αλλά του ισοδύναμου (ισοδύναμου) θεωρήματός του. Η απόδειξη με αντίφαση χρησιμοποιείται όποτε το άμεσο θεώρημα είναι δύσκολο να αποδειχθεί, αλλά το αντίθετο είναι πιο εύκολο να αποδειχθεί. Σε μια απόδειξη με αντίφαση, το συμπέρασμα του θεωρήματος αντικαθίσταται από την άρνησή του και μέσω του συλλογισμού καταλήγει κανείς στην άρνηση των συνθηκών, δηλ. σε μια αντίφαση, στο αντίθετο (το αντίθετο από αυτό που δίνεται· αυτή η αναγωγή στο παράλογο αποδεικνύει το θεώρημα».

Η απόδειξη με αντίφαση χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά. Η απόδειξη με αντίφαση βασίζεται στον νόμο της εξαιρούμενης μέσης, ο οποίος συνίσταται στο γεγονός ότι από δύο προτάσεις (προτάσεις) Α και Α (άρνηση του Α), η μία από αυτές είναι αληθής και η άλλη ψευδής»./Explanatory Dictionary of Mathematical Terms: A Manual for Teachers/O. V. Manturov [κ.λπ.]; επεξεργάστηκε από V. A. Ditkina.- M.: Εκπαίδευση, 1965.- 539 σελ.: ill.-C.112/.

Δεν θα ήταν καλύτερο να δηλώσουμε ανοιχτά ότι η μέθοδος απόδειξης με αντίφαση δεν είναι μαθηματική μέθοδος, αν και χρησιμοποιείται στα μαθηματικά, ότι είναι λογική μέθοδος και ανήκει στη λογική. Είναι αποδεκτό να πούμε ότι η απόδειξη με αντίφαση «χρησιμοποιείται κάθε φορά που ένα άμεσο θεώρημα είναι δύσκολο να αποδειχθεί», ενώ στην πραγματικότητα χρησιμοποιείται όταν και μόνο όταν δεν υπάρχει υποκατάστατο.

Ιδιαίτερη προσοχή αξίζει επίσης ο χαρακτηρισμός της σχέσης του ευθείου και του αντίστροφου θεωρήματος μεταξύ τους. «Το αντίστροφο θεώρημα για ένα δεδομένο θεώρημα (ή για ένα δεδομένο θεώρημα) είναι ένα θεώρημα στο οποίο η συνθήκη είναι το συμπέρασμα και το συμπέρασμα είναι η συνθήκη του δεδομένου θεωρήματος. Αυτό το θεώρημα σε σχέση με το αντίστροφο θεώρημα ονομάζεται άμεσο θεώρημα (πρωτότυπο). Ταυτόχρονα, το θεώρημα της αντίστροφης προς το θεώρημα της αντίστροφης θα είναι το δεδομένο θεώρημα. Επομένως, το άμεσο και το αντίστροφο θεωρήματα ονομάζονται αμοιβαία αντίστροφα. Εάν το άμεσο (δοθέν) θεώρημα είναι αληθές, τότε το αντίστροφο θεώρημα δεν είναι πάντα αληθές. Για παράδειγμα, αν ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος, τότε οι διαγώνιοι του είναι αμοιβαία κάθετες (άμεσο θεώρημα). Εάν σε ένα τετράπλευρο οι διαγώνιοι είναι αμοιβαία κάθετες, τότε το τετράπλευρο είναι ρόμβος - αυτό είναι ψευδές, δηλαδή το αντίστροφο θεώρημα είναι ψευδές./Explanatory Dictionary of Mathematical Terms: A Manual for Teachers/O. V. Manturov [κ.λπ.]; επεξεργάστηκε από V. A. Ditkina.- M.: Εκπαίδευση, 1965.- 539 σελ.: ill.-C.261 /.

Αυτό το χαρακτηριστικό της σχέσης μεταξύ του ευθείου και του αντιστρόφου θεωρήματος δεν λαμβάνει υπόψη το γεγονός ότι η συνθήκη του ευθείου θεωρήματος γίνεται αποδεκτή ως δεδομένη, χωρίς απόδειξη, επομένως η ορθότητά της δεν είναι εγγυημένη. Η συνθήκη του αντιστρόφου θεωρήματος δεν γίνεται αποδεκτή ως δεδομένη, αφού είναι το συμπέρασμα του αποδεδειγμένου άμεσου θεωρήματος. Η ορθότητά του επιβεβαιώνεται από την απόδειξη του άμεσου θεωρήματος. Αυτή η ουσιαστική λογική διαφορά στις συνθήκες των ευθειών και αντίστροφων θεωρημάτων αποδεικνύεται καθοριστική στο ερώτημα ποια θεωρήματα μπορούν και ποια δεν μπορούν να αποδειχθούν με τη λογική μέθοδο με αντίφαση.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα άμεσο θεώρημα στο μυαλό, το οποίο μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας τη συνήθη μαθηματική μέθοδο, αλλά είναι δύσκολο. Ας το διατυπώσουμε γενικά και συνοπτικά ως εξής: από ΕΝΑπρέπει μι . Σύμβολο ΕΝΑ έχει τη σημασία της δεδομένης συνθήκης του θεωρήματος, αποδεκτή χωρίς απόδειξη. Σύμβολο μι αυτό που έχει σημασία είναι το συμπέρασμα του θεωρήματος που πρέπει να αποδειχθεί.

Θα αποδείξουμε το άμεσο θεώρημα με αντίφαση, λογικόςμέθοδος. Η λογική μέθοδος χρησιμοποιείται για την απόδειξη ενός θεωρήματος που έχει όχι μαθηματικάκατάσταση, και λογικόςκατάσταση. Μπορεί να ληφθεί εάν η μαθηματική συνθήκη του θεωρήματος από ΕΝΑπρέπει μι , συμπληρώστε με την ακριβώς αντίθετη συνθήκη από ΕΝΑμην το κάνεις μι .

Το αποτέλεσμα ήταν μια λογική αντιφατική συνθήκη του νέου θεωρήματος, που περιείχε δύο μέρη: από ΕΝΑπρέπει μι Και από ΕΝΑμην το κάνεις μι . Η προκύπτουσα συνθήκη του νέου θεωρήματος αντιστοιχεί στον λογικό νόμο της εξαιρούμενης μέσης και αντιστοιχεί στην απόδειξη του θεωρήματος με αντίφαση.

Σύμφωνα με το νόμο, ένα μέρος μιας αντιφατικής συνθήκης είναι ψευδές, ένα άλλο μέρος είναι αληθές και το τρίτο αποκλείεται. Η απόδειξη με αντίφαση έχει ως αποστολή και σκοπό να καθορίσει ποιο ακριβώς μέρος από τα δύο μέρη της συνθήκης του θεωρήματος είναι ψευδές. Μόλις προσδιοριστεί το ψευδές μέρος της συνθήκης, το άλλο μέρος προσδιορίζεται ως το αληθινό μέρος και το τρίτο αποκλείεται.

Σύμφωνα με το επεξηγηματικό λεξικό των μαθηματικών όρων, «απόδειξη είναι ο συλλογισμός κατά τον οποίο διαπιστώνεται η αλήθεια ή το ψεύδος οποιασδήποτε δήλωσης (κρίσης, δήλωσης, θεωρήματος)».. Απόδειξη κατά αντίφασηυπάρχει συλλογισμός κατά τον οποίο διαπιστώνεται ψευτιά(παράλογος) του συμπεράσματος που προκύπτει από ψευδήςσυνθήκες του προς απόδειξη θεωρήματος.

Δεδομένος: από ΕΝΑπρέπει μικαι από ΕΝΑμην το κάνεις μι .

Αποδεικνύω: από ΕΝΑπρέπει μι .

Απόδειξη: Η λογική συνθήκη του θεωρήματος περιέχει μια αντίφαση που απαιτεί την επίλυσή της. Η αντίφαση της συνθήκης πρέπει να βρει την επίλυσή της στην απόδειξη και το αποτέλεσμά της. Το αποτέλεσμα αποδεικνύεται ψευδές με άψογο και χωρίς λάθη συλλογισμό. Ο λόγος για ένα ψευδές συμπέρασμα σε λογικά ορθό συλλογισμό μπορεί να είναι μόνο μια αντιφατική συνθήκη: από ΕΝΑπρέπει μι Και από ΕΝΑμην το κάνεις μι .

Δεν υπάρχει καμία αμφιβολία ότι ένα μέρος της συνθήκης είναι ψευδές και το άλλο σε αυτή την περίπτωση είναι αληθινό. Και τα δύο μέρη της συνθήκης έχουν την ίδια προέλευση, γίνονται αποδεκτά ως δεδομένα, θεωρούνται, εξίσου πιθανά, εξίσου παραδεκτά, κ.λπ. . Επομένως, στον ίδιο βαθμό μπορεί να είναι από ΕΝΑπρέπει μι και ίσως από ΕΝΑμην το κάνεις μι . Δήλωση από ΕΝΑπρέπει μι Μπορεί ψευδής, μετά η δήλωση από ΕΝΑμην το κάνεις μι θα είναι αλήθεια. Δήλωση από ΕΝΑμην το κάνεις μι μπορεί να είναι ψευδής, τότε η δήλωση από ΕΝΑπρέπει μι θα είναι αλήθεια.

Κατά συνέπεια, είναι αδύνατο να αποδειχθεί ένα άμεσο θεώρημα με αντίφαση.

Τώρα θα αποδείξουμε αυτό το ίδιο άμεσο θεώρημα χρησιμοποιώντας τη συνηθισμένη μαθηματική μέθοδο.

Δεδομένος: ΕΝΑ .

Αποδεικνύω: από ΕΝΑπρέπει μι .

Απόδειξη.

1. Από ΕΝΑπρέπει σι

2. Από σιπρέπει ΣΕ (σύμφωνα με το προηγουμένως αποδεδειγμένο θεώρημα)).

3. Από ΣΕπρέπει σολ (σύμφωνα με το προηγουμένως αποδεδειγμένο θεώρημα).

4. Από σολπρέπει ρε (σύμφωνα με το προηγουμένως αποδεδειγμένο θεώρημα).

5. Από ρεπρέπει μι (σύμφωνα με το προηγουμένως αποδεδειγμένο θεώρημα).

Με βάση το νόμο της μεταβατικότητας, από ΕΝΑπρέπει μι . Το άμεσο θεώρημα αποδεικνύεται με τη συνήθη μέθοδο.

Έστω το αποδεδειγμένο άμεσο θεώρημα να έχει σωστό αντίστροφο θεώρημα: από μιπρέπει ΕΝΑ .

Ας το αποδείξουμε με τα συνηθισμένα μαθηματικόςμέθοδος. Η απόδειξη του θεωρήματος της αντίστροφης μπορεί να εκφραστεί σε συμβολική μορφή ως αλγόριθμος μαθηματικών πράξεων.

Δεδομένος: μι

Αποδεικνύω: από μιπρέπει ΕΝΑ .

Απόδειξη.

1. Από μιπρέπει ρε

2. Από ρεπρέπει σολ (σύμφωνα με το προηγουμένως αποδεδειγμένο θεώρημα της αντίστροφης).

3. Από σολπρέπει ΣΕ (σύμφωνα με το προηγουμένως αποδεδειγμένο θεώρημα της αντίστροφης).

4. Από ΣΕμην το κάνεις σι (το θεώρημα της αντίστροφης δεν είναι αληθές). Να γιατί από σιμην το κάνεις ΕΝΑ .

Σε αυτήν την κατάσταση, δεν έχει νόημα να συνεχίσουμε τη μαθηματική απόδειξη του θεωρήματος της αντίστροφης. Ο λόγος για την κατάσταση είναι λογικός. Ένα εσφαλμένο αντίστροφο θεώρημα δεν μπορεί να αντικατασταθεί με τίποτα. Επομένως, είναι αδύνατο να αποδειχθεί αυτό το αντίστροφο θεώρημα χρησιμοποιώντας τη συνήθη μαθηματική μέθοδο. Κάθε ελπίδα είναι να αποδειχθεί αυτό το αντίστροφο θεώρημα με αντίφαση.

Για να το αποδείξουμε με αντίφαση, είναι απαραίτητο να αντικαταστήσουμε τη μαθηματική του συνθήκη με μια λογική αντιφατική συνθήκη, η οποία κατά την έννοια της περιέχει δύο μέρη - ψευδές και αληθές.

Θεώρημα αντιστροφήςαναφέρει: από μιμην το κάνεις ΕΝΑ . Η κατάστασή της μι , από το οποίο προκύπτει το συμπέρασμα ΕΝΑ , είναι το αποτέλεσμα της απόδειξης του άμεσου θεωρήματος χρησιμοποιώντας τη συνήθη μαθηματική μέθοδο. Αυτή η προϋπόθεση πρέπει να διατηρηθεί και να συμπληρωθεί με τη δήλωση από μιπρέπει ΕΝΑ . Ως αποτέλεσμα της πρόσθεσης, λαμβάνουμε την αντιφατική συνθήκη του νέου αντιστρόφου θεωρήματος: από μιπρέπει ΕΝΑ Και από μιμην το κάνεις ΕΝΑ . Βασισμένο σε αυτό λογικάαντιφατική συνθήκη, το θεώρημα της αντίστροφης μπορεί να αποδειχθεί μέσω του σωστού λογικόςσυλλογισμός μόνο, και μόνο, λογικόςμέθοδος με αντίφαση. Σε μια απόδειξη με αντίφαση, οποιεσδήποτε μαθηματικές ενέργειες και πράξεις υποτάσσονται σε λογικές και επομένως δεν υπολογίζονται.

Στο πρώτο μέρος της αντιφατικής δήλωσης από μιπρέπει ΕΝΑ κατάσταση μι αποδείχτηκε με την απόδειξη του ευθύς θεωρήματος. Στο δεύτερο μέρος από μιμην το κάνεις ΕΝΑ κατάσταση μι θεωρήθηκε και έγινε δεκτό χωρίς απόδειξη. Το ένα από αυτά είναι ψευδές και το άλλο είναι αληθινό. Πρέπει να αποδείξεις ποιο είναι ψεύτικο.

Το αποδεικνύουμε με το σωστό λογικόςσυλλογισμό και ανακαλύψτε ότι το αποτέλεσμά του είναι ένα ψευδές, παράλογο συμπέρασμα. Ο λόγος για ένα ψευδές λογικό συμπέρασμα είναι η αντιφατική λογική συνθήκη του θεωρήματος, η οποία περιλαμβάνει δύο μέρη - ψευδές και αληθές. Το ψευδές μέρος μπορεί να είναι μόνο μια δήλωση από μιμην το κάνεις ΕΝΑ , στο οποίο μι έγινε δεκτό χωρίς απόδειξη. Αυτό είναι που το κάνει διαφορετικό από αυτό μι δηλώσεις από μιπρέπει ΕΝΑ , που αποδεικνύεται από την απόδειξη του ευθύς θεωρήματος.

Επομένως, η δήλωση είναι αληθής: από μιπρέπει ΕΝΑ , που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

συμπέρασμα: με τη λογική μέθοδο, μόνο το αντίστροφο θεώρημα αποδεικνύεται με αντίφαση, το οποίο έχει ένα άμεσο θεώρημα που αποδεικνύεται με τη μαθηματική μέθοδο και το οποίο δεν μπορεί να αποδειχθεί με τη μαθηματική μέθοδο.

Το συμπέρασμα που προκύπτει αποκτά εξαιρετική σημασία σε σχέση με τη μέθοδο απόδειξης με αντίφαση του μεγάλου θεωρήματος του Fermat. Η συντριπτική πλειονότητα των προσπαθειών απόδειξης βασίζεται όχι στη συνήθη μαθηματική μέθοδο, αλλά στη λογική μέθοδο απόδειξης με αντίφαση. Η απόδειξη του Wiles για το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat δεν αποτελεί εξαίρεση.

Ο Ντμίτρι Αμπράροφ, στο άρθρο «Το Θεώρημα του Φερμά: το Φαινόμενο των Αποδείξεων του Γουίλς», δημοσίευσε ένα σχόλιο για την απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά από τον Γουάιλ. Σύμφωνα με τον Abrarov, ο Wiles αποδεικνύει το τελευταίο θεώρημα του Fermat με τη βοήθεια μιας αξιοσημείωτης ανακάλυψης του Γερμανού μαθηματικού Gerhard Frey (γενν. 1944), ο οποίος συσχέτισε την πιθανή λύση της εξίσωσης του Fermat x n + y n = z n , Οπου n > 2 , με μια άλλη, εντελώς διαφορετική εξίσωση. Αυτή η νέα εξίσωση δίνεται από μια ειδική καμπύλη (που ονομάζεται ελλειπτική καμπύλη του Frey). Η καμπύλη Frey δίνεται από μια πολύ απλή εξίσωση:
.

«Ο Frey ήταν αυτός που συνέκρινε κάθε απόφαση (α, β, γ)Η εξίσωση του Fermat, δηλαδή αριθμοί που ικανοποιούν τη σχέση a n + b n = c n, η παραπάνω καμπύλη. Σε αυτή την περίπτωση, θα ακολουθούσε το τελευταίο θεώρημα του Φερμά».(Απόσπασμα από: Abrarov D. "Fermat's Theorem: the fenomen of Wiles' proofs")

Με άλλα λόγια, ο Gerhard Frey πρότεινε ότι η εξίσωση του τελευταίου θεωρήματος του Fermat x n + y n = z n , Οπου n > 2 , έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς. Αυτές οι ίδιες λύσεις είναι, σύμφωνα με την υπόθεση του Frey, λύσεις στην εξίσωσή του
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , που δίνεται από την ελλειπτική του καμπύλη.

Ο Andrew Wiles αποδέχτηκε αυτή την αξιοσημείωτη ανακάλυψη του Frey και, με τη βοήθειά του, μαθηματικόςμέθοδος απέδειξε ότι αυτό το εύρημα, δηλαδή η ελλειπτική καμπύλη Frey, δεν υπάρχει. Επομένως, δεν υπάρχει εξίσωση και οι λύσεις της που δίνονται από μια ανύπαρκτη ελλειπτική καμπύλη, επομένως ο Wiles θα έπρεπε να είχε αποδεχθεί το συμπέρασμα ότι δεν υπάρχει εξίσωση του τελευταίου θεωρήματος του Fermat και του ίδιου του θεωρήματος του Fermat. Ωστόσο, δέχεται ένα πιο μέτριο συμπέρασμα ότι η εξίσωση του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς.

Ένα αδιαμφισβήτητο γεγονός μπορεί να είναι ότι ο Wiles αποδέχτηκε μια υπόθεση που έχει ακριβώς το αντίθετο νόημα από αυτό που δηλώνεται από το μεγάλο θεώρημα του Fermat. Υποχρεώνει τον Wiles να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Fermat με αντίφαση. Ας ακολουθήσουμε το παράδειγμά του και ας δούμε τι προκύπτει από αυτό το παράδειγμα.

Το τελευταίο θεώρημα του Fermat δηλώνει ότι η εξίσωση x n + y n = z n , Οπου n > 2 , δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς.

Σύμφωνα με τη λογική μέθοδο απόδειξης με αντίφαση, αυτή η δήλωση διατηρείται, γίνεται αποδεκτή ως δεδομένη χωρίς απόδειξη και στη συνέχεια συμπληρώνεται με μια αντίθετη πρόταση: εξίσωση x n + y n = z n , Οπου n > 2 , έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς.

Η τεκμαρτή δήλωση γίνεται δεκτή και ως δεδομένη, χωρίς απόδειξη. Και οι δύο δηλώσεις, θεωρημένες από τη σκοπιά των βασικών νόμων της λογικής, είναι εξίσου έγκυρες, εξίσου έγκυρες και εξίσου δυνατές. Μέσω της σωστής συλλογιστικής, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί ποια είναι λανθασμένη, ώστε στη συνέχεια να προσδιοριστεί ότι η άλλη πρόταση είναι αληθής.

Ο σωστός συλλογισμός καταλήγει σε ένα ψευδές, παράλογο συμπέρασμα, ο λογικός λόγος του οποίου μπορεί να είναι μόνο η αντιφατική συνθήκη του θεωρήματος που αποδεικνύεται, το οποίο περιέχει δύο μέρη με ακριβώς αντίθετη σημασία. Ήταν ο λογικός λόγος για το παράλογο συμπέρασμα, αποτέλεσμα απόδειξης με αντίφαση.

Ωστόσο, κατά τη διάρκεια της λογικά ορθής συλλογιστικής, δεν ανακαλύφθηκε ούτε ένα σημείο με το οποίο θα μπορούσε να διαπιστωθεί ποια συγκεκριμένη δήλωση είναι ψευδής. Θα μπορούσε να είναι μια δήλωση: εξίσωση x n + y n = z n , Οπου n > 2 , έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς. Στην ίδια βάση, θα μπορούσε να είναι η ακόλουθη δήλωση: εξίσωση x n + y n = z n , Οπου n > 2 , δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς.

Ως αποτέλεσμα του συλλογισμού, μπορεί να υπάρξει μόνο ένα συμπέρασμα: Το τελευταίο θεώρημα του Fermat δεν μπορεί να αποδειχθεί με αντίφαση.

Θα ήταν πολύ διαφορετικό το θέμα αν το τελευταίο θεώρημα του Φερμά ήταν ένα αντίστροφο θεώρημα, το οποίο έχει ένα άμεσο θεώρημα αποδεδειγμένο με τη συνήθη μαθηματική μέθοδο. Σε αυτή την περίπτωση, θα μπορούσε να αποδειχθεί με αντίφαση. Και δεδομένου ότι είναι ένα άμεσο θεώρημα, η απόδειξή του θα πρέπει να βασίζεται όχι στη λογική μέθοδο απόδειξης με αντίφαση, αλλά στη συνηθισμένη μαθηματική μέθοδο.

Σύμφωνα με τον D. Abrarov, ο πιο διάσημος από τους σύγχρονους Ρώσους μαθηματικούς, ο ακαδημαϊκός V. I. Arnold, αντέδρασε «ενεργά σκεπτικά» στην απόδειξη του Wiles. Ο ακαδημαϊκός δήλωσε: «αυτά δεν είναι πραγματικά μαθηματικά - τα πραγματικά μαθηματικά είναι γεωμετρικά και έχουν ισχυρές συνδέσεις με τη φυσική.» (Απόσπασμα από: Abrarov D. «Θεώρημα Fermat: το φαινόμενο των αποδείξεων του Wiles». Η μη μαθηματική απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat του Wiles.

Με αντίφαση είναι αδύνατο να αποδειχθεί είτε ότι η εξίσωση του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά δεν έχει λύσεις, είτε ότι έχει λύσεις. Το λάθος του Wiles δεν είναι μαθηματικό, αλλά λογικό - η χρήση της απόδειξης με αντίφαση όπου η χρήση της δεν έχει νόημα και το μεγάλο θεώρημα του Fermat δεν αποδεικνύει.

Το τελευταίο θεώρημα του Fermat δεν μπορεί να αποδειχθεί ακόμη και χρησιμοποιώντας τη συνηθισμένη μαθηματική μέθοδο εάν δίνει: την εξίσωση x n + y n = z n , Οπου n > 2 , δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς, και αν θέλετε να αποδείξετε σε αυτό: την εξίσωση x n + y n = z n , Οπου n > 2 , δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς. Σε αυτή τη μορφή δεν υπάρχει ένα θεώρημα, αλλά μια ταυτολογία χωρίς νόημα.

Σημείωση.Η απόδειξη BTF μου συζητήθηκε σε ένα από τα φόρουμ. Ένας από τους συμμετέχοντες στο Trotil, ειδικός στη θεωρία αριθμών, έκανε την ακόλουθη έγκυρη δήλωση με τίτλο: «Μια σύντομη επανάληψη του τι έκανε ο Mirgorodsky». Το παραθέτω επί λέξει:

« ΕΝΑ. Απέδειξε ότι αν z 2 = x 2 + y , Οτι z n > x n + y n . Αυτό είναι ένα γνωστό και αρκετά προφανές γεγονός.

ΣΕ. Πήρε δύο τριάδες - Πυθαγόρεια και μη και έδειξε με απλή αναζήτηση ότι για μια συγκεκριμένη, συγκεκριμένη οικογένεια τριπλών (78 και 210 τεμάχια) το BTF είναι ικανοποιημένο (και μόνο για αυτό).

ΜΕ. Και τότε ο συγγραφέας παρέλειψε το γεγονός ότι από < σε μεταγενέστερο βαθμό μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι = , ΟΧΙ μονο > . Ένα απλό αντιπαράδειγμα - μετάβαση n=1 V n=2 στην Πυθαγόρεια τριάδα.

ΡΕ. Αυτό το σημείο δεν συνεισφέρει τίποτα σημαντικό στην απόδειξη BTF. Συμπέρασμα: Το BTF δεν έχει αποδειχθεί.

Θα εξετάσω το συμπέρασμά του σημείο προς σημείο.

ΕΝΑ.Αποδεικνύει το BTF για ολόκληρο το άπειρο σύνολο των τριπλών των Πυθαγόρειων αριθμών. Αποδεικνύεται με μια γεωμετρική μέθοδο, την οποία, όπως πιστεύω, δεν την ανακάλυψα εγώ, αλλά την ανακάλυψα ξανά. Και το ανακάλυψε, όπως πιστεύω, ο ίδιος ο P. Fermat. Ο Fermat μπορεί να το είχε υπόψη του όταν έγραψε:

«Έχω ανακαλύψει μια πραγματικά υπέροχη απόδειξη για αυτό, αλλά αυτά τα πεδία είναι πολύ στενά για αυτό». Αυτή η παραδοχή μου βασίζεται στο γεγονός ότι στο Διοφαντικό πρόβλημα, εναντίον του οποίου έγραψε ο Φερμά στο περιθώριο του βιβλίου, μιλάμε για λύσεις της Διοφαντικής εξίσωσης, που είναι τριπλέτες Πυθαγόρειων αριθμών.

Ένα άπειρο σύνολο τριπλών Πυθαγόρειων αριθμών είναι λύσεις της Διοφατικής εξίσωσης και στο θεώρημα του Φερμά, αντίθετα, καμία από τις λύσεις δεν μπορεί να είναι λύση στην εξίσωση του θεωρήματος του Φερμά. Και η πραγματικά υπέροχη απόδειξη του Fermat σχετίζεται άμεσα με αυτό το γεγονός. Ο Fermat θα μπορούσε αργότερα να επεκτείνει το θεώρημά του στο σύνολο όλων των φυσικών αριθμών. Στο σύνολο όλων των φυσικών αριθμών, το BTF δεν ανήκει στο «σύνολο των εξαιρετικά όμορφων θεωρημάτων». Αυτή είναι η δική μου υπόθεση, η οποία δεν μπορεί ούτε να αποδειχθεί ούτε να διαψευστεί. Μπορεί να γίνει αποδεκτό ή να απορριφθεί.

ΣΕ.Σε αυτό το σημείο, αποδεικνύω ότι ικανοποιούνται τόσο η οικογένεια ενός αυθαίρετα ληφθέντος Πυθαγόρειου τριπλού αριθμών όσο και η οικογένεια ενός αυθαίρετου μη Πυθαγόρειου τριπλού αριθμών BTF. Αυτός είναι ένας απαραίτητος, αλλά ανεπαρκής και ενδιάμεσος σύνδεσμος στην απόδειξη του BTF . Τα παραδείγματα που πήρα από την οικογένεια του τριπλού των Πυθαγόρειων αριθμών και την οικογένεια του τριπλού των μη Πυθαγόρειων αριθμών έχουν την έννοια συγκεκριμένων παραδειγμάτων που προϋποθέτουν και δεν αποκλείουν την ύπαρξη παρόμοιων άλλων παραδειγμάτων.

Η δήλωση του Trotil ότι «έδειξα με απλή αναζήτηση ότι για μια συγκεκριμένη, συγκεκριμένη οικογένεια τριδύμων (78 και 210 τεμάχια) η BTF είναι ικανοποιημένη (και μόνο για αυτήν) είναι αβάσιμη. Δεν μπορεί να αντικρούσει το γεγονός ότι μπορώ εξίσου εύκολα να πάρω άλλα παραδείγματα πυθαγόρειων και μη πυθαγόρειων τριπλών για να αποκτήσω μια συγκεκριμένη ορισμένη οικογένεια του ενός και του άλλου τριπλού.

Όποιο ζευγάρι τρίδυμα κι αν πάρω, ο έλεγχος της καταλληλότητάς τους για την επίλυση του προβλήματος μπορεί να πραγματοποιηθεί, κατά τη γνώμη μου, μόνο με τη μέθοδο της «απλής απαρίθμησης». Δεν ξέρω άλλη μέθοδο και δεν τη χρειάζομαι. Αν δεν του άρεσε στον Τροτίλ, τότε θα έπρεπε να είχε προτείνει άλλη μέθοδο, κάτι που δεν κάνει. Χωρίς να προσφέρουμε τίποτα σε αντάλλαγμα, είναι λάθος να καταδικάζουμε την «απλή υπερβολή», η οποία σε αυτή την περίπτωση είναι αναντικατάστατη.

ΜΕ.έχω παραλείψει = μεταξύ< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), στο οποίο ο βαθμός n > 2 — ολόκληροςθετικός αριθμός. Από την ισότητα μεταξύ των ανισοτήτων προκύπτει επιτακτικόςθεώρηση της εξίσωσης (1) για μια μη ακέραια τιμή βαθμού n > 2 . Τροτίλ, μετρώντας υποχρεωτικόςη εξέταση της ισότητας μεταξύ των ανισοτήτων λαμβάνει πραγματικά υπόψη απαραίτητηστην απόδειξη BTF, λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση (1) με όχι ολόκληροτιμή πτυχίου n > 2 . Το έκανα αυτό για τον εαυτό μου και βρήκα την εξίσωση (1) με όχι ολόκληροτιμή πτυχίου n > 2 έχει λύση τριών αριθμών: z, (z-1), (z-1) για έναν μη ακέραιο εκθέτη.

Για ακέραιους αριθμούς n μεγαλύτερους από 2, η εξίσωση x n + y n = z n δεν έχει μη μηδενικές λύσεις σε φυσικούς αριθμούς.

Μάλλον θυμάστε από τα σχολικά σας χρόνια Πυθαγόρειο θεώρημα: Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών. Μπορεί επίσης να θυμάστε το κλασικό ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές των οποίων τα μήκη είναι στην αναλογία 3: 4: 5. Για αυτό, το Πυθαγόρειο θεώρημα μοιάζει με αυτό:

Αυτό είναι ένα παράδειγμα επίλυσης της γενικευμένης Πυθαγόρειας εξίσωσης σε μη μηδενικούς ακέραιους με n= 2. Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά (ονομάζεται επίσης "Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά" και "Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά") είναι η δήλωση ότι για τις τιμές n> 2 εξισώσεις της φόρμας x n + y n = z nδεν έχουν μη μηδενικές λύσεις σε φυσικούς αριθμούς.

Η ιστορία του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά είναι πολύ ενδιαφέρουσα και διδακτική, και όχι μόνο για τους μαθηματικούς. Ο Pierre de Fermat συνέβαλε στην ανάπτυξη διαφόρων τομέων των μαθηματικών, αλλά το κύριο μέρος της επιστημονικής του κληρονομιάς δημοσιεύτηκε μόνο μετά θάνατον. Γεγονός είναι ότι τα μαθηματικά για τον Fermat ήταν κάτι σαν χόμπι και όχι επαγγελματική ενασχόληση. Αλληλογραφούσε με τους κορυφαίους μαθηματικούς της εποχής του, αλλά δεν προσπάθησε να δημοσιεύσει το έργο του. Τα επιστημονικά γραπτά του Φερμά βρίσκονται κυρίως με τη μορφή ιδιωτικής αλληλογραφίας και αποσπασματικών σημειώσεων, συχνά γραμμένων στο περιθώριο διαφόρων βιβλίων. Βρίσκεται στο περιθώριο (του δεύτερου τόμου της αρχαίας ελληνικής «Αριθμητικής» του Διόφαντου. - Σημείωση μεταφράστης) λίγο μετά το θάνατο του μαθηματικού, οι απόγονοι ανακάλυψαν τη διατύπωση του διάσημου θεωρήματος και το υστερόγραφο:

« Βρήκα μια πραγματικά υπέροχη απόδειξη για αυτό, αλλά αυτά τα πεδία είναι πολύ στενά για αυτό».

Δυστυχώς, προφανώς, ο Fermat δεν μπήκε ποτέ στον κόπο να γράψει τη «θαυματουργή απόδειξη» που βρήκε και οι απόγονοι ανεπιτυχώς την αναζήτησαν για περισσότερο από τρεις αιώνες. Από όλη τη διάσπαρτη επιστημονική κληρονομιά του Fermat, η οποία περιέχει πολλές εκπληκτικές δηλώσεις, ήταν το Μεγάλο Θεώρημα που αρνήθηκε πεισματικά να λυθεί.

Όποιος προσπάθησε να αποδείξει το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι μάταιος! Ένας άλλος σπουδαίος Γάλλος μαθηματικός, ο Ρενέ Ντεκάρτ (1596–1650), αποκάλεσε τον Φερμά «καυχιάρη» και ο Άγγλος μαθηματικός Τζον Γουόλις (1616–1703) τον αποκάλεσε «καταραμένο Γάλλο». Ο ίδιος ο Fermat, ωστόσο, άφησε πίσω του μια απόδειξη του θεωρήματός του για την υπόθεση n= 4. Με απόδειξη για n= 3 λύθηκε από τον σπουδαίο Ελβετο-Ρώσο μαθηματικό του 18ου αιώνα Leonhard Euler (1707–83), μετά το οποίο, ανίκανος να βρει στοιχεία για n> 4, πρότεινε αστειευόμενος να ερευνηθεί το σπίτι του Φερμά για να βρεθεί το κλειδί για τα χαμένα στοιχεία. Τον 19ο αιώνα, νέες μέθοδοι στη θεωρία αριθμών κατέστησαν δυνατή την απόδειξη της δήλωσης για πολλούς ακέραιους αριθμούς εντός 200, αλλά και πάλι, όχι για όλους.

Το 1908 καθιερώθηκε ένα έπαθλο 100.000 γερμανικών μάρκων για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Το ταμείο βραβείων κληροδοτήθηκε από τον Γερμανό βιομήχανο Paul Wolfskehl, ο οποίος, σύμφωνα με το μύθο, επρόκειτο να αυτοκτονήσει, αλλά παρασύρθηκε τόσο από το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat που άλλαξε γνώμη για το θάνατο. Με την έλευση της προσθήκης μηχανών και στη συνέχεια υπολογιστών, η γραμμή αξίας nάρχισε να αυξάνεται όλο και πιο ψηλά - σε 617 από την αρχή του Β' Παγκοσμίου Πολέμου, σε 4001 το 1954, σε 125.000 το 1976. Στα τέλη του 20ου αιώνα, οι πιο ισχυροί υπολογιστές σε στρατιωτικά εργαστήρια στο Los Alamos (Νέο Μεξικό, ΗΠΑ) προγραμματίστηκαν για να λύσουν το πρόβλημα του Fermat στο παρασκήνιο (παρόμοιο με τη λειτουργία προφύλαξης οθόνης ενός προσωπικού υπολογιστή). Έτσι, ήταν δυνατό να φανεί ότι το θεώρημα ισχύει για απίστευτα μεγάλες τιμές x, y, zΚαι n, αλλά αυτό δεν θα μπορούσε να χρησιμεύσει ως αυστηρή απόδειξη, καθώς οποιαδήποτε από τις ακόλουθες τιμές nή τριπλέτες φυσικών αριθμών θα μπορούσαν να διαψεύσουν το θεώρημα ως σύνολο.

Τελικά, το 1994, ο Άγγλος μαθηματικός Andrew John Wiles (γενν. 1953), που εργαζόταν στο Πρίνστον, δημοσίευσε μια απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά, η οποία, μετά από ορισμένες τροποποιήσεις, θεωρήθηκε ολοκληρωμένη. Η απόδειξη χρειάστηκε περισσότερες από εκατό σελίδες περιοδικών και βασίστηκε στη χρήση σύγχρονης συσκευής ανώτερων μαθηματικών, η οποία δεν αναπτύχθηκε στην εποχή του Φερμά. Τι εννοούσε λοιπόν ο Fermat αφήνοντας ένα μήνυμα στο περιθώριο του βιβλίου ότι είχε βρει την απόδειξη; Οι περισσότεροι από τους μαθηματικούς με τους οποίους μίλησα για αυτό το θέμα επεσήμαναν ότι κατά τη διάρκεια των αιώνων υπήρχαν περισσότερες από αρκετές ανακριβείς αποδείξεις του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά και ότι, πιθανότατα, ο ίδιος ο Φερμά είχε βρει παρόμοια απόδειξη, αλλά δεν κατάφερε να αναγνωρίσει το σφάλμα μέσα σε αυτό. Ωστόσο, είναι πιθανό να υπάρχει ακόμα κάποια σύντομη και κομψή απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά που κανείς δεν έχει βρει ακόμη. Μόνο ένα πράγμα μπορεί να ειπωθεί με βεβαιότητα: σήμερα γνωρίζουμε με βεβαιότητα ότι το θεώρημα είναι αληθινό. Οι περισσότεροι μαθηματικοί, νομίζω, θα συμφωνούσαν ανεπιφύλακτα με τον Andrew Wiles, ο οποίος παρατήρησε για την απόδειξή του: «Τώρα επιτέλους το μυαλό μου είναι ήσυχο».

Πριν από πολλά χρόνια έλαβα ένα γράμμα από την Τασκένδη από τον Βαλέρι Μουράτοφ, κρίνοντας από το χειρόγραφο, έναν εφηβικό άνδρα, ο οποίος τότε ζούσε στην οδό Kommunisticheskaya στον αριθμό 31. Ο τύπος ήταν αποφασισμένος: «Μπείτε κατευθείαν στο θέμα. Πόσα θα πληρώσετε εμένα που απέδειξα το θεώρημα του Φερμά; "Είμαι ευχαριστημένος με τουλάχιστον 500 ρούβλια. Κάποια άλλη στιγμή, θα σας το είχα αποδείξει δωρεάν, αλλά τώρα χρειάζομαι χρήματα..."

Ένα εκπληκτικό παράδοξο: λίγοι άνθρωποι γνωρίζουν ποιος είναι ο Fermat, πότε έζησε και τι έκανε. Ακόμη λιγότεροι άνθρωποι μπορούν να περιγράψουν το μεγάλο του θεώρημα ακόμη και με τους πιο γενικούς όρους. Αλλά όλοι γνωρίζουν ότι υπάρχει κάποιο είδος θεωρήματος Fermat, την απόδειξη του οποίου οι μαθηματικοί σε όλο τον κόσμο αγωνίζονται για περισσότερα από 300 χρόνια, αλλά δεν μπορούν να αποδείξουν!

Υπάρχουν πολλοί φιλόδοξοι άνθρωποι και η ίδια η συνείδηση ​​ότι υπάρχει κάτι που οι άλλοι δεν μπορούν να κάνουν, τονώνει ακόμη περισσότερο τις φιλοδοξίες τους. Ως εκ τούτου, χιλιάδες (!) αποδείξεις του Μεγάλου Θεωρήματος έχουν έρθει και έρχονται σε ακαδημίες, επιστημονικά ινστιτούτα, ακόμη και σε συντακτικά γραφεία εφημερίδων σε όλο τον κόσμο - ένα πρωτοφανές και ποτέ ρεκόρ ψευδοεπιστημονικής ερασιτεχνικής δραστηριότητας. Υπάρχει ακόμη και ένας όρος: «Fermatists», δηλαδή άνθρωποι με εμμονή με την απόδειξη του Μεγάλου Θεωρήματος, που βασάνιζαν εντελώς επαγγελματίες μαθηματικούς με απαιτήσεις να αξιολογήσουν τη δουλειά τους. Ο διάσημος γερμανός μαθηματικός Edmund Landau ετοίμασε μάλιστα ένα πρότυπο σύμφωνα με το οποίο απάντησε: «Υπάρχει ένα σφάλμα στη σελίδα στην απόδειξη του θεωρήματος του Fermat...», και οι μεταπτυχιακοί φοιτητές του έγραψαν τον αριθμό της σελίδας. Και τότε, το καλοκαίρι του 1994, οι εφημερίδες σε όλο τον κόσμο ανέφεραν κάτι εντελώς συγκλονιστικό: το Μεγάλο Θεώρημα είχε αποδειχθεί!

Λοιπόν, ποιος είναι ο Fermat, ποιο είναι το πρόβλημα και έχει λυθεί πραγματικά; Ο Pierre Fermat γεννήθηκε το 1601 στην οικογένεια ενός βυρσοδέψης, ενός πλούσιου και σεβαστού ανθρώπου - υπηρέτησε ως δεύτερος πρόξενος στη γενέτειρά του, Beaumont - κάτι σαν βοηθός του δημάρχου. Ο Πιερ σπούδασε πρώτα με τους Φραγκισκανούς μοναχούς, μετά στη Νομική Σχολή της Τουλούζης, όπου στη συνέχεια άσκησε τη δικηγορία. Ωστόσο, το φάσμα των ενδιαφερόντων του Fermat ξεπέρασε πολύ τη νομολογία. Ενδιαφερόταν ιδιαίτερα για την κλασική φιλολογία και είναι γνωστά τα σχόλιά του σε κείμενα αρχαίων συγγραφέων. Και το δεύτερο πάθος μου είναι τα μαθηματικά.

Τον 17ο αιώνα, όπως και πολλά χρόνια αργότερα, δεν υπήρχε τέτοιο επάγγελμα: μαθηματικός. Επομένως, όλοι οι μεγάλοι μαθηματικοί εκείνης της εποχής ήταν μαθηματικοί «μερικής απασχόλησης»: ο Ρενέ Ντεκάρτ υπηρέτησε στο στρατό, ο Φρανσουά Βιέτ ήταν δικηγόρος, ο Φραντσέσκο Καβαλιέρι ήταν μοναχός. Τότε δεν υπήρχαν επιστημονικά περιοδικά και ο κλασικός επιστήμονας Pierre Fermat δεν δημοσίευσε ούτε μια επιστημονική εργασία κατά τη διάρκεια της ζωής του. Υπήρχε ένας αρκετά στενός κύκλος «ερασιτέχνων» που έλυσαν διάφορα προβλήματα που τους ενδιέφεραν και έγραφαν γράμματα ο ένας στον άλλο για αυτό, μερικές φορές μάλωναν (όπως ο Fermat και ο Descartes), αλλά κυρίως παρέμεναν ομοϊδεάτες. Έγιναν οι ιδρυτές των νέων μαθηματικών, σπορείς λαμπρών σπόρων, από τους οποίους άρχισε να αναπτύσσεται το πανίσχυρο δέντρο της σύγχρονης μαθηματικής γνώσης, να αποκτά δύναμη και να διακλαδίζεται.

Έτσι, ο Fermat ήταν ο ίδιος «ερασιτέχνης». Στην Τουλούζη, όπου έζησε 34 χρόνια, όλοι τον γνώριζαν, πρώτα απ' όλα ως σύμβουλο του ανακριτικού τμήματος και έμπειρο δικηγόρο. Σε ηλικία 30 ετών παντρεύτηκε, απέκτησε τρεις γιους και δύο κόρες, μερικές φορές πήγαινε για επαγγελματικά ταξίδια και σε ένα από αυτά πέθανε ξαφνικά σε ηλικία 63 ετών. Ολα! Η ζωή αυτού του ανθρώπου, ενός σύγχρονου των Τριών Σωματοφυλάκων, είναι εκπληκτικά ομαλή και χωρίς περιπέτεια. Οι περιπέτειες ήρθαν με το Μεγάλο Θεώρημά του. Ας μην μιλήσουμε για ολόκληρη τη μαθηματική κληρονομιά του Φερμά, και είναι δύσκολο να μιλήσουμε για αυτήν δημοφιλώς. Πάρτε τον λόγο μου: αυτή η κληρονομιά είναι μεγάλη και ποικίλη. Ο ισχυρισμός ότι το Μεγάλο Θεώρημα είναι η κορυφή του έργου του είναι ιδιαίτερα αμφιλεγόμενος. Απλώς η μοίρα του Μεγάλου Θεωρήματος είναι εκπληκτικά ενδιαφέρουσα και ο τεράστιος κόσμος των ανθρώπων που δεν έχουν μυηθεί στα μυστήρια των μαθηματικών ενδιαφερόταν πάντα όχι για το ίδιο το θεώρημα, αλλά για τα πάντα γύρω του...

Οι ρίζες όλης αυτής της ιστορίας πρέπει να αναζητηθούν στην αρχαιότητα, τόσο αγαπητή στον Φερμά. Γύρω στον 3ο αιώνα, ο Έλληνας μαθηματικός Διόφαντος έζησε στην Αλεξάνδρεια, ένας πρωτότυπος επιστήμονας που σκεφτόταν έξω από το κουτί και εξέφραζε τις σκέψεις του έξω από το κουτί. Από τους 13 τόμους της Αριθμητικής του, έφτασαν μόνο οι 6. Μόλις ο Φερμά έκλεισε τα 20, εκδόθηκε μια νέα μετάφραση των έργων του. Ο Φερμά ενδιαφέρθηκε πολύ για τον Διόφαντο και αυτά τα έργα ήταν το βιβλίο αναφοράς του. Στα περιθώρια του, ο Fermat έγραψε το Μεγάλο Θεώρημά του, το οποίο στην απλούστερη σύγχρονη μορφή του μοιάζει με αυτό: η εξίσωση Xn + Yn = Zn δεν έχει λύση σε ακέραιους αριθμούς για n - μεγαλύτερο από 2. (Για n = 2, η λύση είναι προφανής : 32 + 42 = 52 ). Εκεί, στο περιθώριο του τόμου Διοφαντίνος, ο Φερμά προσθέτει: «Ανακάλυψα αυτή την πραγματικά υπέροχη απόδειξη, αλλά αυτά τα περιθώρια είναι πολύ στενά για αυτήν».

Με την πρώτη ματιά, αυτό είναι ένα απλό πράγμα, αλλά όταν άλλοι μαθηματικοί άρχισαν να αποδεικνύουν αυτό το «απλό» θεώρημα, κανείς δεν πέτυχε για εκατό χρόνια. Τελικά, ο μεγάλος Leonhard Euler το απέδειξε για n = 4, μετά 20 (!) χρόνια αργότερα - για n = 3. Και πάλι η δουλειά σταμάτησε για πολλά χρόνια. Η επόμενη νίκη ανήκε στον Γερμανό Peter Dirichlet (1805-1859) και στον Γάλλο Andrien Legendre (1752-1833) - παραδέχτηκαν ότι ο Fermat είχε δίκιο για το n = 5. Τότε ο Γάλλος Gabriel Lamé (1795-1870) έκανε το ίδιο για n = 7. Τέλος, στα μέσα του περασμένου αιώνα, ο Γερμανός Ernst Kummer (1810-1893) απέδειξε το Μεγάλο Θεώρημα για όλες τις τιμές του n μικρότερες ή ίσες με 100. Επιπλέον, το απέδειξε χρησιμοποιώντας μεθόδους που ο Fermat δεν θα μπορούσε να το γνωρίζει, γεγονός που αύξησε περαιτέρω την αίσθηση του μυστηρίου γύρω από το Μεγάλο Θεώρημα.

Έτσι, αποδείχθηκε ότι απέδειξαν το θεώρημα του Φερμά «κομμάτι-κομμάτι», αλλά κανείς δεν πέτυχε «στο σύνολό του». Νέες προσπάθειες αποδείξεων οδήγησαν μόνο σε μια ποσοτική αύξηση των τιμών του n. Όλοι κατάλαβαν ότι, με πολλή δουλειά, ήταν δυνατό να αποδειχθεί το Μεγάλο Θεώρημα για έναν αυθαίρετα μεγάλο αριθμό n, αλλά ο Fermat μιλούσε για οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερο από 2! Σε αυτή τη διαφορά μεταξύ του «όσο θέλετε» και του «οποιουδήποτε» συγκεντρώθηκε το όλο νόημα του προβλήματος.

Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι οι προσπάθειες να αποδειχθεί το θεώρημα του Fermg δεν ήταν απλώς κάποιο είδος μαθηματικού παιχνιδιού, που λύνει ένα πολύπλοκο rebus. Στη διαδικασία αυτών των αποδείξεων, άνοιξαν νέοι μαθηματικοί ορίζοντες, προέκυψαν προβλήματα και λύθηκαν, μετατρέποντας σε νέα κλαδιά του μαθηματικού δέντρου. Ο μεγάλος Γερμανός μαθηματικός David Hilbert (1862–1943) ανέφερε το Μεγάλο Θεώρημα ως παράδειγμα «της διεγερτικής επιρροής που μπορεί να έχει στην επιστήμη ένα ειδικό και φαινομενικά ασήμαντο πρόβλημα». Ο ίδιος Kummer, δουλεύοντας στο θεώρημα του Fermat, απέδειξε ο ίδιος θεωρήματα που αποτέλεσαν το θεμέλιο της θεωρίας αριθμών, της άλγεβρας και της θεωρίας συναρτήσεων. Άρα η απόδειξη του Μεγάλου Θεωρήματος δεν είναι άθλημα, αλλά πραγματική επιστήμη.

Ο καιρός πέρασε και τα ηλεκτρονικά ήρθαν στη βοήθεια των επαγγελματιών «fsrmatnts». Οι ηλεκτρονικοί εγκέφαλοι δεν μπορούσαν να βρουν νέες μεθόδους, αλλά το έκαναν γρήγορα. Γύρω στις αρχές της δεκαετίας του '80, το θεώρημα του Fermat αποδείχθηκε με τη βοήθεια ενός υπολογιστή για n μικρότερο ή ίσο με 5500. Σταδιακά αυτό το νούμερο αυξήθηκε σε 100.000, αλλά όλοι κατάλαβαν ότι μια τέτοια «συσσώρευση» ήταν θέμα καθαρής τεχνολογίας, χωρίς να δίνει τίποτα. στο μυαλό ή την καρδιά. Δεν μπορούσαν να πάρουν το φρούριο του Μεγάλου Θεωρήματος κατά μέτωπο και άρχισαν να ψάχνουν για ελιγμούς λύσης.

Στα μέσα της δεκαετίας του '80, ένας νεαρός μη μαθηματικός G. Filytings απέδειξε τη λεγόμενη "εικασία Mordell", η οποία, παρεμπιπτόντως, "δεν ήρθε στα χέρια" κανενός μαθηματικού για 61 χρόνια. Προέκυψε η ελπίδα ότι τώρα, με την «επίθεση από την πλευρά», ας πούμε έτσι, το θεώρημα του Φερμά θα μπορούσε να λυθεί. Ωστόσο, τότε δεν έγινε τίποτα. Το 1986, ο Γερμανός μαθηματικός Gerhard Frey πρότεινε μια νέα αποδεικτική μέθοδο στο Essence. Δεν αναλαμβάνω να το εξηγήσω αυστηρά, αλλά όχι σε μια μαθηματική, αλλά σε μια παγκόσμια ανθρώπινη γλώσσα, ακούγεται κάπως έτσι: αν είμαστε πεπεισμένοι ότι η απόδειξη κάποιου άλλου θεωρήματος είναι μια έμμεση, κατά κάποιο τρόπο μετασχηματισμένη απόδειξη του Το θεώρημα του Φερμά, λοιπόν, θα αποδείξουμε το Μεγάλο Θεώρημα. Ένα χρόνο αργότερα, ο Αμερικανός Kenneth Ribet από το Berkeley έδειξε ότι ο Frey είχε δίκιο και, πράγματι, η μια απόδειξη μπορεί να μειωθεί σε μια άλλη. Πολλοί μαθηματικοί σε διάφορες χώρες του κόσμου ακολούθησαν αυτόν τον δρόμο. Ο Βίκτορ Αλεξάντροβιτς Κολυβάνοφ έχει κάνει πολλά για να αποδείξει το Μεγάλο Θεώρημα. Τα τείχη τριακοσίων ετών του απόρθητου φρουρίου άρχισαν να τρέμουν. Οι μαθηματικοί συνειδητοποίησαν ότι δεν θα άντεχε για πολύ.

Το καλοκαίρι του 1993, στο αρχαίο Κέιμπριτζ, στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Επιστημών Ισαάκ Νεύτων, συγκεντρώθηκαν 75 από τους πιο εξέχοντες μαθηματικούς του κόσμου για να συζητήσουν τα προβλήματά τους. Ανάμεσά τους ήταν ο Αμερικανός καθηγητής Andrew Wiles από το Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, μεγάλος ειδικός στη θεωρία αριθμών. Όλοι γνώριζαν ότι μελετούσε το Μεγάλο Θεώρημα για πολλά χρόνια. Ο Γουάιλς έδωσε τρεις αναφορές και στην τελευταία - στις 23 Ιουνίου 1993 - στο τέλος, γυρίζοντας μακριά από το ταμπλό, είπε χαμογελώντας:

-Μάλλον δεν θα συνεχίσω...

Στην αρχή επικράτησε νεκρική σιωπή και μετά κατακλυσμός χειροκροτημάτων. Όσοι κάθονταν στην αίθουσα είχαν αρκετά προσόντα για να καταλάβουν: Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά αποδείχθηκε! Σε κάθε περίπτωση, κανένας από τους παρευρισκόμενους δεν βρήκε σφάλματα στα αποδεικτικά στοιχεία που παρουσιάστηκαν. Ο αναπληρωτής διευθυντής του Ινστιτούτου Newton Peter Goddard είπε στους δημοσιογράφους:

«Οι περισσότεροι ειδικοί δεν πίστευαν ότι θα ήξεραν την απάντηση μέχρι το τέλος της ζωής τους». Αυτό είναι ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα στα μαθηματικά του αιώνα μας...

Πέρασαν αρκετοί μήνες, δεν έγιναν σχόλια ή διαψεύσεις. Είναι αλήθεια ότι ο Wiles δεν δημοσίευσε την απόδειξή του, αλλά έστειλε μόνο τις λεγόμενες εκτυπώσεις της δουλειάς του σε έναν πολύ στενό κύκλο συναδέλφων του, κάτι που, φυσικά, εμποδίζει τους μαθηματικούς να σχολιάσουν αυτή την επιστημονική αίσθηση, και καταλαβαίνω τον ακαδημαϊκό Ludwig Dmitrievich Faddeev, Ποιος το είπε:

«Μπορώ να πω ότι προέκυψε μια αίσθηση όταν βλέπω την απόδειξη με τα μάτια μου».

Ο Faddeev πιστεύει ότι η πιθανότητα να κερδίσει ο Wiles είναι πολύ υψηλή.

«Ο πατέρας μου, γνωστός ειδικός στη θεωρία αριθμών, ήταν, για παράδειγμα, σίγουρος ότι το θεώρημα θα αποδεικνυόταν, αλλά όχι με στοιχειώδη μέσα», πρόσθεσε.

Ο άλλος ακαδημαϊκός μας, ο Viktor Pavlovich Maslov, ήταν δύσπιστος σχετικά με τα νέα και πιστεύει ότι η απόδειξη του Μεγάλου Θεωρήματος δεν είναι καθόλου πιεστικό μαθηματικό πρόβλημα. Όσον αφορά τα επιστημονικά του ενδιαφέροντα, ο Maslov, ο πρόεδρος του Συμβουλίου Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, απέχει πολύ από τους «Φερματιστές» και όταν λέει ότι η πλήρης λύση του Μεγάλου Θεωρήματος έχει μόνο αθλητικό ενδιαφέρον, μπορεί κανείς να τον καταλάβει. Ωστόσο, τολμώ να σημειώσω ότι η έννοια της συνάφειας σε κάθε επιστήμη είναι μια μεταβλητή ποσότητα. Πριν από 90 χρόνια, πιθανότατα είπαν και στον Ράδερφορντ: "Λοιπόν, εντάξει, καλά, η θεωρία της ραδιενεργής διάσπασης... Και τι; Ποια είναι η χρήση της;..."

Η εργασία για την απόδειξη του Μεγάλου Θεωρήματος έχει ήδη δώσει πολλά στα μαθηματικά και μπορούμε να ελπίζουμε ότι θα δώσει περισσότερα.

«Αυτό που έκανε ο Wiles θα προωθήσει τους μαθηματικούς σε άλλους τομείς», είπε ο Peter Goddard. — Μάλλον δεν κλείνει μια από τις κατευθύνσεις της σκέψης, αλλά εγείρει νέα ερωτήματα που θα απαιτήσουν απάντηση...

Ο καθηγητής του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας Mikhail Ilyich Zelikin μου εξήγησε την τρέχουσα κατάσταση ως εξής:

Κανείς δεν βλέπει λάθη στη δουλειά του Wiles. Αλλά για να γίνει αυτό το έργο επιστημονικό γεγονός, είναι απαραίτητο για αρκετούς αξιόπιστους μαθηματικούς να επαναλάβουν ανεξάρτητα αυτήν την απόδειξη και να επιβεβαιώσουν την ορθότητά της. Αυτή είναι μια απαραίτητη προϋπόθεση για να κατανοήσει το μαθηματικό κοινό το έργο του Wiles...

Πόση ώρα θα πάρει?

Έκανα αυτή την ερώτηση σε έναν από τους κορυφαίους ειδικούς μας στον τομέα της θεωρίας αριθμών, τον Διδάκτωρ Φυσικών και Μαθηματικών Επιστημών Alexey Nikolaevich Parshin.

— Ο Άντριου Γουάιλς έχει ακόμα πολύ χρόνο μπροστά...

Γεγονός είναι ότι στις 13 Σεπτεμβρίου 1907, ο Γερμανός μαθηματικός P. Wolfskel, ο οποίος, σε αντίθεση με τη συντριπτική πλειοψηφία των μαθηματικών, ήταν πλούσιος, κληροδότησε 100 χιλιάδες μάρκα σε αυτόν που θα απέδειξε το Μεγάλο Θεώρημα στα επόμενα 100 χρόνια. Στις αρχές του αιώνα, οι τόκοι για το κληροδοτημένο ποσό πήγαν στο ταμείο του περίφημου Πανεπιστημίου του Goethanghen. Με αυτά τα χρήματα, κορυφαίοι μαθηματικοί κλήθηκαν να δώσουν διαλέξεις και να πραγματοποιήσουν επιστημονική εργασία. Πρόεδρος τότε της επιτροπής βράβευσης ήταν ο ήδη αναφερόμενος David Gilbert. Πραγματικά δεν ήθελε να πληρώσει το μπόνους.

«Ευτυχώς», είπε ο μεγάλος μαθηματικός, «φαίνεται ότι δεν έχουμε μαθηματικό, εκτός από εμένα, που θα μπορούσε να κάνει αυτό το έργο, αλλά ποτέ δεν θα τολμήσω να σκοτώσω τη χήνα που μας γεννά χρυσά αυγά».

Λίγα χρόνια απομένουν μέχρι την καταληκτική ημερομηνία του 2007, που όρισε ο Wolfskehl, και, μου φαίνεται, ένας σοβαρός κίνδυνος διατρέχει το «Hilbert’s chicken». Αλλά δεν είναι πραγματικά για το μπόνους. Είναι θέμα διερεύνησης σκέψης και ανθρώπινης επιμονής. Πάλεψαν για περισσότερα από τριακόσια χρόνια, αλλά και πάλι το απέδειξαν!

Και επιπλέον. Για μένα, το πιο ενδιαφέρον σε όλη αυτή την ιστορία είναι: πώς απέδειξε ο ίδιος ο Φερμά το Μεγάλο Θεώρημά του; Άλλωστε όλα τα σημερινά μαθηματικά κόλπα του ήταν άγνωστα. Και το απέδειξε καθόλου; Άλλωστε, υπάρχει μια εκδοχή ότι φαινόταν να το απέδειξε, αλλά ο ίδιος βρήκε ένα λάθος και ως εκ τούτου δεν έστειλε την απόδειξη σε άλλους μαθηματικούς και ξέχασε να διαγράψει το λήμμα στα περιθώρια του τόμου του Διόφαντου. Επομένως, μου φαίνεται ότι η απόδειξη του Μεγάλου Θεωρήματος έχει προφανώς λάβει χώρα, αλλά το μυστικό του θεωρήματος του Φερμά παραμένει και είναι απίθανο να το αποκαλύψουμε ποτέ...

Ο Φερμά μπορεί να έκανε λάθος τότε, αλλά δεν έκανε λάθος όταν έγραψε: «Ίσως οι απόγονοι θα με ευγνωμονούν που τους έδειξα ότι οι αρχαίοι δεν ήξεραν τα πάντα, και αυτό μπορεί να διεισδύσει στη συνείδηση ​​όσων έρχονται μετά από εμένα για να περάσουν το δάδα στους γιους του...»

Δεν υπάρχουν πολλοί άνθρωποι στον κόσμο που δεν έχουν ακούσει ποτέ για το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά - ίσως αυτό είναι το μόνο μαθηματικό πρόβλημα που έχει γίνει τόσο ευρέως γνωστό και έχει γίνει πραγματικός θρύλος. Αναφέρεται σε πολλά βιβλία και ταινίες, και το κύριο πλαίσιο σχεδόν όλων των αναφορών είναι η αδυναμία απόδειξης του θεωρήματος.

Ναι, αυτό το θεώρημα είναι πολύ γνωστό και, κατά μία έννοια, έχει γίνει ένα «είδωλο» που λατρεύεται από ερασιτέχνες και επαγγελματίες μαθηματικούς, αλλά λίγοι γνωρίζουν ότι η απόδειξή του βρέθηκε και αυτό συνέβη το 1995. Πρώτα όμως πρώτα.

Έτσι, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά (συχνά αποκαλούμενο το τελευταίο θεώρημα του Φερμά), που διατυπώθηκε το 1637 από τον λαμπρό Γάλλο μαθηματικό Πιερ Φερμά, είναι πολύ απλό στην ουσία και κατανοητό σε οποιονδήποτε έχει δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Λέει ότι ο τύπος a στη δύναμη του n + b στη δύναμη του n = c στη δύναμη του n δεν έχει φυσικές (δηλαδή, όχι κλασματικές) λύσεις για n > 2. Όλα φαίνονται απλά και ξεκάθαρα, αλλά το Οι καλύτεροι μαθηματικοί και οι απλοί ερασιτέχνες αγωνίστηκαν στην αναζήτηση μιας λύσης για περισσότερους από τρεισήμισι αιώνες.

Γιατί είναι τόσο διάσημη; Τώρα θα μάθουμε...

Υπάρχουν πολλά αποδεδειγμένα, αναπόδεικτα και αναπόδεικτα ακόμη θεωρήματα; Το θέμα εδώ είναι ότι το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά αντιπροσωπεύει τη μεγαλύτερη αντίθεση μεταξύ της απλότητας της διατύπωσης και της πολυπλοκότητας της απόδειξης. Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι ένα απίστευτα δύσκολο πρόβλημα, και όμως η διατύπωσή του μπορεί να γίνει κατανοητή από οποιονδήποτε από την 5η τάξη του λυκείου, αλλά ούτε καν κάθε επαγγελματίας μαθηματικός μπορεί να καταλάβει την απόδειξη. Ούτε στη φυσική, ούτε στη χημεία, ούτε στη βιολογία, ούτε στα μαθηματικά, δεν υπάρχει ένα μόνο πρόβλημα που θα μπορούσε να διατυπωθεί τόσο απλά, αλλά να έμεινε άλυτο για τόσο καιρό. 2. Από τι αποτελείται;

Ας ξεκινήσουμε με τα πυθαγόρεια παντελόνια Η διατύπωση είναι πραγματικά απλή - με την πρώτη ματιά. Όπως γνωρίζουμε από την παιδική ηλικία, «τα πυθαγόρεια παντελόνια είναι ίσα από όλες τις πλευρές». Το πρόβλημα φαίνεται τόσο απλό γιατί βασίστηκε σε μια μαθηματική πρόταση που όλοι γνωρίζουν - το Πυθαγόρειο θεώρημα: σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο που χτίζεται στην υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη.

Τον 5ο αιώνα π.Χ. Ο Πυθαγόρας ίδρυσε την Πυθαγόρεια αδελφότητα. Οι Πυθαγόρειοι, μεταξύ άλλων, μελέτησαν ακέραιες τριπλέτες που ικανοποιούσαν την ισότητα x²+y²=z². Απέδειξαν ότι υπάρχουν άπειρες Πυθαγόρειες τριάδες και έλαβαν γενικούς τύπους για την εύρεση τους. Μάλλον προσπάθησαν να ψάξουν για C και ανώτερα πτυχία. Πεπεισμένοι ότι αυτό δεν λειτούργησε, οι Πυθαγόρειοι εγκατέλειψαν τις άχρηστες προσπάθειές τους. Τα μέλη της αδελφότητας ήταν περισσότερο φιλόσοφοι και αισθητιστές παρά μαθηματικοί.

Δηλαδή, είναι εύκολο να επιλέξετε ένα σύνολο αριθμών που ικανοποιούν απόλυτα την ισότητα x²+y²=z²

Ξεκινώντας από το 3, 4, 5 - πράγματι, ένας κατώτερος μαθητής καταλαβαίνει ότι 9 + 16 = 25.

Ή 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Υπέροχα.

Άρα, αποδεικνύεται ότι ΔΕΝ είναι. Εδώ αρχίζει το κόλπο. Η απλότητα είναι εμφανής, γιατί είναι δύσκολο να αποδειχθεί όχι η παρουσία κάτι, αλλά, αντίθετα, η απουσία του. Όταν χρειάζεται να αποδείξετε ότι υπάρχει λύση, μπορείτε και πρέπει απλώς να παρουσιάσετε αυτήν τη λύση.

Η απόδειξη της απουσίας είναι πιο δύσκολη: για παράδειγμα, κάποιος λέει: η τάδε εξίσωση δεν έχει λύσεις. Να τον βάλω σε μια λακκούβα; εύκολο: μπαμ - και εδώ είναι, η λύση! (δώστε λύση). Και αυτό είναι όλο, ο αντίπαλος ηττήθηκε. Πώς να αποδείξετε την απουσία;

Πείτε: "Δεν έχω βρει τέτοιες λύσεις"; Ή μήπως δεν έδειχνες καλά; Τι θα συμβεί αν υπάρχουν, μόνο πολύ μεγάλα, πολύ μεγάλα, έτσι ώστε ακόμη και ένας υπερ-ισχυρός υπολογιστής να μην έχει αρκετή δύναμη; Αυτό είναι το δύσκολο.

Αυτό μπορεί να φανεί οπτικά ως εξής: εάν πάρετε δύο τετράγωνα κατάλληλων μεγεθών και τα αποσυναρμολογήσετε σε τετράγωνα μονάδων, τότε από αυτό το μάτσο τετράγωνων μονάδων θα έχετε ένα τρίτο τετράγωνο (Εικ. 2):


Αλλά ας κάνουμε το ίδιο με την τρίτη διάσταση (Εικ. 3) - δεν λειτουργεί. Δεν υπάρχουν αρκετοί κύβοι ή έχουν απομείνει επιπλέον:

Όμως ο Γάλλος μαθηματικός του 17ου αιώνα Pierre de Fermat μελέτησε με ενθουσιασμό τη γενική εξίσωση x n + y n = z n. Και τελικά, κατέληξα: για n>2 δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις. Η απόδειξη του Φερμά έχει χαθεί ανεπανόρθωτα. Τα χειρόγραφα καίγονται! Το μόνο που μένει είναι η παρατήρησή του στην Αριθμητική του Διόφαντου: «Βρήκα μια πραγματικά εκπληκτική απόδειξη αυτής της πρότασης, αλλά τα περιθώρια εδώ είναι πολύ στενά για να τη συγκρατήσουν».

Στην πραγματικότητα, ένα θεώρημα χωρίς απόδειξη ονομάζεται υπόθεση. Αλλά ο Fermat έχει τη φήμη ότι δεν κάνει ποτέ λάθη. Ακόμα κι αν δεν άφησε στοιχεία για δήλωση, στη συνέχεια επιβεβαιώθηκε. Επιπλέον, ο Fermat απέδειξε τη διατριβή του για n=4. Έτσι, η υπόθεση του Γάλλου μαθηματικού έμεινε στην ιστορία ως το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά.

Μετά τον Fermat, τόσο μεγάλα μυαλά όπως ο Leonhard Euler εργάστηκαν στην αναζήτηση μιας απόδειξης (το 1770 πρότεινε μια λύση για το n = 3),

Adrien Legendre και Johann Dirichlet (αυτοί οι επιστήμονες βρήκαν από κοινού την απόδειξη για n = 5 το 1825), Gabriel Lamé (που βρήκε την απόδειξη για n = 7) και πολλοί άλλοι. Στα μέσα της δεκαετίας του '80 του περασμένου αιώνα, κατέστη σαφές ότι ο επιστημονικός κόσμος βρισκόταν στο δρόμο προς την τελική λύση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά, αλλά μόλις το 1993 οι μαθηματικοί είδαν και πίστεψαν ότι το έπος τριών αιώνων της αναζήτησης μιας απόδειξης Το τελευταίο θεώρημα του Fermat είχε σχεδόν τελειώσει.

Αποδεικνύεται εύκολα ότι αρκεί να αποδειχθεί το θεώρημα του Fermat μόνο για απλά n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Για το σύνθετο n, η απόδειξη παραμένει έγκυρη. Υπάρχουν όμως άπειροι πρώτοι αριθμοί...

Το 1825, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της Sophie Germain, οι γυναίκες μαθηματικοί, η Dirichlet και η Legendre απέδειξαν ανεξάρτητα το θεώρημα για n=5. Το 1839, χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο, ο Γάλλος Gabriel Lame έδειξε την αλήθεια του θεωρήματος για n=7. Σταδιακά το θεώρημα αποδείχθηκε για σχεδόν όλα τα n λιγότερο από εκατό.

Τέλος, ο Γερμανός μαθηματικός Ernst Kummer, σε μια λαμπρή μελέτη, έδειξε ότι το θεώρημα γενικά δεν μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας τις μεθόδους των μαθηματικών του 19ου αιώνα. Το Βραβείο της Γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών, που ιδρύθηκε το 1847 για την απόδειξη του θεωρήματος του Φερμά, παρέμεινε αδιάθετο.

Το 1907, ο πλούσιος γερμανός βιομήχανος Paul Wolfskehl αποφάσισε να αυτοκτονήσει εξαιτίας της αγάπης που δεν ανταποκρίθηκε. Σαν γνήσιος Γερμανός, όρισε την ημερομηνία και την ώρα της αυτοκτονίας: ακριβώς τα μεσάνυχτα. Την τελευταία μέρα έκανε διαθήκη και έγραψε γράμματα σε φίλους και συγγενείς. Τα πράγματα τελείωσαν πριν τα μεσάνυχτα. Πρέπει να πούμε ότι ο Παύλος ενδιαφέρθηκε για τα μαθηματικά. Μη έχοντας τίποτα άλλο να κάνει, πήγε στη βιβλιοθήκη και άρχισε να διαβάζει το διάσημο άρθρο του Kummer. Ξαφνικά του φάνηκε ότι ο Κούμερ είχε κάνει λάθος στο σκεπτικό του. Ο Wolfskel άρχισε να αναλύει αυτό το μέρος του άρθρου με ένα μολύβι στα χέρια του. Πέρασαν τα μεσάνυχτα, ήρθε το πρωί. Το κενό στην απόδειξη έχει καλυφθεί. Και ο ίδιος ο λόγος της αυτοκτονίας φαινόταν πλέον εντελώς γελοίος. Ο Παύλος έσκισε τις αποχαιρετιστήριες επιστολές του και ξαναέγραψε τη διαθήκη του.

Σύντομα πέθανε από φυσικά αίτια. Οι κληρονόμοι έμειναν αρκετά έκπληκτοι: 100.000 μάρκα (πάνω από 1.000.000 τρέχουσες λίρες στερλίνες) μεταφέρθηκαν στον λογαριασμό της Βασιλικής Επιστημονικής Εταιρείας του Γκέτινγκεν, η οποία την ίδια χρονιά ανακοίνωσε διαγωνισμό για το Βραβείο Wolfskehl. 100.000 μόρια απονεμήθηκαν στο άτομο που απέδειξε το θεώρημα του Φερμά. Δεν απονεμήθηκε ούτε ένα pfennig για την αντίκρουση του θεωρήματος...

Οι περισσότεροι επαγγελματίες μαθηματικοί θεώρησαν την αναζήτηση μιας απόδειξης του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά μια απελπιστική εργασία και αρνήθηκαν αποφασιστικά να σπαταλήσουν χρόνο σε μια τόσο άχρηστη άσκηση. Αλλά οι ερασιτέχνες είχαν μια έκρηξη. Λίγες εβδομάδες μετά την ανακοίνωση, μια χιονοστιβάδα «αποδεικτικών στοιχείων» έπληξε το Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν. Ο καθηγητής E.M. Landau, του οποίου η ευθύνη ήταν να αναλύσει τα αποδεικτικά στοιχεία που στάλθηκαν, μοίρασε κάρτες στους μαθητές του:

Αγαπητός. . . . . . . .

Σας ευχαριστώ που μου στείλατε το χειρόγραφο με την απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά. Το πρώτο σφάλμα βρίσκεται στη σελίδα ... στη σειρά... . Εξαιτίας αυτού, ολόκληρη η απόδειξη χάνει την ισχύ της.
Καθηγητής E. M. Landau

Το 1963, ο Paul Cohen, βασιζόμενος στα ευρήματα του Gödel, απέδειξε την άλυτη κατάσταση ενός από τα είκοσι τρία προβλήματα του Hilbert - την υπόθεση του συνεχούς. Τι κι αν το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι επίσης αδιευκρίνιστο;! Αλλά οι αληθινοί φανατικοί του Μεγάλου Θεωρήματος δεν απογοητεύτηκαν καθόλου. Η εμφάνιση των υπολογιστών έδωσε ξαφνικά στους μαθηματικούς μια νέα μέθοδο απόδειξης. Μετά τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο, ομάδες προγραμματιστών και μαθηματικών απέδειξαν το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά για όλες τις τιμές του n έως το 500, μετά μέχρι το 1.000 και αργότερα μέχρι το 10.000.

Στη δεκαετία του 1980, ο Samuel Wagstaff αύξησε το όριο στις 25.000, και στη δεκαετία του 1990, οι μαθηματικοί δήλωσαν ότι το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat ήταν αληθές για όλες τις τιμές n έως 4 εκατομμύρια. Αλλά αν αφαιρέσετε έστω και ένα τρισεκατομμύριο τρισεκατομμύριο από το άπειρο, δεν θα γίνει μικρότερο. Οι μαθηματικοί δεν πείθονται από τις στατιστικές. Το να αποδείξεις το Μεγάλο Θεώρημα σήμαινε να το αποδείξεις για ΟΛΑ τα n που πήγαιναν στο άπειρο.

Το 1954, δύο νεαροί Ιάπωνες φίλοι μαθηματικοί άρχισαν να ερευνούν τις αρθρωτές μορφές. Αυτές οι φόρμες δημιουργούν σειρές αριθμών, ο καθένας με τη δική του σειρά. Κατά τύχη, η Taniyama συνέκρινε αυτές τις σειρές με σειρές που δημιουργούνται από ελλειπτικές εξισώσεις. Ταίριαξαν! Αλλά οι αρθρωτές μορφές είναι γεωμετρικά αντικείμενα και οι ελλειπτικές εξισώσεις είναι αλγεβρικές. Δεν έχει βρεθεί ποτέ σύνδεση μεταξύ τόσο διαφορετικών αντικειμένων.

Ωστόσο, μετά από προσεκτική δοκιμή, οι φίλοι διατύπωσαν μια υπόθεση: κάθε ελλειπτική εξίσωση έχει ένα δίδυμο - μια σπονδυλωτή μορφή και το αντίστροφο. Ήταν αυτή η υπόθεση που έγινε το θεμέλιο μιας ολόκληρης κατεύθυνσης στα μαθηματικά, αλλά μέχρι να αποδειχτεί η υπόθεση Taniyama-Shimura, ολόκληρο το κτίριο μπορούσε να καταρρεύσει ανά πάσα στιγμή.

Το 1984, ο Gerhard Frey έδειξε ότι μια λύση στην εξίσωση του Fermat, εάν υπάρχει, μπορεί να συμπεριληφθεί σε κάποια ελλειπτική εξίσωση. Δύο χρόνια αργότερα, ο καθηγητής Ken Ribet απέδειξε ότι αυτή η υποθετική εξίσωση δεν θα μπορούσε να έχει αντίστοιχο στον αρθρωτό κόσμο. Από εδώ και πέρα, το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά ήταν άρρηκτα συνδεδεμένο με την εικασία Taniyama-Shimura. Έχοντας αποδείξει ότι οποιαδήποτε ελλειπτική καμπύλη είναι σπονδυλωτή, συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχει ελλειπτική εξίσωση με λύση της εξίσωσης του Φερμά και το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά θα αποδεικνυόταν αμέσως. Αλλά για τριάντα χρόνια δεν ήταν δυνατό να αποδειχθεί η υπόθεση Taniyama-Shimura και υπήρχαν όλο και λιγότερες ελπίδες για επιτυχία.

Το 1963, όταν ήταν μόλις δέκα ετών, ο Andrew Wiles ήταν ήδη γοητευμένος από τα μαθηματικά. Όταν έμαθε για το Μεγάλο Θεώρημα, συνειδητοποίησε ότι δεν μπορούσε να το παρατήσει. Ως μαθητής, φοιτητής και μεταπτυχιακός φοιτητής, προετοιμάστηκε για αυτό το έργο.

Έχοντας μάθει για τα ευρήματα του Ken Ribet, ο Wiles βυθίστηκε αδιάκοπα στην απόδειξη της υπόθεσης Taniyama-Shimura. Αποφάσισε να εργαστεί σε πλήρη απομόνωση και μυστικότητα. «Συνειδητοποίησα ότι όλα όσα είχαν να κάνουν με το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά προκαλούν υπερβολικό ενδιαφέρον... Πάρα πολλοί θεατές προφανώς παρεμβαίνουν στην επίτευξη του στόχου». Επτά χρόνια σκληρής δουλειάς απέδωσαν, ο Γουάιλς ολοκλήρωσε τελικά την απόδειξη της εικασίας Τανιγιάμα-Σιμούρα.

Το 1993, ο Άγγλος μαθηματικός Andrew Wiles παρουσίασε στον κόσμο την απόδειξή του για το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά (ο Wiles διάβασε τη συγκλονιστική εργασία του σε ένα συνέδριο στο Ινστιτούτο Sir Isaac Newton στο Cambridge.), έργο για το οποίο διήρκεσε περισσότερα από επτά χρόνια.

Ενώ η δημοσιότητα συνεχιζόταν στον Τύπο, άρχισε σοβαρή δουλειά για την επαλήθευση των αποδεικτικών στοιχείων. Κάθε αποδεικτικό στοιχείο πρέπει να εξετάζεται προσεκτικά προτού τα στοιχεία θεωρηθούν αυστηρά και ακριβή. Ο Wiles πέρασε ένα ανήσυχο καλοκαίρι περιμένοντας σχόλια από τους κριτικούς, ελπίζοντας ότι θα μπορούσε να κερδίσει την έγκρισή τους. Στα τέλη Αυγούστου, οι ειδικοί διαπίστωσαν ότι η απόφαση ήταν ανεπαρκώς τεκμηριωμένη.

Αποδείχθηκε ότι αυτή η απόφαση περιέχει ένα χονδροειδές λάθος, αν και σε γενικές γραμμές είναι σωστή. Ο Wiles δεν το έβαλε κάτω, κάλεσε τη βοήθεια του διάσημου ειδικού στη θεωρία αριθμών Richard Taylor και ήδη το 1994 δημοσίευσαν μια διορθωμένη και διευρυμένη απόδειξη του θεωρήματος. Το πιο εκπληκτικό είναι ότι αυτή η εργασία κατέλαβε έως και 130 (!) σελίδες στο μαθηματικό περιοδικό «Annals of Mathematics». Αλλά η ιστορία δεν τελείωσε ούτε εκεί - το τελικό σημείο έφτασε μόνο το επόμενο έτος, το 1995, όταν δημοσιεύτηκε η τελική και «ιδανική», από μαθηματική άποψη, έκδοση της απόδειξης.

«...μισό λεπτό μετά την έναρξη του εορταστικού δείπνου με την ευκαιρία των γενεθλίων της, παρουσίασα στη Νάντια το χειρόγραφο της πλήρους απόδειξης» (Andrew Wales). Δεν έχω πει ακόμα ότι οι μαθηματικοί είναι περίεργοι άνθρωποι;

Αυτή τη φορά δεν υπήρχε καμία αμφιβολία για τα στοιχεία. Δύο άρθρα υποβλήθηκαν στην πιο προσεκτική ανάλυση και δημοσιεύτηκαν τον Μάιο του 1995 στο Annals of Mathematics.

Έχει περάσει πολύς χρόνος από εκείνη τη στιγμή, αλλά εξακολουθεί να υπάρχει η άποψη στην κοινωνία ότι το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι άλυτο. Αλλά ακόμη και όσοι γνωρίζουν για την απόδειξη που βρέθηκε συνεχίζουν να εργάζονται προς αυτή την κατεύθυνση - λίγοι είναι ικανοποιημένοι ότι το Μεγάλο Θεώρημα απαιτεί μια λύση 130 σελίδων!

Επομένως, τώρα οι προσπάθειες πολλών μαθηματικών (κυρίως ερασιτεχνών, όχι επαγγελματιών επιστημόνων) ρίχνονται στην αναζήτηση μιας απλής και συνοπτικής απόδειξης, αλλά αυτός ο δρόμος, πιθανότατα, δεν θα οδηγήσει πουθενά...

πηγή