Ar funkcija bus periodinė? Kaip nustatyti funkcijos periodiškumą
Priedas Nr.7
Savivaldybės švietimo įstaiga
3 vidurinė mokykla
Mokytojas
Korotkova
Asja Edikovna
Kurganinskas
2008 m
TURINYS
Įvadas………………………………………………………………… 2-3
Periodinės funkcijos ir jų savybės……………. 4-6
Problemos……………………………………………………………………… 7-14
Įvadas
Pastebėkime, kad mokomosios ir metodinės literatūros periodiškumo problemos nėra lengvas. Tai aiškinama keista tradicija leisti tam tikrą aplaidumą nustatant periodines funkcijas, dėl kurių priimami prieštaringi sprendimai ir išprovokuojami incidentai egzaminuose.
Pavyzdžiui, knygoje „Aiškinamasis matematinių terminų žodynas“ – M, 1965 m., pateikiamas toks apibrėžimas: „periodinė funkcija yra funkcija
y = f(x), kuriam yra skaičius t > 0, kuris visiems x ir x+t iš srities f(x + t) = f(x).
Pateiksime priešingą pavyzdį, rodantį šio apibrėžimo neteisingumą. Pagal šį apibrėžimą funkcija bus periodinė, kurios periodas t = 2π
с(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 su ribota apibrėžimo sritimi, o tai prieštarauja visuotinai priimtam požiūriui į periodines funkcijas.
Daugelis naujesnių alternatyviųjų mokyklų vadovėlių susiduria su panašiomis problemomis.
A. N. Kolmogorovo vadovėlyje pateikiamas toks apibrėžimas: „Kalbant apie funkcijos f periodiškumą, manoma, kad yra toks skaičius T ≠ 0, kad apibrėžimo sritis D (f) kartu su kiekvienu tašku x, taip pat yra taškai, gauti iš x lygiagrečiai perkeliant išilgai ašies Ox (į dešinę ir į kairę) atstumu T. Funkcija f vadinama periodiškai su periodu T ≠ 0, jei kuriai nors iš apibrėžimo srities šios funkcijos reikšmės taškuose x, x – T, x + T yra lygios, t.y. f (x + T) = f (x) = f (x – T). Toliau vadovėlyje rašoma: „Kadangi sinusas ir kosinusas yra apibrėžti visoje skaičių eilutėje ir Sin (x + 2π) = Sin x,
Cos (x + 2π) = Cos x bet kuriam x, sinusas ir kosinusas yra funkcijos, kurios periodas yra 2π, periodas.
Šiame pavyzdyje dėl tam tikrų priežasčių neapibrėžta būtina sąlyga:
Sin (x – 2π) = Sin x. Kas nutiko? Faktas yra tas, kad ši sąlyga apibrėžime yra nereikalinga. Iš tiesų, jei T > 0 yra funkcijos f(x) periodas, tai T taip pat bus šios funkcijos periodas.
Norėčiau pateikti dar vieną apibrėžimą iš M. I. Bašmakovo vadovėlio „Algebra ir analizės pradžia 10-11 klasėje“. „Funkcija y = f(x) vadinama periodine, jei yra skaičius T ≠ 0, kad lygybė
f (x + T) = f (x) galioja identiškai visoms x reikšmėms.
Aukščiau pateiktas apibrėžimas nieko nesako apie funkcijos sritį, nors apibrėžimo srityje jis reiškia x, o ne bet kokį tikrąjį x. Pagal šį apibrėžimą funkcija y = Sin (√x) gali būti periodinė 2 , apibrėžta tik jei x ≥ 0, o tai neteisinga.
Vieningame valstybiniame egzamine yra periodiškumo užduotys. Viename moksliniame periodiniame žurnale, kaip Vieningo valstybinio egzamino C skyriaus mokymo sesija, buvo pateiktas problemos sprendimas: „ar funkcija y (x) = nuodėmė 2 (2+x) – 2 Sin 2 Sin x Cos (2+x) periodinis?
Sprendimas rodo, kad y (x – π) = y (x) atsakyme yra papildomas įrašas
„T = π“ (juk mažiausio teigiamo periodo radimo klausimas nekeliamas). Ar tikrai norint išspręsti šią problemą būtina atlikti kompleksinį trigonometrinį mokymą? Galų gale, čia galite sutelkti dėmesį į periodiškumo sąvoką, kaip pagrindinę problemos sąlygoje.
Sprendimas.
f 1 (x) = Sin x – periodinė funkcija su periodu Т = 2π
f 2 (x) = Cos x yra periodinė funkcija, kurios periodas T = 2π, tada 2π yra funkcijų f periodas 3 (x) = Sin (2 + x) ir f 4 (x) = Cos (2 + x), (tai išplaukia iš periodiškumo apibrėžimo)
f 5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, jo periodas yra bet koks skaičius, įskaitant 2π.
Nes periodinių funkcijų su bendru periodu T suma ir sandauga taip pat yra T periodinė, tada ši funkcija yra periodinė.
Tikiuosi, kad šiame darbe pateikta medžiaga padės pasiruošti vieningam valstybiniam egzaminui sprendžiant periodiškumo problemas.
Periodinės funkcijos ir jų savybės
Apibrėžimas: funkcija f(t) vadinama periodine, jei bet kuriai t iš šios funkcijos apibrėžimo srities D f yra skaičius ω ≠ 0, kad:
1) skaičiai (t ± ω) є D f ;
2) f (t + ω) = f(t).
1. Jei skaičius ω = funkcijos f (t) periodas, tai skaičius kω, kur k = ±1, ±2, ±3, ... taip pat yra funkcijos f(t) periodai.
PAVYZDYS f (t) = Sin t. Skaičius T = 2π yra mažiausias teigiamas šios funkcijos periodas. Tegul T 1 = 4π. Parodykime, kad T 1 taip pat yra šios funkcijos laikotarpis.
F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.
Taigi T1 – funkcijos f (t) periodas = Sin t.
2. Jei funkcija f(t) – ω yra periodinė funkcija, tai funkcijos f (аt), kur а є R, ir f (t + с), kur с yra savavališka konstanta, taip pat yra periodinės.
Raskime funkcijos f (аt) periodą.
f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), t.y. f (аt) = f (а(t + ω/а).
Todėl funkcijos f(аt) periodas – ω 1 = ω/a.
1 pavyzdys. Raskite funkcijos y = Sin t/2 periodą.
2 pavyzdys. Raskite funkcijos y = Sin periodą (t + π/3).
Tegul f(t) = Sin t; y 0 = Sin (t 0 + π/3).
Tada funkcija f(t) = Sin t įgis tą pačią reikšmę 0, kai t = t 0 + π/3.
Tie. visas funkcijos y reikšmes taip pat ima funkcija f(t). Jei t interpretuojamas kaip laikas, tada kiekviena y reikšmė 0 funkcija y = Sin (t + π/3) priimama π/3 laiko vienetais anksčiau nei funkcija f(t), „paslinkta“ į kairę π/3. Akivaizdu, kad funkcijos laikotarpis dėl to nesikeis, t.y. T y = T 1.
3. Jei F(x) yra kokia nors funkcija, o f(t) yra periodinė funkcija, ir tokia, kad f(t) priklauso funkcijos F(x) – D apibrėžimo sričiai. F , tada funkcija F(f (t)) yra periodinė funkcija.
Tegu F(f (t)) = φ.
Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) bet kuriam t є D f.
PAVYZDYS Išnagrinėkite funkcijos periodiškumą: F(x) = ℓ sinx.
Šios funkcijos sritis D f sutampa su realiųjų skaičių aibe R. f (x) = Sin x.
Šios funkcijos reikšmių rinkinys yra [-1; 1]. Nes segmentas [-1; 1] priklauso D f , tada funkcija F(x) yra periodinė.
F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).
2 π – šios funkcijos periodas.
4. Jei funkcijos f 1 (t) ir f 2 (t) periodinis, atitinkamai su periodais ω 1 ir ω 2 ir ω 1 /ω 2 = r, kur r yra racionalus skaičius, tada funkcijos
C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t) ir f 1 (t) f 2 (t) yra periodiniai (C 1 ir C 2 yra konstantos).
Pastaba: 1) Jei r = ω 1 /ω 2 = p/q, nes r yra racionalus skaičius
ω 1 q = ω 2 p = ω, kur ω yra mažiausias bendras ω kartotinis 1 ir ω 2 (NOC).
Apsvarstykite funkciją C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t).
Iš tiesų, ω = LCM (ω 1 , ω 2 ) – šios funkcijos laikotarpis
С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) = С 1 f 1 (t+ ω 1 q) + С 2 f 2 (t+ ω 2 p) + С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) .
2) ω – funkcijos f periodas 1 (t) f 2 (t), nes
f 1 (t + ω) f 2 (t + ω =f 1 (t +ω 1 q) f 2 (t =ω 2 p) = f 1 (t) f 2 (t).
Apibrėžimas: tegul f 1 (t) ir f (t) yra atitinkamai periodinės funkcijos su periodais ω 1 ir ω 2 , tada sakoma, kad du laikotarpiai yra proporcingi, jeiω 1 /ω 2 = r yra racionalus skaičius.
3) Jei periodai ω 1 ir ω 2 nėra proporcingos, tada funkcijos f 1 (t) + f 2 (t) ir
f 1 (t) f 2 t) nėra periodiniai. Tai yra, jei f 1 (t) ir f 2 (t) skiriasi nuo konstantos, periodinės, tolydžios, jų periodai nėra proporcingi, tada f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 t) nėra periodiniai.
4) Tegu f(t) = C, kur C yra savavališka konstanta. Ši funkcija yra periodinė. Jo periodas yra bet koks racionalus skaičius, o tai reiškia, kad jis neturi mažiausio teigiamo periodo.
5) Teiginys tinka ir didesniam skaičiui funkcijų.
1 pavyzdys. Ištirkite funkcijos periodiškumą
F(x) = Sin x + Cos x.
Sprendimas. Tegul f 1 (x) = Sin x, tada ω 1 = 2πk, kur k є Z.
T 1 = 2π – mažiausias teigiamas periodas.
f 2 (x) = Cos x, T 2 = 2π.
Santykis T 1 / T 2 = 2π/2π = 1 – racionalusis skaičius, t.y. funkcijų periodai f 1 (x) ir f 2 (x) yra proporcingi. Tai reiškia, kad ši funkcija yra periodinė. Raskime jo laikotarpį. Pagal periodinės funkcijos apibrėžimą turime
Sin (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x,
Sin (x + T) – Sin x = Cos x – Cos (x + T),
2 Cos 2х+ π/2 · Sin Т/2 = 2 Sin 2х+Т/2 · Sin Т/2,
Sin T/2 (Cos T+2x/2 – Sin T+2x/2) =0,
√2 Sin Т/2 Sin (π/4 – Т+2х/2) = 0, todėl
Sin Т/2 = 0, tada Т = 2πk.
Nes (х ± 2πk) є D f , kur f(x) = Sin x + Cos x,
f(x + t) = f(x), tada funkcija f(x) yra periodinė su mažiausiu teigiamu periodu 2π.
2 pavyzdys. Ar funkcija f(x) = Cos 2x · Sin x periodinė, koks jos periodas?
Sprendimas. Tegul f 1 (x) = Cos 2x, tada T 1 = 2π: 2 = π (žr. 2)
Tegul f 2 (x) = Sin x, tada T 2 = 2π. Nes π/2π = ½ yra racionalus skaičius, tada ši funkcija yra periodinė. Jo laikotarpis T = NOC
(π, 2π) = 2π.
Taigi ši funkcija yra periodinė su 2π periodu.
5. Tegul funkcija f(t), kuri nėra identiškai lygi konstantai, yra tolydi ir periodinė, tada ji turi mažiausią teigiamą periodą ω 0 , bet kuris kitas jo ω periodas turi formą: ω= kω 0, kur k є Z.
Pastaba: 1) Šiam turtui labai svarbios dvi sąlygos:
f(t) yra tolydis, f(t) ≠ C, kur C yra konstanta.
2) Priešingas teiginys nėra teisingas. Tai yra, jei visi laikotarpiai yra palyginami, tai nereiškia, kad yra mažiausias teigiamas laikotarpis. Tie. periodinė funkcija negali turėti mažiausio teigiamo periodo.
1 pavyzdys. f(t) = C, periodinis. Jo periodas yra bet koks realusis skaičius; nėra mažiausio laikotarpio.
2 pavyzdys. Dirichlet funkcija:
D(x) =
Bet koks racionalus skaičius yra jo periodas; nėra mažiausio teigiamo laikotarpio.
6. Jei f(t) yra nuolatinė periodinė funkcija ir ω 0 yra jos mažiausias teigiamas periodas, tada funkcija f(αt + β) turi mažiausią teigiamą periodą ω 0 //α/. Šis teiginys išplaukia iš 2 dalies.
1 pavyzdys. Raskite funkcijos y = Sin (2x – 5) periodą.
Sprendimas. y = nuodėmė (2x – 5) = nuodėmė (2(x – 5/2)).
Funkcijos y grafikas gaunamas iš funkcijos Sin x grafiko, pirmiausia „suglaudinant“ du kartus, po to „paslinkus“ į dešinę 2,5. „Poslinkis neturi įtakos periodiškumui, T = π yra šios funkcijos periodas.
Šios funkcijos laikotarpį lengva gauti naudojant 6 veiksmo savybę:
Т = 2π/2 = π.
7. Jei f(t) – ω yra periodinė funkcija ir ji turi nuolatinę išvestinę f"(t), tai f"(t) taip pat yra periodinė funkcija, Т = ω
1 pavyzdys. f(t) = Sin t, Т = 2πk. Jo išvestinė f"(t) = Cos t
F"(t) = Cos t, Т = 2πk, k є Z.
2 pavyzdys. f(t) = Cos t, Т = 2πk. Jo darinys
F"(t) = - Sin t, T = 2πk, k є Z.
3 pavyzdys. f(t) =tg t, jo periodas T = πk.
F"(t) = 1/ Cos 2 t taip pat yra periodinis pagal 7 žingsnio savybę ir turi periodą T = πk. Jo mažiausias teigiamas periodas yra T = π.
UŽDUOTYS.
№ 1
Ar funkcija f(t) = Sin t + Sin πt periodinė?
Sprendimas. Palyginimui, šią problemą sprendžiame dviem būdais.
Pirma, pagal periodinės funkcijos apibrėžimą. Tarkime, kad f(t) yra periodinis, tada bet kuriam t є D jei turime:
Sin (t + T) + Sin π (t + T) = Sin t + Sin πt,
Sin (t + T) – Sin t = Sin πt – Sin π (t + T),
2 Cos 2t + Т/2 Sin Т/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.
Nes tai galioja bet kuriam t є D f , tada ypač t 0 , kurioje paskutinės lygybės kairioji pusė tampa nuliu.
Tada mes turime: 1) Cos 2t 0 +T/2 Sin T/2 = 0. Išspręskime santykyje su T.
Sin Т/2 = 0, kai Т = 2 πk, kur k є Z.
2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πT/2 = 0. Išspręskime santykyje su T.
Sin πТ/2 = 0, tada Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, kur n є Z.
Nes turime tapatybę, tada 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, kurios negali būti, nes π yra neracionalusis skaičius, o n/ k yra racionalusis skaičius. Tai yra, mūsų prielaida, kad funkcija f(t) yra periodinė, buvo neteisinga.
Antra, sprendimas yra daug paprastesnis, jei naudojate aukščiau pateiktas periodinių funkcijų savybes:
Tegul f 1 (t) = Sin t, T 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, T 2 – 2π/π = 2. Tada T 1 / T 2 = 2π/2 = π yra neracionalusis skaičius, t.y. laikotarpiai T 1, T 2 nėra proporcingi, o tai reiškia, kad f(t) nėra periodinis.
Atsakymas: ne.
№ 2
Parodykite, kad jei α yra neracionalus skaičius, tada funkcija
F(t) = Cos t + Cos αt
nėra periodinis.
Sprendimas. Tegul f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt.
Tada jų periodai yra atitinkamai T 1 = 2π, T 2 = 2π//α/ – mažiausi teigiami periodai. Susiraskime, T 1/T 2 = 2π/α//2π = /α/ yra neracionalusis skaičius. Taigi T 1 ir T 2 yra nesuderinami, ir funkcija
f(t) nėra periodinis.
№ 3
Raskite funkcijos f(t) = Sin 5t mažiausią teigiamą periodą.
Sprendimas. Pagal 2 nuosavybės elementą turime:
f(t) – periodinis; T = 2π/5.
Atsakymas: 2π/5.
№ 4
Ar funkcija F(x) = arckos x + arcsin x periodinė?
Sprendimas. Panagrinėkime šią funkciją
F(x) = lankas x + arcsin x = π - arcsin x + arcsin x = π,
tie. F(x) yra periodinė funkcija (žr. 1 pavyzdžio 5 pastraipos savybę).
Atsakymas: taip.
№ 5
Ar funkcija periodinė?
F(x) = Sin 2x + Cos 4x + 5?
sprendimas. Tegul f 1 (x) = Sin 2x, tada T 1 = π;
F 2 (x) = Cos 4x, tada T 2 = 2π/4 = π/2;
F 3 (x) = 5, T 3 – bet koks tikrasis skaičius, ypač T 3 galime manyti, lygūs T 1 arba T 2 . Tada šios funkcijos periodas T = LCM (π, π/2) = π. Tai yra, f(x) yra periodinis su periodu T = π.
Atsakymas: taip.
№ 6
Ar funkcija f(x) = x – E(x) yra periodinė, kur E(x) yra funkcija, priskirianti argumentą x mažiausiam sveikajam skaičiui, neviršijančiam duoto.
Sprendimas. Dažnai funkcija f(x) žymima (x) – trupmenine skaičiaus x dalimi, t.y.
F(x) = (x) = x – E(x).
Tegul f(x) yra periodinė funkcija, t.y. yra toks skaičius T > 0, kad x – E(x) = x + T – E(x + T). Užrašykime šią lygybę
(x) + E(x) – E(x) = (x + T) + E(x + T) – E(x + T),
(x) + (x + T) – teisinga bet kuriam x iš domeno D f, su sąlyga, kad T ≠ 0 ir T є Z. Mažiausias teigiamas iš jų yra T = 1, t.y. T = 1 toks
X + T – E(x + T) = x – E(x),
Be to, (x ± Tk) є D f, kur k є Z.
Atsakymas: ši funkcija yra periodinė.
№ 7
Ar funkcija f(x) = Sin x periodinė? 2 .
Sprendimas. Tarkime, kad f(x) = Sin x 2 periodinė funkcija. Tada pagal periodinės funkcijos apibrėžimą yra toks skaičius T ≠ 0, kad: Sin x 2 = Sin (x + T) 2 bet kuriam x є D f.
Sin x 2 = Sin (x + T) 2 = 0,
2 Cos x 2 + (x+T) 2 /2 Sin x 2 -(x+T) 2 /2 = 0, tada
Cos x 2 + (x+T) 2 / 2 = 0 arba Sin x 2 -(x + T) 2 / 2 = 0.
Apsvarstykite pirmąją lygtį:
Cos x 2 + (x+T) 2 /2 = 0,
X 2 + (x+T) 2 /2 = π(1+2 k)/2 (k є Z),
Т = √ π(1+2 k) – x 2 – x. (1)
Apsvarstykite antrąją lygtį:
Sin x 2-(x+T) 2 /2 = 0,
X + T = √- 2πk + x 2,
T = √x 2 - 2πk - x. (2)
Iš (1) ir (2) išraiškų aišku, kad rastos T reikšmės priklauso nuo x, t.y. nėra T>0 tokio
Nuodėmė x 2 = Sin (x+T) 2
Bet kuriam x iš šios funkcijos apibrėžimo srities. f(x) nėra periodinis.
Atsakymas: ne
№ 8
Išnagrinėkite funkcijos f(x) = Cos periodiškumą 2 x.
Sprendimas. Pavaizduokime f(x) naudodami dvigubo kampo kosinuso formulę
F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x.
Tegul f 1 (x) = ½, tada T 1 – tai gali būti bet koks tikrasis skaičius; f 2 (x) = ½ Cos 2x yra periodinė funkcija, nes dviejų periodinių funkcijų, turinčių bendrą periodą T, sandauga 2 = π. Tada mažiausias teigiamas šios funkcijos periodas
T = LOC (T 1, T 2) =π.
Taigi, funkcija f(x) = Cos 2 x – π – periodinis.
Atsakymas: π yra periodinis.
№ 9
Ar periodinės funkcijos sritis gali būti:
A) pusiau linija [a, ∞),
B) segmentas?
Sprendimas. Ne, nes
A) pagal periodinės funkcijos apibrėžimą, jei x є D f, tada ir x ± ω
Turi priklausyti funkcijos domenui. Tada tegul x = a
X 1 = (a – ω) є [a, ∞);
B) tegul x = 1, tada x 1 = (1 + T) є .
№ 10
Ar periodinė funkcija gali būti:
A) griežtai monotoniškas;
B) lygus;
C) net ne?
Sprendimas. a) Tegul f(x) yra periodinė funkcija, t.y. egzistuoja toks Т≠0, kad bet kuriam x iš funkcijų D apibrėžimo srities f kodėl
(x ±T) є D f ir f (x±T) = f(x).
Pataisykime bet kurį x 0 є D f , nes f(x) yra periodinis, tada (x 0 +T) є D f ir f(x 0) = f(x 0 +T).
Tarkime, kad f(x) yra griežtai monotoniškas ir visoje D apibrėžimo srityje f , pavyzdžiui, padidėja. Tada pagal bet kurios x didėjančios funkcijos apibrėžimą 1 ir x 2 iš D apibrėžimo srities f iš nelygybės x 1 2 iš to seka, kad f(x 1) 2 ). Visų pirma iš sąlygos x 0 0 + T, iš to išplaukia
F(x 0) 0 +T), o tai prieštarauja sąlygai.
Tai reiškia, kad periodinė funkcija negali būti griežtai monotoniška.
b) Taip, periodinė funkcija gali būti lyginė. Pateiksime kelis pavyzdžius.
F(x) = Cos x, Cos x = Cos (-x), T = 2π, f(x) yra lyginė periodinė funkcija.
0, jei x yra racionalusis skaičius;
D(x) =
1, jei x yra neracionalusis skaičius.
D(x) = D(-x), funkcijos D(x) apibrėžimo sritis yra simetriška.
Direchleto funkcija D(x) yra lyginė periodinė funkcija.
f(x) = (x),
f(-x) = -x – E(-x) = (-x) ≠ (x).
Ši funkcija nėra lygi.
c) Periodinė funkcija gali būti nelyginė.
f(x) = Sin x, f(-x) = Sin (-x) = - Sin = - f(x)
f(x) yra nelyginė periodinė funkcija.
f(x) – Sin x Cos x, f(-x) = Sin (-x) Cos (-x) = – Sin x Cos x = - f(x) ,
f(x) – nelyginis ir periodinis.
f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),
f(x) nėra nelyginis.
f(x) = tan x – nelyginė periodinė funkcija.
Atsakymas: ne; Taip; Taip.
№ 11
Kiek nulių gali turėti periodinė funkcija:
1) ; 2) visoje skaitinėje ašyje, jei funkcijos periodas lygus T?
Sprendimas: 1. a) Atkarpoje [a, b] periodinė funkcija gali neturėti nulių, pavyzdžiui, f(x) = C, C≠0; f(x) = Cos x + 2.
b) Intervale [a, b] periodinė funkcija gali turėti begalinį nulių skaičių, pavyzdžiui, Direchlet funkcija
0, jei x yra racionalus skaičius,
D(x) =
1, jei x yra neracionalusis skaičius.
c) Intervale [a, b] periodinė funkcija gali turėti baigtinį nulių skaičių. Raskime šį skaičių.
Tegu T yra funkcijos periodas. Pažymėkime
X 0 = (min x є(a,b), kad f(x) = 0).
Tada nulių skaičius atkarpoje [a, b]: N = 1 + E (c-x 0 /T).
1 pavyzdys. x є [-2, 7π/2], f(x) = Cos 2 x – periodinė funkcija su periodu T = π; X 0 = -π/2; tada funkcijos f(x) nulių skaičius duotame intervale
N = 1 + E (7π/2 – (-π/2)/2) = 1 + E (8π/2π) = 5.
2 pavyzdys. f(x) = x – E(x), x є [-2; 8.5]. f(x) – periodinė funkcija, T + 1,
x 0 = -2. Tada funkcijos f(x) nulių skaičius duotame intervale
N = 1 + E (8,5 – (-2)/1) = 1 + E (10,5/1) = 1 + 10 = 11.
3 pavyzdys. f(x) = Cos x, x є [-3π; π], T 0 = 2π, x 0 = – 5π/2.
Tada šios funkcijos nulių skaičius tam tikrame intervale
N = 1 + E (π – (-5π/2)/2π) = 1 + E (7π/2π) = 1 + 3 = 4.
2. a) Begalinis nulių skaičius, nes X 0 є D f ir f(x 0 ) = 0, tada visiems skaičiams
Х 0 +Тk, kur k є Z, f(х 0 ± Тk) = f(х 0 ) =0, o x formos taškai 0 ± Tk yra begalinė aibė;
b) neturi nulių; jei f(x) yra periodinis ir bet kuriam
x є D f funkcija f(x) >0 arba f(x)
F(x) = Sin x +3,6; f(x) = C, C ≠ 0;
F(x) = Sin x – 8 + Cos x;
F(x) = Sin x Cos x + 5.
№ 12
Ar neperiodinių funkcijų suma gali būti periodinė?
Sprendimas. Taip galbūt. Pavyzdžiui:
- f 1 (x) = x – neperiodinis, f 2 (x) = E(x) – neperiodinis
F(x) = f 1 (x) – f 2 (x) = x – E(x) – periodinis.
- f 1 (x) = x – neperiodinis, f(x) = Sin x + x – neperiodinis
F(x) = f 2 (x) – f 1 (x) = Sin x – periodinis.
Atsakymas: taip.
№ 13
Funkcija f(x) ir φ(x) yra periodinės su periodais T 1 ir T 2 atitinkamai. Ar jų produktas visada yra periodinė funkcija?
Sprendimas. Ne, tik tada, kai T 1 ir T 2 – yra proporcingi. Pavyzdžiui,
F(x) = Sin x Sin πx, T 1 = 2π, T 2 = 2; tada T 1 / T 2 = 2π/2 = π yra neracionalusis skaičius, o tai reiškia, kad f(x) nėra periodinis.
f(x) = (x) Cos x = (x – E(x)) Cos x. Tegul f 1 (x) = x – E(x), T 1 = 1;
f 2 (x) = Cos (x), T 2 = 2π. T 2 / T 1 = 2π/1 = 2π, o tai reiškia, kad f(x) nėra periodinis.
Atsakymas: Ne.
Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai
Kurios iš funkcijų yra periodinės, rasti laikotarpį?
1. f(x) = Sin 2x, 10. f(x) = Sin x/2 + tan x,
2. f(x) = Cos x/2, 11. f(x) = Sin 3x + Cos 4x,
3. f(x) = tan 3x, 12. f(x) = Sin 2 x+1,
4. f(x) = Cos (1–2x), 13. f(x) = tan x + ctg√2x,
5. f(x) = Sin x Cos x, 14. f(x) = Sin πx + Cos x,
6. f(x) = ctg x/3, 15. f(x) = x 2 – E(x 2),
7. f(x) = Sin (3x – π/4), 16. f(x) = (x – E(x)) 2 ,
8. f(x) = Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f(x) = 2 x – E(x),
9. f(x) = Sin 2 x, 18. f(x) = x – n + 1, jei n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…
№ 14
Tegul f(x) – T yra periodinė funkcija. Kurios iš funkcijų yra periodinės (rasti T)?
- φ(x) = f(x + λ) – periodinis, nes „poslinkis“ išilgai Ox ašies neturi įtakos ω; jo periodas ω = T.
- φ(x) = a f(x + λ) + в – periodinė funkcija, kurios periodas ω = T.
- φ(х) = f(kh) – periodinė funkcija su periodu ω = Т/k.
- φ(x) = f(ax + b) yra periodinė funkcija, kurios periodas ω = T/a.
- φ(x) = f(√x) nėra periodinis, nes jo apibrėžimo sritis Dφ = (x/x ≥ 0), o periodinė funkcija negali turėti pusašyje apibrėžtos srities.
- φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) – 1) yra periodinė funkcija, nes
φ(x +T) = f(x+T) + 1/f(x +T) – 1 = φ(x), ω = T.
- φ(x) = a f 2 (x) + f(x) + c.
Tegul φ 1 (x) = a f 2 (x) – periodinis, ω 1 = t/2;
φ 2 (x) = in f(x) – periodinis, ω 2 = T/T = T;
φ 3 (x) = с – periodinis, ω 3 – bet koks skaičius;
tada ω = LCM(T/2; T) = T, φ(x) yra periodinis.
Priešingu atveju, nes šios funkcijos apibrėžimo sritis yra visa skaičių eilutė, tada funkcijos f – E reikšmių rinkinys f є D φ , o tai reiškia funkciją
φ(x) yra periodinis, o ω = T.
- φ(x) = √φ(x), f(x) ≥ 0.
φ(x) – periodinis su periodu ω = T, nes bet kuriam x funkcijai f(x) įgyja reikšmes f(x) ≥ 0, t.y. jo vertybių rinkinys E f є D φ , kur
Dφ – funkcijos apibrėžimo sritis φ(z) = √z.
№ 15
Ar funkcija f(x) = x 2 periodiškai?
Sprendimas. Apsvarstykite x ≥ 0, tada f(x) yra atvirkštinė funkcija √x, tai reiškia, kad šiame intervale f(x) yra monotoninė funkcija, tada ji negali būti periodinė (žr. Nr. 10).
№ 16
Duotas daugianario P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + ...a n x.
Ar P(x) yra periodinė funkcija?
Sprendimas. 1. Jei tapatybė lygi konstantai, tai P(x) yra periodinė funkcija, t.y. jeigu i = 0, kur i ≥ 1.
2. Tegu P(x) ≠ с, kur с yra tam tikra konstanta. Tarkime, P(x) yra periodinė funkcija, ir tegul P(x) turi realias šaknis, tada nuo P(x) yra periodinė funkcija, tada jų turi būti begalinis skaičius. Ir pagal pagrindinę algebros teoremą jų skaičius k yra toks, kad k ≤ n. Tai reiškia, kad P(x) nėra periodinė funkcija.
3. Tegul P(x) yra identiškas nulinis polinomas ir neturi realių šaknų. Tarkime, kad P(x) yra periodinė funkcija. Įveskime daugianarį q(x) = a 0 , q(x) yra periodinė funkcija. Apsvarstykite skirtumą P(x) - q(x) = a 1 x 2 + … +a n x n.
Nes Kairėje lygybės pusėje yra periodinė funkcija, tada funkcija dešinėje taip pat yra periodinė ir turi bent vieną tikrąją šaknį, x = 0. Kadangi Jei funkcija yra periodinė, tada nulių turi būti begalinis skaičius. Mes turime prieštaravimą.
P(x) nėra periodinė funkcija.
№ 17
Duota funkcija f(t) – T – periodinė. Ar funkcija fį (t), kur
k є Z, periodinė funkcija, kaip susiję jų laikotarpiai?
Sprendimas. Įrodinėjimą atliksime matematinių funkcijų metodu. Leisti
f 1 = f(t), tada f 2 = f 2 (t) = f(t) f(t),
F 3 = f 3 (t) = f (t) f 2 yra periodinė funkcija pagal 4 žingsnio savybę.
………………………………………………………………………….
Tegu f k-1 = f k-1 (t) – periodinė funkcija ir jos periodas T k-1 palyginama su periodu T. Abi paskutinės lygybės puses padauginus iš f(t), gauname f k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),
F k = f k (t) yra periodinė funkcija pagal 4 žingsnio savybę. ω ≤ T.
№ 18
Tegul f(x) yra savavališka funkcija, apibrėžta . Ar funkcija f((x)) yra periodinė?
Atsakymas: taip, nes funkcijos (x) reikšmių rinkinys priklauso funkcijos f(x) apibrėžimo sričiai, tada pagal 3 elemento savybę f((x)) yra periodinė funkcija, jos periodas ω = T = 1 .
№ 19
F(x) yra savavališka funkcija, apibrėžta [-1; 1], ar funkcija f(sinx) yra periodinė?
Atsakymas: taip, jo periodas yra ω = Т = 2π (įrodymas panašus į Nr. 18).
Tyrinėdami gamtos reiškinius ir spręsdami technines problemas, susiduriame su periodiškais procesais, kuriuos galima apibūdinti ypatingo tipo funkcijomis.
Funkcija y = f(x) su domenu D vadinama periodine, jei yra bent vienas skaičius T > 0 ir tenkinamos šios dvi sąlygos:
1) bet kurio x ∈ D taškai x + T, x − T priklauso D apibrėžimo sričiai;
2) kiekvienam x iš D galioja toks ryšys:
f(x) = f(x + T) = f(x − T).
Skaičius T vadinamas funkcijos f(x) periodu. Kitaip tariant, periodinė funkcija yra funkcija, kurios reikšmės kartojasi po tam tikro intervalo. Pavyzdžiui, funkcija y = sin x yra periodinė (1 pav.), kurios periodas yra 2π.
Atkreipkite dėmesį, kad jei skaičius T yra funkcijos f(x) periodas, tai skaičius 2T taip pat bus jos periodas, taip pat 3T, 4T ir kt., t.y. periodinė funkcija turi be galo daug skirtingų periodų. Jei tarp jų yra mažiausias (nelygus nuliui), tai visi kiti funkcijos periodai yra šio skaičiaus kartotiniai. Atkreipkite dėmesį, kad ne kiekviena periodinė funkcija turi tokį mažiausią teigiamą periodą; pavyzdžiui, funkcija f(x)=1 tokio periodo neturi. Taip pat svarbu nepamiršti, kad, pavyzdžiui, dviejų periodinių funkcijų, turinčių tą patį mažiausią teigiamą periodą T 0, suma nebūtinai turi tokį patį teigiamą periodą. Taigi funkcijų f(x) = sin x ir g(x) = −sin x suma iš viso neturi mažiausio teigiamo periodo, o funkcijų suma f(x) = sin x + sin 2x ir g(x) = −sin x, kurio mažiausi periodai lygūs 2π, turi mažiausią teigiamą periodą, lygų π.
Jei dviejų funkcijų f(x) ir g(x) periodų santykis yra racionalusis skaičius, tai šių funkcijų suma ir sandauga taip pat bus periodinės funkcijos. Jei visur apibrėžtų ir ištisinių funkcijų f ir g periodų santykis yra neracionalus skaičius, tai funkcijos f + g ir fg jau bus neperiodinės funkcijos. Taigi, pavyzdžiui, funkcijos cos x sin √2 x ir cosj √2 x + sin x yra neperiodinės, nors funkcijos sin x ir cos x yra periodinės su 2π periodu, funkcijos sin √2 x ir cos √2 x yra periodiniai su periodu √2 π .
Atkreipkite dėmesį, kad jei f(x) yra periodinė funkcija su periodu T, tai kompleksinė funkcija (jei, žinoma, prasminga) F(f(x)) taip pat yra periodinė funkcija, o skaičius T bus jos funkcija. laikotarpį. Pavyzdžiui, funkcijos y = sin 2 x, y = √(cos x) (2.3 pav.) yra periodinės funkcijos (čia: F 1 (z) = z 2 ir F 2 (z) = √z). Tačiau nereikėtų manyti, kad jei funkcija f(x) turi mažiausią teigiamą periodą T 0, tai funkcija F(f(x)) taip pat turės tokį patį mažiausią teigiamą periodą; pavyzdžiui, funkcija y = sin 2 x turi mažiausią teigiamą periodą, 2 kartus mažesnį už funkciją f(x) = sin x (2 pav.).
Nesunku parodyti, kad jei funkcija f yra periodinė su periodu T, apibrėžta ir diferencijuojama kiekviename tikrosios linijos taške, tai funkcija f"(x) (išvestinė) taip pat yra periodinė funkcija su periodu T, bet antidarinė funkcija F(x) (žr. Integralinį skaičiavimą) f(x) bus periodinė funkcija tik tada, jei
F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.
Jo reikšmių kartojimas tam tikru reguliariu argumentų intervalu, ty nekeičiant jo vertės, kai prie argumento pridedamas koks nors fiksuotas skaičius, kuris nėra nulis ( laikotarpį funkcijos) visoje apibrėžimo srityje.
Formaliau kalbant, funkcija vadinama periodine su tašku T ≠ 0 (\displaystyle T\neq 0), jei už kiekvieną tašką x (\displaystyle x) iš savo taško apibrėžimo srities x + T (\displaystyle x+T) Ir x − T (\displaystyle x-T) taip pat priklauso jos apibrėžimo sričiai, ir jiems galioja lygybė f (x) = f (x + T) = f (x − T) (\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)).
Remiantis apibrėžimu, lygybė galioja ir periodinei funkcijai f (x) = f (x + n T) (\displaystyle f(x)=f(x+nT)), Kur n (\displaystyle n)- bet koks sveikasis skaičius.
Tačiau jei laikotarpių rinkinys ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle \(T,T>0,T\in \mathbb (R) \)) yra mažiausia reikšmė, tada ji vadinama pagrindinis (arba pagrindinis) laikotarpis funkcijas.
Pavyzdžiai
Sin (x + 2 π) = sin x, cos (x + 2 π) = cos x, ∀ x ∈ R. (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb (R) .)
- Dirichleto funkcija yra periodinė; jos periodas yra bet koks racionalusis skaičius, kuris nėra nulis. Jame taip pat nėra pagrindinio laikotarpio.
Kai kurios periodinių funkcijų ypatybės
Ir T 2 (\displaystyle T_(2))(tačiau šis skaičius bus tiesiog taškas). Pavyzdžiui, funkcija f (x) = sin (2 x) − sin (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)) pagrindinis laikotarpis yra 2 π (\displaystyle 2\pi ), funkcijoje g (x) = sin (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x)) laikotarpis yra lygus 2 π / 3 (\displaystyle 2\pi /3), ir jų suma f (x) + g (x) = sin (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x)) pagrindinis laikotarpis akivaizdžiai lygus π (\displaystyle \pi ).- Dviejų funkcijų su nesuderinamais laikotarpiais suma ne visada yra neperiodinė funkcija.
Įprastose mokyklos užduotyse įrodyti periodiškumą vienos ar kitos funkcijos atlikti paprastai nėra sunku: taigi norint įsitikinti, kad funkcija $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ yra periodinė, pakanka tiesiog pažymėti, kad sandauga $T=4\times7\ kartus 2\pi$ yra jo periodas: jei prie x pridėsime skaičių T, tai šis produktas „suvalgys“ abu vardiklius ir po sinuso ženklu bus nereikalingi tik sveikieji $2\pi$ kartotiniai, kurie bus „ suvalgytas“ paties sinuso.
Bet neperiodiškumo įrodymas vienos ar kitos funkcijos tiesiogiai pagal apibrėžimą gali būti visai nelengva. Taigi, norėdami įrodyti aukščiau nagrinėjamos funkcijos $y=\sin x^2$ neperiodiškumą, galite parašyti lygybę $sin(x+T)^2=\sin x^2$, bet neišspręskite šią trigonometrinę lygtį iš įpročio, bet atspėkite ir pakeiskite ją x=0, po kurios beveik automatiškai įvyks: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, kur k yra kai kurie sveikieji skaičiai yra didesni už 0, t.y. $T=\sqrt (k\pi)$, o jei dabar spėtume pakeisti $x=\sqrt (\pi)$, paaiškės, kad $\sin(\sqrt(\pi)+\sqrt( k\ pi))=0$, iš kur $\sqrt(\pi)+\sqrt(k\pi)=n\pi$, $1+\sqrt(k)=n\sqrt(\pi)$, $1+ k+ 2\sqrt(k)=n^2\pi$, $2\sqrt(k)=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4(\pi ) ^2+2mn^2x+m^2$, taigi skaičius p yra lygties $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$ šaknis, t.y. yra algebrinė, o tai netiesa: $\pi$ yra, kaip žinome, transcendentinė, t.y. nėra jokios algebrinės lygties su sveikaisiais koeficientais šaknis. Tačiau ateityje sulauksime kur kas paprastesnio šio teiginio įrodymo – bet matematinės analizės pagalba.
Įrodant funkcijų neperiodiškumą dažnai padeda elementari loginė gudrybė: jei visos periodinės funkcijos turi kokią nors savybę, bet duotoji funkcija jos neturi, tai natūraliai nėra periodinis. Taigi periodinė funkcija įgauna bet kokią reikšmę be galo daug kartų, todėl, pavyzdžiui, funkcija $y=\frac(3x^2-5x+7)(4x^3-x+2)$ nėra periodinė, nes reikšmė yra 7, ji priimama tik dviejuose taškuose. Dažnai, norint įrodyti neperiodiškumą, patogu pasinaudoti jo ypatybėmis apibrėžimo sritis, o norint rasti norimą periodinių funkcijų savybę, kartais reikia parodyti vaizduotę.
Taip pat atkreipkime dėmesį, kad labai dažnai paklausus, kas yra neperiodinė funkcija, išgirstame atsakymą tokiu stiliumi, apie kurį kalbėjome lyginės ir nelyginės funkcijos, yra tada, kai $f(x+T)\neq f(x)$, kas, žinoma, yra nepriimtina.
Ir teisingas atsakymas priklauso nuo konkretaus periodinės funkcijos apibrėžimo ir, remiantis aukščiau pateiktu apibrėžimu, žinoma, galime sakyti, kad funkcija yra neperiodinė, jei ji neturi vieno periodo, bet tai bus „blogas“ apibrėžimas, kuris nesuteikia krypties neperiodiškumo įrodymai. Ir jei mes iššifruosime jį toliau, apibūdindami, ką reiškia sakinys „funkcija f neturi vieno taško“ arba, kas yra tas pats, „nėra skaičiaus $T \neq 0$ yra funkcijos f periodas“, tada gauname, kad funkcija f nėra periodinė tada ir tik tada, kai kiekvienam $T \neq 0$ yra skaičius $x\in D(f)$, kad bent vienas iš skaičių $x+T$ ir $ x-T$ nepriklauso D(f) arba $f(x+T)\neq f(x)$.
Galite pasakyti kitaip: „D(f)$ yra toks skaičius $x\, kad lygybė $f(x+T) = f(x)$ negalioja“ – ši lygybė gali negalioti dviem. priežastys: arba tai neturi prasmės, t.y. viena iš jo dalių yra neapibrėžta arba – kitu atveju – būti neteisinga. Įdomumo dėlei priduriame, kad čia taip pat pasireiškia kalbos efektas, apie kurį kalbėjome aukščiau: lygybė „nebūti tiesa“ ir „būti klaidinga“ nėra tas pats – lygybė dar gali neturėti prasmės.
Išsamus šio kalbinio poveikio priežasčių ir pasekmių išaiškinimas iš tikrųjų yra ne matematikos, o kalbos teorijos, kalbotyros, tiksliau, specialaus jos skyriaus: semantika – prasmės mokslas, kur vis dėlto šie dalykai. klausimai yra labai sudėtingi ir neturi vienareikšmio sprendimo. O matematika, įskaitant mokyklinę matematiką, yra priversta taikstytis su šiais sunkumais ir įveikti kalbines „bėdas“ – tuo tarpu ir todėl, kad kartu su simboline, natūralia kalba vartojama.
Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com
Skaidrių antraštės:
Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (profilio lygis) A.G. Mordkovich, P.E. Semenovas Mokytoja Volkova S.E.
1 apibrėžimas Sakoma, kad funkcija y = f (x), x ∈ X turi periodą T, jei bet kuriam x ∈ X galioja lygybė f (x – T) = f (x) = f (x + T). Jei funkcija su periodu T yra apibrėžta taške x, tada ji apibrėžiama ir taškuose x + T, x – T. Bet kurios funkcijos periodas lygus nuliui, kai T = 0, gauname f(x – 0) = f (x) = f( x + 0) .
2 apibrėžimas Funkcija, kurios periodas T skiriasi nuo nulio, vadinama periodine. Jei funkcija y = f (x), x ∈ X turi periodą T, tai bet koks skaičius, kuris yra T kartotinis (tai yra kT formos skaičius, k ∈ Z), taip pat yra jo periodas.
Įrodymas Tegul 2T yra funkcijos periodas. Tada f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Panašiai įrodyta, kad f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T) ir kt. Taigi f(x – kT) = f(x) = f(x + kT)
Mažiausias periodas tarp teigiamų periodinės funkcijos periodų vadinamas pagrindiniu šios funkcijos periodu.
Periodinės funkcijos grafiko ypatybės Jei T yra pagrindinis funkcijos y = f(x) periodas, tai pakanka: sukurti grafiko atšaką viename iš ilgio T intervalų, atlikti lygiagretųjį vertimą. šios šakos išilgai x ašies ±T, ±2T, ±3T ir kt. Paprastai tarpas pasirenkamas su galais taškuose
Periodinių funkcijų savybės 1. Jei f(x) yra periodinė funkcija su periodu T, tai funkcija g(x) = A f(kx + b), kur k > 0, taip pat yra periodinė su periodu T 1 = T/ k. 2. Tegul funkcijos f 1 (x) ir f 2 (x) yra apibrėžtos visoje skaitinėje ašyje ir yra periodinės su periodais T 1 > 0 ir T 2 >0. Tada T 1 /T 2 ∈ Q funkcija f(x) = f(x) + f 2 (x) yra periodinė funkcija, kurios periodas T lygus mažiausiam bendrajam skaičių T 1 ir T 2 kartotiniam.
Pavyzdžiai 1. Periodinė funkcija y = f(x) yra apibrėžta visiems realiesiems skaičiams. Jo periodas yra 3 ir f(0) =4. Raskite reiškinio 2f(3) – f(-3) reikšmę. Sprendimas. Т = 3, f(3) =f(0+3) = 4, f(-3) = f(0-3) =4, f(0) = 4. Gautų reikšmių pakeitimas į išraišką 2f (3) - f(-3) , gauname 8 - 4 =4 . Atsakymas: 4.
Pavyzdžiai 2. Periodinė funkcija y = f(x) yra apibrėžta visiems realiesiems skaičiams. Jo periodas lygus 5, o f(-1) = 1. Raskite f(-12), jei 2f(3) – 5f(9) = 9. Sprendimas T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3) = 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Atsakymas:7.
Naudota literatūra A.G. Mordkovich, P.V. Semenovas. Algebra ir analizės pradžia (profilio lygis), 10 klasė A.G. Mordkovich, P.V. Semenovas. Algebra ir analizės pradžia (profilio lygis), 10 kl. Metodinis vadovas mokytojams
Tema: metodologiniai patobulinimai, pristatymai ir pastabos
Periodinis įstatymas ir periodinė sistema D.I. Mendelejevas.
Išsami pamoka šia tema vyksta žaidimo forma, naudojant technologijų elementus iš pedagoginių dirbtuvių....
Užklasinis renginys „Periodinis D.I.Mendelejevo cheminių elementų dėsnis ir periodinė sistema“
Užklasinė veikla atskleidžia D. I. periodinio įstatymo ir periodinės sistemos sukūrimo istoriją. Mendelejevas. Informacija pateikiama poetine forma, kuri palengvina greitą įsiminimą...
Priedas prie popamokinės veiklos „Periodinis dėsnis ir periodinė D.I.Mendelejevo cheminių elementų sistema“
Įstatymo atradimas buvo ilgas ir intensyvus mokslinis D.I. Mendelejevas 15 metų, o tolesniam jos gilinimui buvo duoti dar 25 metai....