Plokštumos, statmenos duotam vektoriui, lygtis. Tiesi linija

Šiame straipsnyje pateikiama idėja, kaip sukurti lygtį plokštumai, kertančiai tam tikrą trimatės erdvės tašką, statmeną nurodytai tiesei. Išanalizuokime pateiktą algoritmą tipinių uždavinių sprendimo pavyzdžiu.

Plokštumos, einančios per tam tikrą erdvės tašką, statmeną tam tikrai tiesei, lygties radimas

Tegu joje pateikta trimatė erdvė ir stačiakampė koordinačių sistema O x y z. Taip pat pateiktas taškas M 1 (x 1, y 1, z 1), tiesė a ir plokštuma α, einanti per tašką M 1 statmenai tiesei a. Būtina užrašyti plokštumos α lygtį.

Prieš pradėdami spręsti šią problemą, prisiminkime geometrijos teoremą iš 10–11 klasių programos, kuri sako:

1 apibrėžimas

Per tam tikrą trimatės erdvės tašką eina viena plokštuma, statmena nurodytai tiesei.

Dabar pažiūrėkime, kaip rasti šios vienos plokštumos, einančios per pradinį tašką ir statmenos nurodytai tiesei, lygtį.

Galima užrašyti bendrąją plokštumos lygtį, jei žinomos šiai plokštumai priklausančio taško koordinatės, taip pat plokštumos normaliojo vektoriaus koordinatės.

Uždavinio sąlygos suteikia taško M 1, per kurį eina plokštuma α, koordinates x 1, y 1, z 1. Jei nustatysime plokštumos α normaliojo vektoriaus koordinates, tai galėsime užrašyti reikiamą lygtį.

Plokštumos α normalusis vektorius, kadangi jis nėra lygus nuliui ir yra tiesėje a, statmenoje plokštumai α, bus bet koks tiesės a krypties vektorius. Taigi plokštumos α normaliojo vektoriaus koordinačių radimo uždavinys paverčiamas tiesės a nukreipiamojo vektoriaus koordinačių nustatymo uždaviniu.

Tiesės a krypties vektoriaus koordinatės gali būti nustatomos įvairiais būdais: tai priklauso nuo pasirinkimo nurodyti tiesę a pradinėmis sąlygomis. Pavyzdžiui, jei tiesė a uždavinio teiginyje pateikiama kanoninėmis formos lygtimis

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

arba tokios formos parametrines lygtis:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

tada tiesės krypties vektorius turės koordinates a x, a y ir a z. Tuo atveju, kai tiesė a vaizduojama dviem taškais M 2 (x 2, y 2, z 2) ir M 3 (x 3, y 3, z 3), tada krypties vektoriaus koordinatės bus nustatytos kaip ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

2 apibrėžimas

Algoritmas plokštumos, einančios per tam tikrą tašką, statmeną nurodytai tiesei, lygties radimui:

Nustatome tiesės a krypties vektoriaus koordinates: a → = (a x, a y, a z) ;

Plokštumos α normaliojo vektoriaus koordinates apibrėžiame kaip tiesės a krypties vektoriaus koordinates:

n → = (A , B , C) , kur A = a x, B = a y, C = a z;

Rašome lygtį plokštumos, einančios per tašką M 1 (x 1, y 1, z 1) ir turinčios normalųjį vektorių n → = (A, B, C) forma A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Tai bus reikalinga lygtis plokštumos, kuri eina per tam tikrą erdvės tašką ir yra statmena nurodytai tiesei.

Gaunama bendroji plokštumos lygtis: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 leidžia gauti plokštumos lygtį atkarpomis arba normaliąją plokštumos lygtį.

Išspręskime kelis pavyzdžius naudodami aukščiau pateiktą algoritmą.

1 pavyzdys

Duotas taškas M 1 (3, - 4, 5), per kurį eina plokštuma, ir ši plokštuma yra statmena koordinačių tiesei O z.

Sprendimas

koordinačių tiesės O z krypties vektorius bus koordinačių vektorius k ⇀ = (0, 0, 1). Todėl normalusis plokštumos vektorius turi koordinates (0, 0, 1). Parašykime lygtį plokštumos, einančios per duotą tašką M 1 (3, - 4, 5), kurio normalusis vektorius turi koordinates (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Atsakymas: z – 5 = 0 .

Apsvarstykite kitą šios problemos sprendimo būdą:

2 pavyzdys

Plokštuma, kuri yra statmena tiesei O z, bus pateikta nepilna bendrosios plokštumos lygtimi, kurios forma C z + D = 0, C ≠ 0. Nustatykime C ir D reikšmes: tas, kuriomis plokštuma eina per tam tikrą tašką. Pakeiskime šio taško koordinates į lygtį C z + D = 0, gausime: C · 5 + D = 0. Tie. skaičiai, C ir D yra susiję ryšiu - D C = 5. Atsižvelgiant į C = 1, gauname D = - 5.

Pakeiskime šias reikšmes į lygtį C z + D = 0 ir gaukime reikiamą plokštumos, statmenos tiesei O z ir einančios per tašką M 1 (3, - 4, 5), lygtį.

Tai atrodys taip: z – 5 = 0.

Atsakymas: z – 5 = 0 .

3 pavyzdys

Parašykite lygtį plokštumai, kuri eina per pradžios tašką ir statmena tiesei x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Sprendimas

Remiantis uždavinio sąlygomis, galima teigti, kad tam tikros tiesės krypties vektorius gali būti paimtas kaip duotosios plokštumos normalusis vektorius n →. Taigi: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Parašykime lygtį plokštumos, einančios per tašką O (0, 0, 0) ir turinčios normalųjį vektorių n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Gavome reikiamą lygtį plokštumos, einančios per koordinačių pradžią, statmeną duotai tiesei.

Atsakymas:– 3 x – 7 y + 2 z = 0

4 pavyzdys

Trimatėje erdvėje pateikta stačiakampė koordinačių sistema O x y z, joje yra du taškai A (2, - 1, - 2) ir B (3, - 2, 4). Plokštuma α eina per tašką A statmenai tiesei A B. Būtina sudaryti plokštumos α lygtį atkarpomis.

Sprendimas

Plokštuma α yra statmena tiesei A B, tada vektorius A B → bus normalusis plokštumos α vektorius. Šio vektoriaus koordinatės apibrėžiamos kaip skirtumas tarp atitinkamų taškų B (3, - 2, 4) ir A (2, - 1, - 2) koordinačių:

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Bendroji plokštumos lygtis bus parašyta taip:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Dabar sudarykime reikiamą plokštumos lygtį segmentais:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Atsakymas:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Taip pat reikia pažymėti, kad yra problemų, kurių reikalavimas yra parašyti plokštumos, einančios per tam tikrą tašką ir statmenos dviem duotoms plokštumoms, lygtį. Apskritai šios problemos sprendimas yra sudaryti lygtį plokštumai, einančia per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, nes dvi susikertančios plokštumos nusako tiesią liniją.

5 pavyzdys

Duota stačiakampė koordinačių sistema O x y z, joje yra taškas M 1 (2, 0, - 5). Taip pat pateiktos dviejų plokštumų 3 x + 2 y + 1 = 0 ir x + 2 z – 1 = 0, kurios susikerta išilgai tiesės a, lygtys. Būtina sukurti lygtį plokštumai, einančios per tašką M 1 statmenai tiesei a.

Sprendimas

Nustatykime tiesės a kreipinio vektoriaus koordinates. Jis statmenas n → (1, 0, 2) plokštumos normaliajam vektoriui n 1 → (3, 2, 0), ir x + 2 z - normaliajam vektoriui 3 x + 2 y + 1 = 0 1 = 0 plokštuma.

Tada kaip nukreipimo vektorių α → tiesę a, paimame vektorių n 1 → ir n 2 → vektorinę sandaugą:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Taigi vektorius n → = (4, - 6, - 2) bus plokštumos, statmenos tiesei a, normalusis vektorius. Užrašykime reikiamą plokštumos lygtį:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Atsakymas: 2 x – 3 y – z – 9 = 0

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Kad viena plokštuma būtų nubrėžta per bet kuriuos tris erdvės taškus, būtina, kad šie taškai nebūtų vienoje tiesėje.

Apsvarstykite bendrosios Dekarto koordinačių sistemos taškus M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3).

Tam, kad savavališkas taškas M(x, y, z) būtų vienoje plokštumoje su taškais M 1, M 2, M 3, vektoriai turi būti lygiaverčiai.

(
) = 0

Taigi,

Plokštumos, kertančios tris taškus, lygtis:

Plokštumos lygtis su dviem taškais ir vektoriaus, esančio kolineje su plokštuma, lygtis.

Tegul taškai M 1 (x 1,y 1,z 1), M 2 (x 2,y 2,z 2) ir vektorius
.

Sukurkime lygtį plokštumai, einančia per duotus taškus M 1 ir M 2 ir savavališką tašką M (x, y, z), lygiagretų vektoriui .

Vektoriai
ir vektorius
turi būti lygiagreti, t.y.

(
) = 0

Plokštumos lygtis:

Plokštumos lygtis naudojant vieną tašką ir du vektorius,

kolineariai su plokštuma.

Tegu pateikiami du vektoriai
Ir
, kolinearinės plokštumos. Tada savavališkam taškui M(x, y, z), priklausančiam plokštumai, vektoriai
turi būti lygiagrečiai.

Plokštumos lygtis:

Plokštumos pagal tašką ir normaliojo vektoriaus lygtis .

Teorema. Jeigu erdvėje duotas taškas M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), tada plokštumos, einančios per tašką M, lygtis 0 statmenai normaliajam vektoriui (A, B, C) turi tokią formą:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Įrodymas. Savavališkam taškui M(x, y, z), priklausančiam plokštumai, sudarome vektorių. Nes vektorius yra normalus vektorius, tada jis yra statmenas plokštumai ir todėl statmenas vektoriui
. Tada skaliarinė sandauga

= 0

Taigi gauname plokštumos lygtį

Teorema įrodyta.

Plokštumos atkarpomis lygtis.

Jei bendrojoje lygtyje Ax + Bi + Cz + D = 0 abi puses padalinsime iš (-D)

,

pakeičiant
, gauname plokštumos lygtį atkarpomis:

Skaičiai a, b, c yra atitinkamai plokštumos susikirtimo taškai su x, y, z ašimis.

Vektorinės formos plokštumos lygtis.

Kur

- dabartinio taško spindulio vektorius M(x, y, z),

Vienetinis vektorius, kurio statmena kryptis nukrenta į plokštumą nuo pradžios.

,  ir  yra šio vektoriaus suformuoti kampai su x, y, z ašimis.

p yra šio statmens ilgis.

Koordinatėse ši lygtis atrodo taip:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Atstumas nuo taško iki plokštumos.

Atstumas nuo savavališko taško M 0 (x 0, y 0, z 0) iki plokštumos Ax+By+Cz+D=0 yra:

Pavyzdys. Raskite plokštumos lygtį, žinant, kad taškas P(4; -3; 12) yra statmeno, nuleisto nuo pradžios iki šios plokštumos, pagrindas.

Taigi A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, naudojame formulę:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Pavyzdys. Raskite plokštumos, einančios per du taškus P(2; 0; -1) lygtį ir

Q(1; -1; 3) statmena plokštumai 3x + 2y – z + 5 = 0.

Normalus vektorius plokštumai 3x + 2y – z + 5 = 0
lygiagrečiai norimai plokštumai.

Mes gauname:

Pavyzdys. Raskite plokštumos, einančios per taškus A(2, -1, 4) lygtį ir

B(3, 2, -1) statmena plokštumai X + adresu + 2z – 3 = 0.

Reikiama plokštumos lygtis yra tokia: A x+B y+C z+ D = 0, normalusis vektorius šiai plokštumai (A, B, C). Vektorius
(1, 3, -5) priklauso plokštumai. Mums duota plokštuma, statmena norimai, turi normalųjį vektorių (1, 1, 2). Nes taškai A ir B priklauso abiem plokštumoms, o plokštumos yra viena kitai statmenos, tada

Taigi normalus vektorius (11, -7, -2). Nes taškas A priklauso norimai plokštumai, tada jo koordinatės turi tenkinti šios plokštumos lygtį, t.y. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Iš viso gauname plokštumos lygtį: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Pavyzdys. Raskite plokštumos lygtį, žinant, kad taškas P(4, -3, 12) yra statmeno, nuleisto nuo pradžios iki šios plokštumos, pagrindas.

Normaliojo vektoriaus koordinačių radimas
= (4, -3, 12). Reikiama plokštumos lygtis yra tokia: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Norėdami rasti koeficientą D, į lygtį pakeičiame taško P koordinates:

16 + 9 + 144 + D = 0

Iš viso gauname reikiamą lygtį: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Pavyzdys. Duotos piramidės viršūnių koordinatės A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Raskite kraštinės A 1 A 2 ilgį.

Raskite kampą tarp kraštinių A 1 A 2 ir A 1 A 4.

Raskite kampą tarp briaunos A 1 A 4 ir paviršiaus A 1 A 2 A 3.

Pirmiausia randame veido A 1 A 2 A 3 normalųjį vektorių kaip vektorių kryžminė sandauga
Ir
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Raskime kampą tarp normalaus vektoriaus ir vektoriaus
.

-4 – 4 = -8.

Norimas kampas  tarp vektoriaus ir plokštumos bus lygus  = 90 0 - .

Raskite veido plotą A 1 A 2 A 3.

Raskite piramidės tūrį.

Raskite plokštumos A 1 A 2 A 3 lygtį.

Naudokime plokštumos, einančios per tris taškus, lygties formulę.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Kai naudojate kompiuterio versiją " Aukštosios matematikos kursas“ galite paleisti programą, kuri išspręs aukščiau pateiktą pavyzdį bet kurioms piramidės viršūnių koordinatėms.

Norėdami paleisti programą, dukart spustelėkite piktogramą:

Atsidariusiame programos lange įveskite piramidės viršūnių koordinates ir paspauskite Enter. Tokiu būdu visus sprendimo taškus galima gauti po vieną.

Pastaba: norint paleisti programą, jūsų kompiuteryje turi būti įdiegta bet kurios versijos Maple programa ( Waterloo Maple Inc.), pradedant nuo MapleV Release 4.

Norėdami gauti bendrąją plokštumos lygtį, išanalizuokime plokštumą, einančią per tam tikrą tašką.

Tebūnie trys mums jau žinomos koordinačių ašys erdvėje - Jautis, Oy Ir Ozas. Laikykite popieriaus lapą taip, kad jis liktų plokščias. Lėktuvas bus pats lapas ir jo tęsinys visomis kryptimis.

Leisti P savavališka plokštuma erdvėje. Kiekvienas jam statmenas vektorius vadinamas normalus vektorius į šį lėktuvą. Natūralu, kad mes kalbame apie nulinį vektorių.

Jei žinomas koks nors plokštumos taškas P ir tam tikras normalus vektorius, tada šiomis dviem sąlygomis erdvės plokštuma yra visiškai apibrėžta(per nurodytą tašką galite nubrėžti vieną plokštumą, statmeną duotam vektoriui). Bendra plokštumos lygtis bus tokia:

Taigi, sąlygos, apibrėžiančios plokštumos lygtį, yra. Norėdami gauti save plokštumos lygtis, turėdamas aukščiau nurodytą formą, pakilk į lėktuvą P savavališkas tašką M su kintamomis koordinatėmis x, y, z. Šis taškas priklauso plokštumai tik tuo atveju, jei vektorius statmenai vektoriui(1 pav.). Tam, atsižvelgiant į vektorių statmenumo sąlygą, būtina ir pakanka, kad šių vektorių skaliarinė sandauga būtų lygi nuliui, t.

Vektorius nurodomas sąlyga. Vektoriaus koordinates randame naudodami formulę :

.

Dabar, naudojant vektorių formulės skaliarinę sandaugą , skaliarinį sandaugą išreiškiame koordinačių forma:

Nuo taško M(x; y; z) plokštumoje pasirenkamas savavališkai, tada paskutinę lygtį tenkina bet kurio plokštumoje esančio taško koordinatės P. Dėl taško N, negulėti duotoje plokštumoje, t.y. pažeidžiama lygybė (1).

1 pavyzdys. Parašykite plokštumos, einančios per tašką ir statmenos vektoriui, lygtį.

Sprendimas. Naudokime formulę (1) ir pažiūrėkime dar kartą:

Šioje formulėje skaičiai A , B Ir C vektoriaus koordinates ir skaičius x0 , y0 Ir z0 - taško koordinatės.

Skaičiavimai labai paprasti: pakeičiame šiuos skaičius į formulę ir gauname

Viską, ką reikia padauginti, padauginame ir pridedame tik skaičius (kurie neturi raidžių). Rezultatas:

.

Paaiškėjo, kad šiame pavyzdyje reikalinga plokštumos lygtis yra išreikšta bendra pirmojo laipsnio lygtimi kintamųjų koordinačių atžvilgiu x, y, z savavališkas plokštumos taškas.

Taigi, formos lygtis

paskambino bendrosios plokštumos lygtis .

2 pavyzdys. Stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje sukonstruokite lygties pateiktą plokštumą .

Sprendimas. Norint sukonstruoti plokštumą, būtina ir pakanka žinoti bet kuriuos tris jos taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje, pavyzdžiui, plokštumos susikirtimo su koordinačių ašimis taškus.

Kaip rasti šiuos taškus? Norėdami rasti susikirtimo tašką su ašimi Ozas, problemos teiginyje pateiktoje lygtyje X ir Y reikia pakeisti nuliais: x = y= 0. Todėl gauname z= 6. Taigi duotoji plokštuma kerta ašį Ozas taške A(0; 0; 6) .

Lygiai taip pat randame plokštumos susikirtimo su ašimi tašką Oy. At x = z= 0 gauname y= −3, tai yra taškas B(0; −3; 0) .

Ir galiausiai randame savo plokštumos susikirtimo tašką su ašimi Jautis. At y = z= 0 gauname x= 2, tai yra taškas C(2; 0; 0) . Remiantis mūsų sprendime gautais trimis taškais A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) ir C(2; 0; 0) sukonstruoti duotąją plokštumą.

Dabar pasvarstykime ypatingi bendrosios plokštumos lygties atvejai. Tai atvejai, kai tam tikri (2) lygties koeficientai tampa lygūs nuliui.

1. Kada D= 0 lygtis apibrėžia plokštumą, einančią per pradžios tašką, nes taško koordinatės 0 (0; 0; 0) tenkina šią lygtį.

2. Kada A= 0 lygtis apibrėžia ašiai lygiagrečią plokštumą Jautis, nes šios plokštumos normalusis vektorius yra statmenas ašiai Jautis(jo projekcija į ašį Jautis lygus nuliui). Panašiai, kai B= 0 lėktuvas lygiagrečiai ašiai Oy, ir kada C= 0 lėktuvas lygiagrečiai ašiai Ozas.

3. Kada A=D= 0 lygtis apibrėžia plokštumą, einančią per ašį Jautis, nes jis yra lygiagretus ašiai Jautis (A=D= 0). Panašiai plokštuma eina per ašį Oy, o plokštuma per ašį Ozas.

4. Kada A=B= 0 lygtis apibrėžia plokštumą, lygiagrečią koordinačių plokštumai xOy, nes jis yra lygiagretus ašims Jautis (A= 0) ir Oy (B= 0). Panašiai plokštuma lygiagreti plokštumai yOz, o lėktuvas yra lėktuvas xOz.

5. Kada A=B=D= 0 lygtis (arba z = 0) apibrėžia koordinačių plokštumą xOy, nes jis yra lygiagretus plokštumai xOy (A=B= 0) ir eina per pradinę vietą ( D= 0). Taip pat Eq. y = 0 erdvėje apibrėžia koordinačių plokštumą xOz, ir lygtis x = 0 – koordinačių plokštuma yOz.

3 pavyzdys. Sukurkite plokštumos lygtį P, einantis per ašį Oy ir laikotarpis.

Sprendimas. Taigi plokštuma eina per ašį Oy. Todėl jos lygtyje y= 0 ir ši lygtis turi formą . Koeficientams nustatyti A Ir C pasinaudokime tašku priklausymu plokštumai P .

Todėl tarp jo koordinačių yra tų, kurias galima pakeisti į plokštumos lygtį, kurią jau išvedėme (). Dar kartą pažiūrėkime į taško koordinates:

M0 (2; −4; 3) .

Tarp jų x = 2 , z= 3. Mes juos pakeičiame į bendrą lygtį ir gauname lygtį mūsų konkrečiam atvejui:

2A + 3C = 0 .

Palikite 2 A kairėje lygties pusėje perkelkite 3 Cį dešinę pusę ir gauname

A = −1,5C .

Rastos vertės pakeitimas Aį lygtį, gauname

arba .

Tai lygtis, kurios reikia pavyzdinėje sąlygoje.

Pats išspręskite plokštumos lygties uždavinį, tada pažiūrėkite į sprendimą

4 pavyzdys. Apibrėžkite plokštumą (arba plokštumas, jei daugiau nei viena) koordinačių ašių arba koordinačių plokštumų atžvilgiu, jei plokštuma (-os) pateikta (-os) pagal lygtį.

Tipiškų problemų, kylančių atliekant testus, sprendimai yra vadovėlyje „Uždaviniai plokštumoje: lygiagretumas, statmenumas, trijų plokštumų susikirtimas viename taške“.

Plokštumos, einančios per tris taškus, lygtis

Kaip jau minėta, būtina ir pakankama plokštumos konstravimo sąlyga, be vieno taško ir normalaus vektoriaus, yra ir trys taškai, kurie nėra vienoje tiesėje.

Tegul trys skirtingi taškai Ir , Neguli ant tos pačios linijos, turi būti pateikta. Kadangi nurodyti trys taškai nėra toje pačioje tiesėje, vektoriai nėra kolinearūs, todėl bet kuris plokštumos taškas yra toje pačioje plokštumoje su taškais, ir tada, jei vektoriai , ir koplanarinis, t.y. tada ir tik tada mišrus šių vektorių sandauga lygus nuliui.

Naudodami mišraus sandaugos išraišką koordinatėmis, gauname plokštumos lygtį

(3)

Atskleidus determinantą, ši lygtis tampa (2) formos lygtimi, t.y. bendroji plokštumos lygtis.

5 pavyzdys. Parašykite lygtį plokštumai, kertančiai tris nurodytus taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje:

ir nustatyti specialų bendrosios tiesės lygties atvejį, jei toks yra.

Sprendimas. Pagal (3) formulę turime:

Normalios plokštumos lygtis. Atstumas nuo taško iki plokštumos

Normalioji plokštumos lygtis yra jos lygtis, parašyta forma