Historia ostatniego twierdzenia Fermata. Feliks Kirsanow
Ostatnie twierdzenie Fermata Singh Simon
„Czy udowodniono ostatnie twierdzenie Fermata?”
Był to dopiero pierwszy krok w kierunku udowodnienia hipotezy Taniyamy-Shimury, ale strategia Wilesa była genialnym przełomem matematycznym, a wynik zasługiwał na publikację. Jednak ze względu na narzucony przez siebie ślub milczenia Wiles nie mógł powiedzieć reszcie świata o swoim wyniku i nie miał pojęcia, kto jeszcze mógłby dokonać równie znaczącego przełomu.
Wiles wspomina swoje filozoficzne podejście do potencjalnego konkurenta: „Nikt nie chce spędzać lat na udowadnianiu czegoś i odkrywaniu, że ktoś inny zdołał znaleźć dowód kilka tygodni wcześniej. Ale, co dziwne, ponieważ próbowałem rozwiązać problem, który w zasadzie uważano za nierozwiązywalny, nie bardzo bałem się rywali. Po prostu nie spodziewałem się, że ja lub ktokolwiek inny wpadnie na pomysł, który doprowadzi do dowodu.
8 marca 1988 roku Wiles był zszokowany, gdy na pierwszych stronach gazet ujrzał nagłówki wydrukowane dużą czcionką: „Udowodnione ostatnie twierdzenie Fermata”. „Washington Post” i „New York Times” doniosły, że trzydziestoośmioletni Yoichi Miyaoka z Tokyo Metropolitan University rozwiązał najtrudniejszy problem matematyczny na świecie. Miyaoka nie opublikował jeszcze swojego dowodu, ale przedstawił postępy w jego realizacji na seminarium w Instytucie Matematyki Maxa Plancka w Bonn. Don Tsagir, który był obecny na wykładzie Miyaoki, wyraził optymizm społeczności matematycznej w następujących słowach: „Dowód przedstawiony przez Miyaokę jest niezwykle interesujący i niektórzy matematycy uważają, że istnieje duże prawdopodobieństwo jego poprawności. Nie jesteśmy jeszcze do końca pewni, ale jak dotąd dowody wyglądają bardzo zachęcająco”.
Przemawiając na seminarium w Bonn, Miyaoka mówił o swoim podejściu do rozwiązania problemu, które rozpatrywał z zupełnie innego, algebraiczno-geometrycznego punktu widzenia. W ciągu ostatnich dziesięcioleci geometrzy osiągnęli głębokie i subtelne zrozumienie obiektów matematycznych, w szczególności właściwości powierzchni. W latach 70. rosyjski matematyk S. Arakelov próbował ustalić podobieństwa między problemami geometrii algebraicznej a problemami teorii liczb. Był to jeden z wątków programu Langlandsa i matematycy mieli nadzieję, że nierozwiązane problemy w teorii liczb można rozwiązać poprzez badanie odpowiednich problemów w geometrii, które również pozostały nierozwiązane. Program ten był znany jako filozofia równoległości. Geometrów algebraicznych, którzy próbowali rozwiązywać problemy w teorii liczb, nazywano „arytmetycznymi geometrami algebraicznymi”. W 1983 roku ogłosili swoje pierwsze znaczące zwycięstwo, kiedy Gerd Faltings z Instytutu Studiów Zaawansowanych w Princeton wniósł znaczący wkład w zrozumienie twierdzenia Fermata. Przypomnijmy, że według Fermata równanie
Na N Większe niż 2 nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych. Faltings zdecydował, że poczynił postępy w udowadnianiu ostatniego twierdzenia Fermata, badając powierzchnie geometryczne powiązane z różnymi wartościami N. Powierzchnie powiązane z równaniami Fermata dla różnych wielkości N, różnią się od siebie, ale mają jedną wspólną cechę - wszystkie mają otwory przelotowe, lub po prostu dziury. Powierzchnie te są czterowymiarowe, podobnie jak wykresy o kształtach modułowych. Dwuwymiarowe przekroje dwóch powierzchni pokazano na ryc. 23. Powierzchnie powiązane z równaniem Fermata wyglądają podobnie. Im wyższa wartość N w równaniu, tym więcej dziur jest na odpowiedniej powierzchni.
Ryż. 23. Te dwie powierzchnie otrzymano za pomocą programu komputerowego Mathematica. Każdy z nich reprezentuje zbiór punktów spełniających równanie x rz + y n = z n(dla powierzchni po lewej stronie N=3, dla powierzchni po prawej stronie N=5). Zmienne X I y są tutaj uważane za złożone
Faltings był w stanie udowodnić, że ponieważ takie powierzchnie zawsze mają kilka dziur, powiązane równanie Fermata może mieć tylko skończony zbiór rozwiązań całkowitych. Liczba rozwiązań może być dowolna – od zera, jak zakładał Fermat, do miliona lub miliarda. Zatem Faltings nie udowodnił Ostatniego Twierdzenia Fermata, ale przynajmniej zdołał odrzucić możliwość, że równanie Fermata ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Pięć lat później Miyaoka poinformował, że posunął się o krok dalej. Miał wtedy około dwudziestu lat. Miyaoka sformułował hipotezę dotyczącą pewnej nierówności. Stało się jasne, że udowodnienie jego hipotezy geometrycznej oznaczałoby udowodnienie, że liczba rozwiązań równania Fermata jest nie tylko skończona, ale równa zero. Podejście Miyaoki było podobne do podejścia Wilesa w tym sensie, że obaj próbowali udowodnić ostatnie twierdzenie Fermata, odnosząc je do fundamentalnej hipotezy z innej dziedziny matematyki. Dla Miyaoki była to geometria algebraiczna, dla Wilesa droga do dowodu prowadziła przez krzywe eliptyczne i formy modułowe. Ku wielkiemu rozczarowaniu Wilesa, nadal miał trudności z udowodnieniem hipotezy Taniyamy-Shimury, gdy Miyaoka twierdził, że ma kompletny dowód na swoje własne przypuszczenia, a tym samym na Ostatnie Twierdzenie Fermata.
Dwa tygodnie po przemówieniu w Bonn Miyaoka opublikował pięć stron obliczeń, które stanowiły istotę jego dowodu, i rozpoczęły się dokładne badania. Teoretycy liczb i specjaliści od geometrii algebraicznej na całym świecie badali, linia po linii, publikowali obliczenia. Kilka dni później matematycy odkryli jedną sprzeczność w dowodzie, która nie mogła nie wywołać niepokoju. Jedna część pracy Miyaoki doprowadziła do stwierdzenia z teorii liczb, które po przetłumaczeniu na język geometrii algebraicznej dało stwierdzenie zaprzeczające wynikowi uzyskanemu kilka lat wcześniej. Chociaż niekoniecznie unieważniło to cały dowód Miyaoki, odkryta sprzeczność nie pasowała do filozofii równoległości między teorią liczb a geometrią.
Kolejne dwa tygodnie później Gerd Faltings, który utorował drogę Miyaoke, ogłosił, że odkrył dokładną przyczynę pozornego naruszenia równoległości – lukę w rozumowaniu. Japoński matematyk był geometrą i nie był całkowicie rygorystyczny, gdy przekładał swoje pomysły na mniej znane terytorium teorii liczb. Armia teoretyków liczb gorączkowo próbowała załatać lukę w dowodzie Miyaoki, ale na próżno. Dwa miesiące po tym, jak Miyaoka oświadczył, że ma kompletny dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata, społeczność matematyczna doszła do jednomyślnego wniosku: dowód Miyaoki był skazany na niepowodzenie.
Podobnie jak w przypadku poprzednich nieudanych dowodów, Miyaoka był w stanie uzyskać wiele interesujących wyników. Niektóre fragmenty jego dowodu były godne uwagi jako bardzo pomysłowe zastosowania geometrii do teorii liczb, a w kolejnych latach inni matematycy używali ich do udowadniania niektórych twierdzeń, nikomu jednak nie udało się w ten sposób udowodnić Ostatniego Twierdzenia Fermata.
Wrzawa wokół Ostatniego Twierdzenia Fermata szybko ucichła, a w gazetach ukazały się krótkie wzmianki mówiące, że trzystuletnia zagadka nadal pozostaje nierozwiązana. Na ścianie stacji metra Eighth Street w Nowym Jorku pojawił się następujący napis, bez wątpienia zainspirowany doniesieniami prasowymi na temat Ostatniego Twierdzenia Fermata: „Równ. xn + yn = zn nie ma rozwiązań. Znalazłem naprawdę zdumiewający dowód tego faktu, ale nie mogę go tutaj zapisać, ponieważ przyjechał mój pociąg.
Rozdział dziesiąty FARMA KROKODYLI Jechali malowniczą drogą starym samochodem Johna, siedząc na tylnych siedzeniach. Za kierownicą siedział czarny kierowca w jasnej koszuli z dziwnie przyciętą głową. Logicznie rzecz biorąc, na jego ogolonej czaszce stały krzaki twardych jak drut czarnych włosów
Przygotowanie do wyścigu. Alaska, Iditarod Farm Lindy Pletner to coroczne wyścigi psich zaprzęgów na Alasce. Długość trasy wynosi 1150 mil (1800 km). To najdłuższy na świecie wyścig psich zaprzęgów. Start (uroczysty) – 4 marca 2000 z Anchorage. Początek
Hodowla kóz Latem we wsi jest dużo pracy. Kiedy odwiedziliśmy wieś Chomutiec, zbierano tam siano, a pachnące fale świeżo ściętych ziół zdawały się przenikać wszystko dookoła.Zioła trzeba kosić na czas, aby nie przejrzały, wtedy wszystko, co cenne i pożywne, zostanie zachowane w nich. Ten
Letnia farma Słoma jak trzymana w ręku błyskawica, szkło w trawę; Inny, podpisawszy się na płocie, zapalił w korycie dla koni ogień z zielonej szklanki Wody. W błękitny zmierzch Dziewięć kaczek wędruje, kołysząc się, po koleinie w duchu równoległych linii. Tutaj kurczak wpatruje się w nic samotnie
Zniszczone gospodarstwo. Spokojne słońce, jak ciemnoczerwony kwiat, Opadło na ziemię, wyrastając w zachód słońca, Ale kurtyna nocy w bezczynnej mocy Przyciągnęła świat, zaniepokojony spojrzeniem. Na pozbawionej dachu farmie zapanowała cisza, Jakby ktoś wyrwał jej włosy, Walczyli o kaktusa
Gospodarstwo czy gospodarstwo? 13 lutego 1958 r. we wszystkich gazetach centralnych Moskwy, a następnie regionalnych, ukazała się decyzja Komitetu Centralnego Komunistycznej Partii Ukrainy „W sprawie błędu w zakupie krów od kołchozów na Zaporożu”. Nie rozmawialiśmy nawet o całym regionie, ale o dwóch jego dzielnicach: Primorskim
Problem Fermata W 1963 roku, mając zaledwie dziesięć lat, Andrew Wiles był już zafascynowany matematyką. „W szkole uwielbiałem rozwiązywać problemy, zabierałem je do domu i z każdego problemu tworzyłem nowe. Ale największy problem, jaki kiedykolwiek spotkałem, miał miejsce u lokalnego klienta
Od twierdzenia Pitagorasa do ostatniego twierdzenia Fermata Twierdzenie Pitagorasa i nieskończona liczba trójek Pitagorasa zostały omówione w książce E.T. „Wielki problem” Bella – ta sama książka biblioteczna, która przyciągnęła uwagę Andrew Wilesa. I chociaż pitagorejczycy osiągnęli prawie komplet
Matematyka po dowodzie Ostatniego Twierdzenia Fermata Co dziwne, sam Wiles miał mieszane uczucia co do swojego raportu: „Okazja do wystąpienia została wybrana bardzo dobrze, ale sam wykład wzbudził we mnie mieszane uczucia. Praca nad dowodem
Rozdział 63 Farma starego McLennona Około półtora miesiąca po powrocie do Nowego Jorku, pewnego listopadowego wieczoru, w mieszkaniu Lennonów zadzwonił telefon. Yoko odebrała telefon. Męski głos z portorykańskim akcentem zapytał Yoko Ono. Udając
Twierdzenie Pontryagina W tym samym czasie, co Konserwatorium, mój ojciec studiował na Moskiewskim Uniwersytecie Państwowym, studiując mechanikę i matematykę. Studia ukończył z sukcesem, a nawet przez pewien czas wahał się z wyborem zawodu. Wygrała muzykologia, dzięki czemu skorzystała z jego matematycznego sposobu myślenia.Jeden z kolegów mojego ojca
Twierdzenie Twierdzenie o prawie związku wyznaniowego do wyboru księdza wymaga dowodu. Brzmi ono tak: „Wspólnota prawosławna powstaje... pod duchowym przewodnictwem księdza wybranego przez wspólnotę i błogosławionego przez biskupa diecezjalnego”.
I. Gospodarstwo („Tutaj z kurzych odchodów...”) Tutaj z kurzych odchodów Jedynym ratunkiem jest miotła. Miłość – która? - Zabrała mnie do kurnika. Dziobią ziarno, kury rechoczą, koguty kroczą znacząco. I bez rozmiaru i cenzury Wiersze powstają w umyśle. O prowansalskim popołudniu
Pierre Fermat czytając „Arytmetykę” Diofantosa z Aleksandrii i zastanawiając się nad jej problematyką, miał zwyczaj zapisywać wyniki swoich rozważań w formie krótkich komentarzy na marginesach księgi. Przeciwko ósmemu problemowi Diofantosa na marginesie księgi Fermat napisał: „ Wręcz przeciwnie, nie da się rozłożyć ani sześcianu na dwa sześciany, ani dwukwadratu na dwa dwukwadraty, ani w ogóle żadnej potęgi większej niż kwadrat na dwie potęgi o tym samym wykładniku. Odkryłem na to naprawdę wspaniały dowód, ale te pola są na to za wąskie» / ET Bell „Twórcy matematyki”. M., 1979, s. 69/. Zwracam uwagę na elementarny dowód twierdzenia Fermata, który zrozumie każdy uczeń szkoły średniej zainteresowany matematyką.
Porównajmy komentarz Fermata do problemu Diofantosa ze współczesnym sformułowaniem ostatniego twierdzenia Fermata, które ma postać równania.
« Równanie
x n + y n = z n(gdzie n jest liczbą całkowitą większą niż dwa)
nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich»
Komentarz pozostaje w logicznym powiązaniu z zadaniem, podobnie jak logiczne powiązanie orzeczenia z podmiotem. Przeciwnie, to, co stwierdza problem Diofantosa, potwierdza komentarz Fermata.
Komentarz Fermata można zinterpretować w następujący sposób: jeśli równanie kwadratowe z trzema niewiadomymi ma nieskończoną liczbę rozwiązań na zbiorze wszystkich trójek liczb pitagorejskich, to odwrotnie, równanie z trzema niewiadomymi do potęgi większej od kwadratu
W równaniu jego związku z problemem Diofantosa nie ma nawet śladu. Jego twierdzenie wymaga dowodu, ale nie ma warunku, z którego wynika, że nie ma ono rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.
Znane mi możliwości udowodnienia równania sprowadzają się do następującego algorytmu.
- Za wniosek przyjmuje się równanie twierdzenia Fermata, którego ważność jest weryfikowana poprzez dowód.
- To samo równanie nazywa się oryginalny równanie, z którego musi wyjść dowód.
W rezultacie powstała tautologia: „ Jeśli równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich, to nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich„Dowód tautologii jest oczywiście błędny i pozbawiony jakiegokolwiek znaczenia. Ale jest to udowodnione przez sprzeczność.
- Przyjmuje się założenie, które jest przeciwne do tego, co wynika z równania, które należy udowodnić. Nie powinno to być sprzeczne z pierwotnym równaniem, a jednak tak jest. Nie ma sensu udowadniać tego, co jest przyjęte bez dowodu, i akceptować bez dowodu to, co należy udowodnić.
- W oparciu o przyjęte założenie przeprowadza się absolutnie poprawne operacje i działania matematyczne, aby udowodnić, że jest to sprzeczne z pierwotnym równaniem i jest fałszywe.
Dlatego od 370 lat udowodnienie równania Ostatniego Twierdzenia Fermata pozostaje nierealnym marzeniem specjalistów i pasjonatów matematyki.
Przyjąłem równanie jako konkluzję twierdzenia, a ósme zadanie Diofantosa i jego równanie jako warunek twierdzenia.
„Jeśli równanie x 2 + y 2 = z 2
(1) ma nieskończoną liczbę rozwiązań na zbiorze wszystkich trójek liczb pitagorejskich, to odwrotnie równanie x n + y n = z n
, Gdzie n > 2
(2) nie ma rozwiązań na zbiorze dodatnich liczb całkowitych.”
Dowód.
A) Wszyscy wiedzą, że równanie (1) ma nieskończoną liczbę rozwiązań na zbiorze wszystkich trójek liczb pitagorejskich. Udowodnimy, że ani jedna trójka liczb pitagorejskich będąca rozwiązaniem równania (1) nie jest rozwiązaniem równania (2).
Bazując na prawie odwracalności równości, zamieniamy strony równania (1). Liczby Pitagorasa (z, x, y) można interpretować jako długości boków trójkąta prostokątnego i kwadratów (x 2 , y 2 , z 2) można interpretować jako pole kwadratów zbudowanych na jego przeciwprostokątnej i nogach.
Pomnóżmy pola kwadratów równania (1) przez dowolną wysokość H :
z 2 godz. = x 2 godz. + y 2 godz (3)
Równanie (3) można interpretować jako równość objętości równoległościanu z sumą objętości dwóch równoległościanów.
Niech wysokość trzech równoległościanów h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
Objętość sześcianu rozkłada się na dwie objętości dwóch równoległościanów. Pozostawimy objętość sześcianu bez zmian i zmniejszymy wysokość pierwszego równoległościanu do X i zmniejsz wysokość drugiego równoległościanu do y . Objętość sześcianu jest większa od sumy objętości dwóch sześcianów:
z 3 > x 3 + y 3 (5)
Na zbiorze trójek liczb pitagorejskich ( x, y, z ) Na n=3 równanie (2) nie może mieć żadnego rozwiązania. W konsekwencji na zbiorze wszystkich trójek liczb pitagorejskich nie można rozłożyć sześcianu na dwie kostki.
Niech w równaniu (3) wysokość trzech równoległościanów h = z 2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Objętość równoległościanu rozkłada się na sumę objętości dwóch równoległościanów.
Lewą stronę równania (6) pozostawiamy bez zmian. Po prawej stronie wysokość z 2
zmniejszyć do X
w pierwszym semestrze i wcześniej o 2
w drugiej kadencji.
Równanie (6) zamienione na nierówność:
Objętość równoległościanu rozkłada się na dwie objętości dwóch równoległościanów.
Lewą stronę równania (8) pozostawiamy bez zmian.
Po prawej stronie wysokość zn-2
zmniejszyć do xn-2
w pierwszym terminie i zredukuj do i n-2
w drugiej kadencji. Równanie (8) zamienia się w nierówność:
| z n > x n + y n | (9) |
Na zbiorze trójek liczb pitagorejskich nie może być jednego rozwiązania równania (2).
W konsekwencji na zbiorze wszystkich trójek liczb pitagorejskich dla wszystkich n > 2 równanie (2) nie ma rozwiązań.
Uzyskano „naprawdę cudowny dowód”, ale tylko w przypadku trojaczków Liczby Pitagorasa. To jest brak dowodów i powód odmowy P. Fermata.
B) Udowodnimy, że równanie (2) nie ma rozwiązań na zbiorze trójek liczb niepitagorejskich, który reprezentuje rodzinę dowolnej trójki liczb pitagorejskich z = 13, x = 12, y = 5 oraz rodzina dowolnej trójki dodatnich liczb całkowitych z = 21, x = 19, y = 16
Obie trójki liczb są członkami swoich rodzin:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Liczba członków rodziny (10) i (11) jest równa połowie iloczynu 13 przez 12 i 21 przez 20, czyli 78 i 210.
Każdy członek rodziny (10) zawiera z = 13 i zmienne X I Na 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1
Każdy członek rodziny (11) zawiera z = 21 i zmienne X I Na , które przyjmują wartości całkowite 21 > x > 0 , 21 > y > 0 . Zmienne sukcesywnie maleją o 1 .
Trójki liczb ciągu (10) i (11) można przedstawić jako ciąg nierówności trzeciego stopnia:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
oraz w postaci nierówności czwartego stopnia:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Poprawność każdej nierówności sprawdza się podnosząc liczby do potęgi trzeciej i czwartej.
Sześcianu o większej liczbie nie można rozłożyć na dwie sześciany o mniejszych liczbach. Jest ona mniejsza lub większa od sumy sześcianów dwóch mniejszych liczb.
Dwukwadratu większej liczby nie można rozłożyć na dwa dwukwadraty mniejszych liczb. Jest ona mniejsza lub większa od sumy dwukwadratów mniejszych liczb.
Wraz ze wzrostem wykładnika wszystkie nierówności, z wyjątkiem lewej skrajnej nierówności, mają to samo znaczenie:
Wszystkie mają to samo znaczenie: moc większej liczby jest większa niż suma potęg dwóch mniejszych liczb o tym samym wykładniku:
| 13 n > 12 n + 12 n ; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n | (12) | |
| 21 n > 20 n + 20 n ; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n | (13) |
Lewy skrajny wyraz ciągu (12) (13) reprezentuje najsłabszą nierówność. Od jego poprawności zależy poprawność wszystkich kolejnych nierówności ciągu (12) dla n > 8 i sekwencja (13) w n > 14 .
Nie może być między nimi równości. Dowolna trójka dodatnich liczb całkowitych (21,19,16) nie jest rozwiązaniem równania (2) ostatniego twierdzenia Fermata. Jeśli dowolna trójka dodatnich liczb całkowitych nie jest rozwiązaniem równania, wówczas równanie nie ma rozwiązań na zbiorze dodatnich liczb całkowitych i właśnie to należało udowodnić.
Z) W komentarzu Fermata do problemu Diofantosa stwierdza się, że rozkładu nie da się „ ogólnie rzecz biorąc, nie ma potęgi większej niż kwadrat, dwie potęgi o tym samym wykładniku».
Pocałunek stopnia większego niż kwadrat tak naprawdę nie można rozłożyć na dwa stopnie o tym samym wykładniku. Żadnych całusów stopień większy od kwadratu można rozłożyć na dwie potęgi o tym samym wykładniku.
Dowolna trójka dodatnich liczb całkowitych (z, x, y) może należeć do rodziny, której każdy członek składa się ze stałej liczby z i dwie liczby mniejsze z . Każdy członek rodziny można przedstawić w postaci nierówności, a wszystkie powstałe nierówności można przedstawić w postaci ciągu nierówności:
| z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n | (14) |
Ciąg nierówności (14) zaczyna się od nierówności, dla których lewa strona jest mniejsza od prawej, a kończy na nierównościach, dla których prawa strona jest mniejsza od lewej. Z rosnącym wykładnikiem n > 2 wzrasta liczba nierówności po prawej stronie ciągu (14). Z wykładnikiem n = k wszystkie nierówności po lewej stronie ciągu zmieniają swoje znaczenie i przyjmują znaczenie nierówności po prawej stronie nierówności ciągu (14). W wyniku zwiększenia wykładnika wszystkich nierówności lewa strona okazuje się większa od prawej:
| z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; z k > 2 k + 1 k ; z k > 1 k + 1 k | (15) |
Z dalszym wzrostem wykładnika n>k żadna z nierówności nie zmienia swojego znaczenia i nie zamienia się w równość. Na tej podstawie można argumentować, że dowolna, dowolnie wybrana trójka dodatnich liczb całkowitych (z, x, y) Na n > 2 , z > x , z > y
W dowolnie wybranej trójce dodatnich liczb całkowitych z może być dowolnie dużą liczbą naturalną. Dla wszystkich liczb naturalnych, które nie są większe niż z , Ostatnie twierdzenie Fermata zostało udowodnione.
D) Nieważne, jak duża jest ta liczba z , w naturalnym ciągu liczb przed nim znajduje się duży, ale skończony zbiór liczb całkowitych, a po nim znajduje się nieskończony zbiór liczb całkowitych.
Udowodnijmy, że cały nieskończony zbiór liczb naturalnych jest duży z , utwórz trójki liczb, które nie są rozwiązaniami równania Ostatniego twierdzenia Fermata, na przykład dowolną trójkę liczb całkowitych dodatnich (z + 1, x, y) , w której z + 1 > x I z + 1 > y dla wszystkich wartości wykładnika n > 2 nie jest rozwiązaniem równania ostatniego twierdzenia Fermata.
Losowo wybrana trójka dodatnich liczb całkowitych (z + 1, x, y) może należeć do rodziny trójek liczb, których każdy element składa się z liczby stałej z+1 i dwie cyfry X I Na , przyjmując różne wartości, mniejsze z+1 . Członkowie rodziny mogą być reprezentowani w postaci nierówności, w których stała lewa strona jest mniejsza lub większa niż prawa strona. Nierówności można uporządkować w postaci ciągu nierówności:
Z dalszym wzrostem wykładnika n>k do nieskończoności, żadna z nierówności ciągu (17) nie zmienia swojego znaczenia i nie zamienia się w równość. W sekwencji (16) nierówność została utworzona z dowolnie wybranej trójki dodatnich liczb całkowitych (z + 1, x, y) , może znajdować się po jego prawej stronie w formularzu (z + 1) n > x n + y n lub znajdować się po jego lewej stronie w formularzu (z+1)n< x n + y n .
W każdym razie potrójna liczba dodatnich liczb całkowitych (z + 1, x, y) Na n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y w sekwencji (16) reprezentuje nierówność i nie może reprezentować równości, to znaczy nie może reprezentować rozwiązania równania ostatniego twierdzenia Fermata.
Łatwo i prosto zrozumieć pochodzenie ciągu nierówności potęgowych (16), w którym ostatnia nierówność po lewej stronie i pierwsza nierówność po prawej stronie są nierównościami o przeciwstawnym znaczeniu. Wręcz przeciwnie, dzieciom w wieku szkolnym, licealistom i uczniom szkół średnich nie jest łatwo i trudno zrozumieć, w jaki sposób ciąg nierówności (16) powstaje z ciągu nierówności (17), w którym wszystkie nierówności mają to samo znaczenie .
W sekwencji (16) zwiększenie całkowitego stopnia nierówności o 1 jednostkę zamienia ostatnią nierówność po lewej stronie w pierwszą nierówność o przeciwnym kierunku po prawej stronie. Zatem liczba nierówności po lewej stronie ciągu maleje, a liczba nierówności po prawej stronie rośnie. Pomiędzy ostatnią i pierwszą nierównością potęgową o przeciwnym znaczeniu koniecznie istnieje równość potęg. Jego stopień nie może być liczbą całkowitą, ponieważ pomiędzy dwiema kolejnymi liczbami naturalnymi znajdują się tylko liczby niecałkowite. Równość potęgowa stopnia niecałkowitego, zgodnie z warunkami twierdzenia, nie może być uważana za rozwiązanie równania (1).
Jeśli w sekwencji (16) będziemy dalej zwiększać stopień o 1 jednostkę, to ostatnia nierówność jego lewej strony zamieni się w pierwszą nierówność o przeciwnym znaczeniu prawej strony. W efekcie nie pozostaną już nierówności lewostronne, pozostaną jedynie nierówności prawostronne, które będą sekwencją narastających nierówności władzy (17). Dalszy wzrost ich potęgi całkowitej o 1 jednostkę jedynie wzmacnia nierówności potęgowe i kategorycznie wyklucza możliwość równości potęg całkowitych.
W konsekwencji w zasadzie żadnej potęgi całkowitej liczby naturalnej (z+1) ciągu nierówności potęgowych (17) nie można rozłożyć na dwie potęgi całkowite o tym samym wykładniku. Dlatego równanie (1) nie ma rozwiązań na nieskończonym zbiorze liczb naturalnych, co należało udowodnić.
W rezultacie ostatnie twierdzenie Fermata zostało udowodnione w całości:
- w sekcji A) dla wszystkich trojaczków (z, x, y) Liczby Pitagorasa (odkrycie Fermata jest naprawdę wspaniałym dowodem),
- w sekcji B) dla wszystkich członków rodziny dowolnej trójki (z, x, y) Liczby Pitagorasa,
- w sekcji C) dla wszystkich trójek liczb (z, x, y) , a nie duże liczby z
- w sekcji D) dla wszystkich trójek liczb (z, x, y) naturalny ciąg liczb.
|
Zmiany wprowadzone 09.05.2010 |
Które twierdzenia można, a których nie można udowodnić przez sprzeczność?
Wyjaśniający słownik terminów matematycznych definiuje dowód przez zaprzeczenie twierdzenia, przeciwieństwo twierdzenia odwrotnego.
„Dowód przez sprzeczność to metoda dowodzenia twierdzenia (twierdzenia), która polega na dowodzeniu nie samego twierdzenia, ale jego równoważnego (równoważnego) twierdzenia. Dowód przez sprzeczność stosuje się zawsze, gdy trudno jest udowodnić twierdzenie bezpośrednie, ale łatwiej jest udowodnić twierdzenie przeciwne. W dowodzie przez sprzeczność wniosek twierdzenia zastępuje się jego negacją i poprzez rozumowanie dochodzi się do negacji warunków, tj. do sprzeczności, do czegoś przeciwnego (przeciwieństwo tego, co jest dane; to sprowadzenie do absurdu dowodzi twierdzenia”.
Dowód przez sprzeczność jest bardzo często stosowany w matematyce. Dowód przez sprzeczność opiera się na prawie wyłączonego środka, które polega na tym, że z dwóch zdań (zdań) A i A (negacja A) jedno z nich jest prawdziwe, a drugie fałszywe./Słownik wyjaśniający terminów matematycznych: podręcznik dla nauczycieli/O. W. Manturow [itp.]; edytowany przez V. A. Ditkina.- M.: Edukacja, 1965.- 539 s.: il.-C.112/.
Nie byłoby lepiej otwarcie stwierdzić, że metoda dowodu przez sprzeczność nie jest metodą matematyczną, chociaż jest stosowana w matematyce, że jest metodą logiczną i należy do logiki. Czy można powiedzieć, że dowód przez sprzeczność „stosuje się zawsze, gdy trudno jest udowodnić twierdzenie bezpośrednie”, podczas gdy w rzeczywistości stosuje się go wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma substytutu?
Na szczególną uwagę zasługuje także charakterystyka relacji twierdzeń bezpośrednich i odwrotnych względem siebie. „Twierdzenie odwrotne dla danego twierdzenia (lub do danego twierdzenia) to twierdzenie, w którym warunek jest wnioskiem, a wniosek jest warunkiem danego twierdzenia. Twierdzenie to w odniesieniu do twierdzenia odwrotnego nazywa się twierdzeniem bezpośrednim (oryginalnym). Jednocześnie twierdzenie odwrotne do twierdzenia odwrotnego będzie danym twierdzeniem; dlatego twierdzenia bezpośrednie i odwrotne nazywane są wzajemnie odwrotnymi. Jeśli twierdzenie bezpośrednie (dane) jest prawdziwe, to twierdzenie odwrotne nie zawsze jest prawdziwe. Na przykład, jeśli czworokąt jest rombem, to jego przekątne są wzajemnie prostopadłe (twierdzenie bezpośrednie). Jeżeli w czworokącie przekątne są wzajemnie prostopadłe, to czworokąt jest rombem – to jest fałszywe, czyli twierdzenie odwrotne jest fałszywe.”/Słownik wyjaśniający terminów matematycznych: podręcznik dla nauczycieli/O. W. Manturow [itp.]; edytowany przez V. A. Ditkina.- M.: Edukacja, 1965.- 539 s.: il.-C.261/.
Ta charakterystyka relacji między twierdzeniami bezpośrednimi i odwrotnymi nie uwzględnia faktu, że warunek twierdzenia bezpośredniego przyjmuje się jako dany, bez dowodu, więc nie gwarantuje się jego poprawności. Warunek twierdzenia odwrotnego nie jest akceptowany jako dany, ponieważ jest wnioskiem udowodnionego twierdzenia bezpośredniego. Jego poprawność potwierdza dowód twierdzenia bezpośredniego. Ta istotna logiczna różnica w warunkach twierdzeń bezpośrednich i odwrotnych okazuje się decydująca w kwestii tego, które twierdzenia można, a których nie można dowieść metodą logiczną przez sprzeczność.
Załóżmy, że mamy na myśli twierdzenie bezpośrednie, które można udowodnić zwykłą metodą matematyczną, ale jest to trudne. Sformułujmy to ogólnie i krótko w następujący sposób: z A powinien mi . Symbol A ma znaczenie danego warunku twierdzenia, przyjętego bez dowodu. Symbol mi liczy się wniosek twierdzenia, który należy udowodnić.
Twierdzenie bezpośrednie udowodnimy przez sprzeczność, logiczny metoda. Metoda logiczna służy do udowodnienia twierdzenia, które ma nie matematyczny stan i logiczny stan : schorzenie. Można to uzyskać, jeśli spełniony jest warunek matematyczny twierdzenia z A powinien mi , uzupełnij dokładnie odwrotnym warunkiem z A nie rób tego mi .
Rezultatem był logicznie sprzeczny warunek nowego twierdzenia, składający się z dwóch części: z A powinien mi I z A nie rób tego mi . Wynikowy warunek nowego twierdzenia odpowiada logicznemu prawu wyłączonego środka i odpowiada dowodowi twierdzenia przez sprzeczność.
Zgodnie z prawem jedna część warunku sprzecznego jest fałszywa, druga część jest prawdziwa, a trzecia jest wykluczona. Dowód przez sprzeczność ma za zadanie i cel dokładne ustalenie, która część z dwóch części warunku twierdzenia jest fałszywa. Po ustaleniu fałszywej części warunku druga część zostaje uznana za prawdziwą, a trzecia zostaje wykluczona.
Według słownika objaśniającego terminów matematycznych: „dowód to rozumowanie, podczas którego ustala się prawdziwość lub fałszywość dowolnego twierdzenia (wyroku, twierdzenia, twierdzenia)”. Dowód przez sprzeczność istnieje uzasadnienie, w trakcie którego zostaje ono ustalone fałsz(absurdalność) wniosku wynikającego z FAŁSZ warunki twierdzenia, które należy udowodnić.
Dany: z A powinien mi i od A nie rób tego mi .
Udowodnić: z A powinien mi .
Dowód: Warunek logiczny twierdzenia zawiera sprzeczność wymagającą jego rozwiązania. Sprzeczność warunku musi znaleźć rozwiązanie w dowodzie i jego wyniku. Wynik okazuje się fałszywy przy doskonałym i wolnym od błędów rozumowaniu. Przyczyną fałszywego wniosku w logicznie poprawnym rozumowaniu może być jedynie sprzeczny warunek: z A powinien mi I z A nie rób tego mi .
Nie ma cienia wątpliwości, że jedna część warunku jest fałszywa, a druga w tym przypadku prawdziwa. Obie części warunku mają to samo pochodzenie, są przyjęte jako dane, zakładane, równie możliwe, równie dopuszczalne itp. W toku logicznego rozumowania nie odkryto ani jednej cechy logicznej, która odróżniałaby jedną część warunku od drugiej . Dlatego w takim samym stopniu może być z A powinien mi I może z A nie rób tego mi . Oświadczenie z A powinien mi Może FAŁSZ, następnie oświadczenie z A nie rób tego mi będzie prawdą. Oświadczenie z A nie rób tego mi może być fałszywe, wówczas stwierdzenie z A powinien mi będzie prawdą.
W związku z tym niemożliwe jest udowodnienie twierdzenia bezpośredniego przez sprzeczność.
Teraz udowodnimy to samo twierdzenie bezpośrednie, stosując zwykłą metodę matematyczną.
Dany: A .
Udowodnić: z A powinien mi .
Dowód.
1. Z A powinien B
2. Z B powinien W (zgodnie z wcześniej udowodnionym twierdzeniem)).
3. Z W powinien G (zgodnie z wcześniej udowodnionym twierdzeniem).
4. Z G powinien D (zgodnie z wcześniej udowodnionym twierdzeniem).
5. Z D powinien mi (zgodnie z wcześniej udowodnionym twierdzeniem).
Opierając się na prawie przechodniości, z A powinien mi . Twierdzenie bezpośrednie dowodzi się zwykłą metodą.
Niech udowodnione twierdzenie bezpośrednie będzie miało poprawne twierdzenie odwrotne: z mi powinien A .
Udowodnijmy to w zwykły sposób matematyczny metoda. Dowód twierdzenia odwrotnego można wyrazić w formie symbolicznej jako algorytm działań matematycznych.
Dany: mi
Udowodnić: z mi powinien A .
Dowód.
1. Z mi powinien D
2. Z D powinien G (zgodnie z wcześniej udowodnionym twierdzeniem odwrotnym).
3. Z G powinien W (zgodnie z wcześniej udowodnionym twierdzeniem odwrotnym).
4. Z W nie rób tego B (twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe). Dlatego z B nie rób tego A .
W tej sytuacji nie ma sensu kontynuować matematycznego dowodu twierdzenia odwrotnego. Powód tej sytuacji jest logiczny. Nieprawidłowego twierdzenia odwrotnego nie da się niczym zastąpić. Dlatego niemożliwe jest udowodnienie tego odwrotnego twierdzenia przy użyciu zwykłej metody matematycznej. Cała nadzieja w udowodnieniu tego odwrotnego twierdzenia przez sprzeczność.
Aby to udowodnić przez sprzeczność, należy zastąpić jego warunek matematyczny logicznym warunkiem sprzecznym, który w swoim znaczeniu zawiera dwie części - fałszywą i prawdziwą.
Twierdzenie odwrotne stwierdza: z mi nie rób tego A . Jej stan mi , z czego wynika wniosek A , jest wynikiem udowodnienia twierdzenia bezpośredniego przy użyciu zwykłej metody matematycznej. Warunek ten należy zachować i uzupełnić oświadczeniem z mi powinien A . W wyniku dodania otrzymujemy warunek sprzeczny nowego twierdzenia odwrotnego: z mi powinien A I z mi nie rób tego A . Oparte na tym logicznie warunek sprzeczny, twierdzenie odwrotne można udowodnić za pomocą poprawnego logiczny rozumowanie tylko i wyłącznie, logiczny metoda przez sprzeczność. W dowodzie sprzecznym wszelkie działania i operacje matematyczne są podporządkowane logikom i dlatego się nie liczą.
W pierwszej części sprzecznego stwierdzenia z mi powinien A stan mi zostało udowodnione dowodem twierdzenia bezpośredniego. W drugiej części z mi nie rób tego A stan mi zostało przyjęte i przyjęte bez dowodu. Jedno z nich jest fałszywe, a drugie prawdziwe. Musisz udowodnić, które z nich jest fałszywe.
Udowodnimy to poprzez poprawne logiczny rozumowanie i odkryć, że jego wynikiem jest fałszywy, absurdalny wniosek. Powodem fałszywego wniosku logicznego jest sprzeczny warunek logiczny twierdzenia, które zawiera dwie części - fałszywą i prawdziwą. Część fałszywa może być jedynie stwierdzeniem z mi nie rób tego A , w którym mi został przyjęty bez dowodu. To właśnie sprawia, że różni się od mi sprawozdania z mi powinien A , czego dowodzi dowód twierdzenia bezpośredniego.
Zatem stwierdzenie jest prawdziwe: z mi powinien A , co należało udowodnić.
Wniosek: metodą logiczną tylko twierdzenie odwrotne udowadnia się przez sprzeczność, która ma bezpośrednie twierdzenie udowodnione metodą matematyczną, a którego nie można udowodnić metodą matematyczną.
Uzyskany wniosek nabiera wyjątkowego znaczenia w odniesieniu do metody dowodu poprzez zaprzeczenie wielkiego twierdzenia Fermata. Zdecydowana większość prób udowodnienia tego nie opiera się na zwykłej metodzie matematycznej, ale na logicznej metodzie dowodu przez sprzeczność. Dowód Wilesa na Ostatnie Twierdzenie Fermata nie jest wyjątkiem.
Dmitry Abrarov w artykule „Twierdzenie Fermata: zjawisko dowodów Wilesa” opublikował komentarz na temat dowodu Wilesa na Ostatnie twierdzenie Fermata. Według Abrarova Wiles udowadnia ostatnie twierdzenie Fermata za pomocą niezwykłego odkrycia niemieckiego matematyka Gerharda Freya (ur. 1944), który opisał potencjalne rozwiązanie równania Fermata x n + y n = z n
, Gdzie n > 2
, z innym, zupełnie innym równaniem. To nowe równanie jest określone przez specjalną krzywą (zwaną krzywą eliptyczną Freya). Krzywą Freya oblicza się za pomocą bardzo prostego równania:
.
„To Frey porównywał każdą decyzję (a, b, c) Równanie Fermata, czyli liczby spełniające relację za n + b n = do n, powyższa krzywa. W tym przypadku miałoby zastosowanie ostatnie twierdzenie Fermata.”(Cytat z: Abrarov D. „Twierdzenie Fermata: zjawisko dowodów Wilesa”)
Innymi słowy, Gerhard Frey zasugerował, że równanie Ostatniego Twierdzenia Fermata x n + y n = z n
, Gdzie n > 2
, ma rozwiązania w dodatnich liczbach całkowitych. Te same rozwiązania są, zgodnie z założeniem Freya, rozwiązaniami jego równania
y 2 + x (x - za n) (y + b n) = 0
, co wynika z jego krzywej eliptycznej.
Andrew Wiles zaakceptował to niezwykłe odkrycie Freya i przy jego pomocy matematyczny Metoda udowodniła, że to znalezisko, czyli krzywa eliptyczna Freya, nie istnieje. Zatem nie ma równania i jego rozwiązań danych przez nieistniejącą krzywą eliptyczną, dlatego Wiles powinien był przyjąć wniosek, że nie ma równania ostatniego twierdzenia Fermata i samego twierdzenia Fermata. Akceptuje jednak skromniejszy wniosek, że równanie Ostatniego Twierdzenia Fermata nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.
Niezaprzeczalnym faktem może być to, że Wiles przyjął założenie, które ma dokładnie odwrotne znaczenie do tego, co stwierdza wielkie twierdzenie Fermata. Zobowiązuje Wilesa do udowodnienia ostatniego twierdzenia Fermata przez sprzeczność. Podążajmy za jego przykładem i zobaczmy, co wyniknie z tego przykładu.
Ostatnie twierdzenie Fermata stwierdza, że równanie x n + y n = z n , Gdzie n > 2 , nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.
Zgodnie z logiczną metodą dowodu przez zaprzeczenie, stwierdzenie to zostaje zachowane, przyjęte jako dane bez dowodu, a następnie uzupełnione stwierdzeniem przeciwnym: równanie x n + y n = z n , Gdzie n > 2 , ma rozwiązania w dodatnich liczbach całkowitych.
Domniemane oświadczenie również przyjmuje się jako dane, bez dowodu. Obydwa twierdzenia, rozpatrywane z punktu widzenia podstawowych praw logiki, są jednakowo ważne, równie ważne i równie możliwe. Poprzez prawidłowe rozumowanie konieczne jest ustalenie, które z nich jest fałszywe, aby następnie stwierdzić, że drugie stwierdzenie jest prawdziwe.
Prawidłowe rozumowanie kończy się fałszywym, absurdalnym wnioskiem, którego logicznym powodem może być jedynie sprzeczny warunek udowadnianego twierdzenia, które zawiera dwie części o bezpośrednio przeciwstawnym znaczeniu. Stanowiły logiczną przyczynę absurdalnego wniosku, wynik dowodu przez sprzeczność.
Jednak w trakcie logicznie poprawnego rozumowania nie odkryto ani jednego znaku, na podstawie którego można by ustalić, które konkretne stwierdzenie jest fałszywe. Może to być stwierdzenie: równanie x n + y n = z n , Gdzie n > 2 , ma rozwiązania w dodatnich liczbach całkowitych. Na tej samej podstawie mogłoby to być następujące stwierdzenie: równanie x n + y n = z n , Gdzie n > 2 , nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.
W wyniku rozważań nasuwa się tylko jeden wniosek: Ostatniego twierdzenia Fermata nie można udowodnić przez zaprzeczenie.
Sprawa byłaby zupełnie inna, gdyby ostatnie twierdzenie Fermata było twierdzeniem odwrotnym, którego twierdzenie bezpośrednie można udowodnić zwykłą metodą matematyczną. W tym przypadku można to udowodnić przez zaprzeczenie. A ponieważ jest to twierdzenie bezpośrednie, jego dowód powinien opierać się nie na logicznej metodzie dowodu przez sprzeczność, ale na zwykłej metodzie matematycznej.
Według D. Abrarowa najsłynniejszy ze współczesnych matematyków rosyjskich, akademik V. I. Arnold, zareagował „aktywnie sceptycznie” na dowód Wilesa. Akademik stwierdził: „To nie jest prawdziwa matematyka – prawdziwa matematyka jest geometryczna i ma silne powiązania z fizyką.” (Cytat za: Abrarov D. „Twierdzenie Fermata: zjawisko dowodów Wilesa”. Wypowiedź akademika oddaje samą istotę Niematematyczny dowód Wilesa na ostatnie twierdzenie Fermata.
Przez sprzeczność nie można udowodnić, że równanie Ostatniego Twierdzenia Fermata nie ma rozwiązań, ani że ma rozwiązania. Błąd Wilesa nie jest matematyczny, ale logiczny - użycie dowodu przez sprzeczność tam, gdzie jego użycie nie ma sensu, a wielkie twierdzenie Fermata nie dowodzi.
Ostatniego twierdzenia Fermata nie można udowodnić nawet zwykłą metodą matematyczną, jeśli daje ono: równanie x n + y n = z n , Gdzie n > 2 , nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich, a jeśli chcesz w tym udowodnić: równanie x n + y n = z n , Gdzie n > 2 , nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich. W tej formie nie ma twierdzenia, lecz pozbawiona znaczenia tautologia.
Notatka. Mój dowód BTF był omawiany na jednym z forów. Jeden z uczestników Trotila, ekspert w dziedzinie teorii liczb, wygłosił następujące autorytatywne oświadczenie zatytułowane: „Krótka opowieść o tym, co zrobił Mirgorodski”. Cytuję dosłownie:
« A. Udowodnił, że jeśli z 2 = x 2 + y , To z n > x n + y n . Jest to fakt powszechnie znany i dość oczywisty.
W. Wziął dwie trójki – pitagorejską i niepitagorejską i poprzez proste poszukiwania pokazał, że dla konkretnej, konkretnej rodziny trójek (78 i 210 sztuk) BTF jest spełniony (i tylko dla niej).
Z. A potem autor pominął fakt, że z < w późniejszym czasie może się okazać, że tak = , nie tylko > . Prosty kontrprzykład – przejście n=1 V n=2 w trójkącie pitagorejskim.
D. Ten punkt nie wnosi niczego istotnego do dowodu BTF. Wniosek: BTF nie został udowodniony.”
Przeanalizuję jego wnioski punkt po punkcie.
A. Dowodzi to BTF dla całego nieskończonego zbioru trójek liczb pitagorejskich. Udowodniono metodą geometryczną, która, jak sądzę, nie została przeze mnie odkryta, ale odkryta na nowo. I odkrył to, jak sądzę, sam P. Fermat. Być może Fermat miał to na myśli, pisząc:
„Odkryłem na to naprawdę wspaniały dowód, ale te pola są na to za wąskie”. Moje założenie opiera się na fakcie, że w zagadnieniu diofantyny, o którym Fermat pisał na marginesie książki, mówimy o rozwiązaniach równania diofantyny, które są trójkami liczb pitagorejskich.
Nieskończony zbiór trójek liczb Pitagorasa jest rozwiązaniem równania Diofateusza, a w twierdzeniu Fermata, wręcz przeciwnie, żadne z rozwiązań nie może być rozwiązaniem równania twierdzenia Fermata. I naprawdę wspaniały dowód Fermata jest bezpośrednio powiązany z tym faktem. Fermat mógł później rozszerzyć swoje twierdzenie na zbiór wszystkich liczb naturalnych. Na zbiorze wszystkich liczb naturalnych BTF nie należy do „zbioru wyjątkowo pięknych twierdzeń”. To jest moje założenie, którego nie da się ani udowodnić, ani obalić. Można to zaakceptować lub odrzucić.
W. W tym miejscu udowadniam, że spełniona jest zarówno rodzina arbitralnie wziętej trójki pitagorejskiej liczb BTF, jak i rodzina arbitralnie wziętej niepitagorejskiej trójki liczb BTF.Jest to ogniwo konieczne, lecz niewystarczające i pośrednie w moim dowodzie BTF . Podane przeze mnie przykłady rodziny trójek liczb pitagorejskich i rodziny trójek liczb niepitagorejskich mają znaczenie konkretnych przykładów, które zakładają i nie wykluczają istnienia podobnych innych przykładów.
Twierdzenie Trotila, że „poprzez proste poszukiwania wykazałem, że dla konkretnej, konkretnej rodziny trojaczków (78 i 210 sztuk) BTF jest spełnione (i tylko dla niej) jest bezpodstawne. Nie może zaprzeczyć faktowi, że równie łatwo mogę wziąć inne przykłady trójek pitagorejskich i niepitagorejskich, aby otrzymać konkretną określoną rodzinę jednej i drugiej trójki.
Jakąkolwiek parę trójek wybiorę, sprawdzenie ich przydatności do rozwiązania problemu można, moim zdaniem, przeprowadzić jedynie metodą „prostego wyliczenia”. Nie znam innej metody i jest mi ona niepotrzebna. Jeśli Trotilowi się to nie podobało, powinien był zaproponować inną metodę, czego nie robi. Nie oferując nic w zamian, niewłaściwe jest potępianie „zwykłej przesady”, która w tym przypadku jest niezastąpiona.
Z. Pominąłem = pomiędzy< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), w którym stopień n > 2 — cały Liczba dodatnia. Z równości nierówności wynika obowiązkowy uwzględnienie równania (1) dla niecałkowitej wartości stopnia n > 2 . Trotyl, liczenie obowiązkowy rozważanie równości pomiędzy nierównościami faktycznie bierze pod uwagę niezbędny w dowodzie BTF rozważenie równania (1) z nie cały wartość stopnia n > 2 . Zrobiłem to dla siebie i znalazłem to równanie (1) z nie cały wartość stopnia n > 2 ma rozwiązanie trzech liczb: z, (z-1), (z-1) dla wykładnika niecałkowitego.
Dla liczb całkowitych n większych niż 2 równanie x n + y n = z n nie ma niezerowych rozwiązań w liczbach naturalnych.
Pewnie pamiętasz z czasów szkolnych twierdzenie Pitagorasa: Kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów nóg. Być może pamiętasz także klasyczny trójkąt prostokątny o bokach, których długości są w stosunku 3:4:5. Dla niego twierdzenie Pitagorasa wygląda następująco:
To jest przykład rozwiązania uogólnionego równania Pitagorasa w niezerowych liczbach całkowitych za pomocą N= 2. Ostatnie twierdzenie Fermata (zwane także „ostatnim twierdzeniem Fermata” i „ostatnim twierdzeniem Fermata”) to stwierdzenie, że dla wartości N> 2 równania postaci x rz + y n = z n nie mają niezerowych rozwiązań w liczbach naturalnych.
Historia Ostatniego Twierdzenia Fermata jest bardzo interesująca i pouczająca nie tylko dla matematyków. Pierre de Fermat przyczynił się do rozwoju różnych dziedzin matematyki, jednak zasadnicza część jego dorobku naukowego została opublikowana dopiero pośmiertnie. Faktem jest, że matematyka była dla Fermata czymś w rodzaju hobby, a nie zajęcia zawodowego. Korespondował z czołowymi matematykami swoich czasów, nie zabiegał jednak o publikację swoich prac. Dorobek naukowy Fermata odnajdujemy głównie w formie prywatnej korespondencji i fragmentarycznych notatek, często zapisywanych na marginesach różnych książek. Znajduje się na marginesie (drugiego tomu starożytnej greckiej „Arytmetyki” Diofantosa. - Notatka tłumacz) wkrótce po śmierci matematyka potomkowie odkryli sformułowanie słynnego twierdzenia i dopisek:
« Znalazłem na to naprawdę wspaniały dowód, ale te pola są na to za wąskie».
Niestety, najwyraźniej Fermat nigdy nie zadał sobie trudu, aby spisać „cudowny dowód”, który znalazł, a potomkowie bezskutecznie szukali go przez ponad trzy stulecia. Spośród całego rozproszonego dziedzictwa naukowego Fermata, które zawiera wiele zaskakujących stwierdzeń, to właśnie Wielkie Twierdzenie uparcie nie chciało zostać rozwiązane.
Ktokolwiek próbował udowodnić Ostatnie Twierdzenie Fermata, jest na próżno! Inny wielki matematyk francuski, René Descartes (1596–1650), nazwał Fermata „chełpcą”, a matematyk angielski John Wallis (1616–1703) nazwał go „cholernym Francuzem”. Jednak sam Fermat pozostawił po sobie dowód swojego twierdzenia dla tej sprawy N= 4. Z dowodem na N= 3 został rozwiązany przez wielkiego szwajcarsko-rosyjskiego matematyka XVIII w. Leonharda Eulera (1707–83), po czym nie mogąc znaleźć na to dowodów N> 4, żartobliwie zasugerował przeszukanie domu Fermata w celu znalezienia klucza do zaginionego dowodu. W XIX wieku nowe metody teorii liczb umożliwiły udowodnienie twierdzenia dla wielu liczb całkowitych w zakresie 200, ale znowu nie dla wszystkich.
Za rozwiązanie tego problemu w 1908 r. ustanowiono nagrodę w wysokości 100 000 marek niemieckich. Fundusz nagród przekazał w spadku niemiecki przemysłowiec Paul Wolfskehl, który według legendy miał popełnić samobójstwo, ale Ostatnie Twierdzenie Fermata tak go poruszyło, że zmienił zdanie na temat umierania. Wraz z pojawieniem się maszyn dodających, a następnie komputerów, pasek wartości N zaczęła rosnąć coraz wyżej – do 617 na początku II wojny światowej, do 4001 w 1954 r., do 125 000 w 1976 r. Pod koniec XX wieku najpotężniejsze komputery w laboratoriach wojskowych w Los Alamos (Nowy Meksyk, USA) zaprogramowano tak, aby rozwiązywały problem Fermata w tle (podobnie jak tryb wygaszacza ekranu komputera osobistego). Udało się zatem wykazać, że twierdzenie jest prawdziwe dla niewiarygodnie dużych wartości x, y, z I N, ale nie może to służyć jako ścisły dowód, ponieważ dowolna z poniższych wartości N lub trojaczki liczb naturalnych mogą obalić twierdzenie jako całość.
Wreszcie w 1994 roku pracujący w Princeton angielski matematyk Andrew John Wiles (ur. 1953) opublikował dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata, który po pewnych modyfikacjach uznano za wyczerpujący. Dowód zajął ponad sto stron czasopism i opierał się na zastosowaniu nowoczesnego aparatu wyższej matematyki, który nie był rozwinięty w epoce Fermata. Co więc Fermat miał na myśli, zostawiając wiadomość na marginesie książki, że znalazł dowód? Większość matematyków, z którymi rozmawiałem na ten temat, zwracała uwagę, że na przestrzeni wieków było aż nadto błędnych dowodów Ostatniego Twierdzenia Fermata i że najprawdopodobniej sam Fermat znalazł podobny dowód, ale nie rozpoznał błędu w tym. Możliwe jest jednak, że istnieje jeszcze jakiś krótki i elegancki dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata, którego nikt jeszcze nie znalazł. Tylko jedno można powiedzieć z całą pewnością: dziś wiemy na pewno, że twierdzenie jest prawdziwe. Myślę, że większość matematyków zgodziłaby się bez zastrzeżeń z Andrew Wilesem, który tak skomentował swój dowód: „Teraz w końcu mój umysł jest spokojny”.
Wiele lat temu otrzymałem z Taszkentu list od Walerija Muratowa, sądząc po pismie, mężczyzny w okresie dojrzewania, który wówczas mieszkał na ulicy Kommunistycznej pod numerem 31. Facet był zdeterminowany: „Przejdź od razu do rzeczy. Ile zapłacisz? mnie za udowodnienie twierdzenia Fermata? „Zadowolę się przynajmniej 500 rublami. Innym razem udowodniłbym ci to za darmo, ale teraz potrzebuję pieniędzy…”
Niesamowity paradoks: niewiele osób wie, kim jest Fermat, kiedy żył i czym się zajmował. Jeszcze mniej osób potrafi opisać jego wielkie twierdzenie nawet w najbardziej ogólny sposób. Ale wszyscy wiedzą, że istnieje jakieś twierdzenie Fermata, którego dowód matematycy na całym świecie walczą od ponad 300 lat, ale nie mogą udowodnić!
Ambitnych ludzi jest wielu, a sama świadomość, że jest coś, czego inni nie mogą zrobić, jeszcze bardziej pobudza ich ambicję. Dlatego tysiące (!) dowodów Wielkiego Twierdzenia przybyło i wciąż przybywa do akademii, instytutów naukowych, a nawet redakcji gazet na całym świecie – bezprecedensowy i nigdy nie pobity zapis pseudonaukowej działalności amatorskiej. Istnieje nawet określenie: „Fermatyści”, czyli ludzie mający obsesję na punkcie udowodnienia Wielkiego Twierdzenia, którzy całkowicie dręczyli zawodowych matematyków żądaniami oceny ich pracy. Słynny niemiecki matematyk Edmund Landau przygotował nawet standard, zgodnie z którym odpowiedział: „W Twoim dowodzie twierdzenia Fermata na stronie jest błąd…”, a jego doktoranci zapisali numer strony. A potem, latem 1994 roku, gazety na całym świecie doniosły o czymś zupełnie sensacyjnym: Wielkie Twierdzenie zostało udowodnione!
Kim więc jest Fermat, na czym polega problem i czy rzeczywiście został rozwiązany? Pierre Fermat urodził się w 1601 roku w rodzinie garbarza, człowieka zamożnego i szanowanego – pełnił funkcję drugiego konsula w swoim rodzinnym mieście Beaumont – coś w rodzaju asystenta burmistrza. Pierre studiował najpierw u franciszkanów, następnie na Wydziale Prawa w Tuluzie, gdzie następnie praktykował prawo. Jednak zakres zainteresowań Fermata wykraczał daleko poza orzecznictwo. Szczególnie interesował się filologią klasyczną, znane są jego komentarze do tekstów autorów starożytnych. A moją drugą pasją jest matematyka.
W XVII wieku, podobnie jak przez wiele lat później, nie było takiego zawodu: matematyka. Dlatego wszyscy wielcy matematycy tamtych czasów byli matematykami „na pół etatu”: Rene Descartes służył w wojsku, François Viète był prawnikiem, Francesco Cavalieri był mnichem. Nie było wówczas czasopism naukowych, a klasyk Pierre Fermat nie opublikował za życia ani jednej pracy naukowej. Istniał dość wąski krąg „amatorów”, którzy rozwiązywali różne interesujące ich problemy i pisali do siebie listy na ten temat, czasem się kłócili (jak Fermat i Kartezjusz), ale przeważnie pozostawali podobnie myślący. Stali się założycielami nowej matematyki, siewcami genialnych nasion, z których zaczęło wyrastać, zyskiwać na sile i rozgałęziać się potężne drzewo współczesnej wiedzy matematycznej.
Fermat był więc tym samym „amatorem”. W Tuluzie, gdzie mieszkał przez 34 lata, wszyscy znali go przede wszystkim jako doradcę izby śledczej i doświadczonego prawnika. W wieku 30 lat ożenił się, miał trzech synów i dwie córki, czasami wyjeżdżał w podróże służbowe, a podczas jednej z nich zmarł nagle w wieku 63 lat. Wszystko! Życie tego człowieka, współczesnego Trzem muszkieterom, jest zaskakująco spokojne i pozbawione przygód. Przygody przyszły wraz z jego Wielkim Twierdzeniem. Nie mówmy o całym matematycznym dziedzictwie Fermata, bo trudno o tym mówić popularnie. Wierzcie mi na słowo: to dziedzictwo jest wspaniałe i różnorodne. Twierdzenie, że Wielkie Twierdzenie jest szczytem jego twórczości, jest wysoce kontrowersyjne. Tyle, że losy Wielkiego Twierdzenia są zaskakująco ciekawe, a rozległy świat ludzi niewtajemniczonych w tajemnice matematyki zawsze interesował się nie samym twierdzeniem, ale wszystkim, co go otacza...
Korzeń tej całej historii należy szukać w starożytności, tak ukochanej przez Fermata. Około III wieku w Aleksandrii mieszkał grecki matematyk Diofantos, oryginalny naukowiec, który myślał nieszablonowo i wyrażał swoje myśli nieszablonowo. Z 13 tomów jego Arytmetyki dotarło do nas jedynie 6. Właśnie gdy Fermat skończył 20 lat, ukazało się nowe tłumaczenie jego dzieł. Fermat był bardzo zainteresowany Diofantem i prace te były jego podręcznikiem. Na jej marginesach Fermat zapisał swoje Wielkie Twierdzenie, które w najprostszej współczesnej formie wygląda następująco: równanie Xn + Yn = Zn nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dla n - większych niż 2. (Dla n = 2 rozwiązanie jest oczywiste : 32 + 42 = 52). Tam na marginesie tomu Diofantyńskiego Fermat dodaje: „Odkryłem ten naprawdę wspaniały dowód, ale te marginesy są dla niego za wąskie”.
Na pierwszy rzut oka jest to prosta rzecz, ale kiedy inni matematycy zaczęli udowadniać to „proste” twierdzenie, przez sto lat nikomu się to nie udało. Wreszcie wielki Leonhard Euler udowodnił to dla n = 4, a 20 (!) lat później – dla n = 3. I znowu prace utknęły w martwym punkcie na wiele lat. Kolejne zwycięstwo należało do Niemca Petera Dirichleta (1805-1859) i Francuza Andriena Legendre (1752-1833) - przyznali, że Fermat miał rację dla n = 5. Następnie to samo zrobił Francuz Gabriel Lamé (1795-1870) n = 7. Wreszcie w połowie ubiegłego wieku Niemiec Ernst Kummer (1810-1893) udowodnił Wielkie Twierdzenie dla wszystkich wartości n mniejszych lub równych 100. Co więcej, udowodnił to za pomocą metod, które Fermat nie mógł wiedzieć, co jeszcze bardziej zwiększyło atmosferę tajemniczości wokół Wielkiego Twierdzenia.
Okazało się zatem, że udowodnili twierdzenie Fermata „kawałek po kawałku”, ale nikomu się to nie udało „w całości”. Nowe próby dowodów doprowadziły jedynie do ilościowego wzrostu wartości n. Wszyscy rozumieli, że przy dużym nakładzie pracy można udowodnić Wielkie Twierdzenie dla dowolnie dużej liczby n, ale Fermat mówił o dowolnej wartości większy niż 2! W tej różnicy między „tyle, ile chcesz” a „dowolnym” skupiał się cały sens problemu.
Należy jednak zaznaczyć, że próby udowodnienia twierdzenia Fermga nie były jedynie jakąś grą matematyczną, rozwiązującą złożony rebus. W procesie tych dowodów otwierały się nowe horyzonty matematyczne, pojawiały się i rozwiązywane problemy, stając się nowymi gałęziami drzewa matematycznego. Wielki niemiecki matematyk David Hilbert (1862–1943) przytoczył Wielkie Twierdzenie jako przykład „stymulującego wpływu, jaki szczególny i pozornie nieistotny problem może mieć na naukę”. Ten sam Kummer, pracując nad twierdzeniem Fermata, sam udowodnił twierdzenia, które stanowiły podstawę teorii liczb, algebry i teorii funkcji. Zatem udowodnienie Wielkiego Twierdzenia nie jest sportem, ale prawdziwą nauką.
Czas mijał, a z pomocą fachowym „fsrmatntsts” przyszła elektronika. Elektroniczne mózgi nie potrafiły wymyślić nowych metod, ale zrobiły to szybko. Na początku lat 80-tych twierdzenie Fermata zostało udowodnione za pomocą komputera dla n mniejszego lub równego 5500. Stopniowo liczba ta wzrosła do 100 000, ale wszyscy zrozumieli, że taka „akumulacja” to kwestia czystej technologii, która nic nie daje do umysłu lub serca. Nie mogli zmierzyć się z fortecą Wielkiego Twierdzenia i zaczęli szukać sposobów obejścia tej sytuacji.
W połowie lat 80. młody niematematyk G. Filytings udowodnił tzw. „hipotezę Mordella”, która, nawiasem mówiąc, również „przez 61 lat nie wpadła w ręce” żadnego matematyka. Pojawiła się nadzieja, że teraz, że tak powiem, „atakując z flanki”, uda się rozwiązać twierdzenie Fermata. Jednak nic się wtedy nie wydarzyło. W 1986 roku niemiecki matematyk Gerhard Frey zaproponował w Essence nową metodę dowodu. Nie podejmuję się tego wyjaśniać ściśle, ale nie w języku matematycznym, ale w uniwersalnym języku ludzkim, brzmi to mniej więcej tak: jeśli jesteśmy przekonani, że dowód jakiegoś innego twierdzenia jest pośrednim, w jakiś sposób przekształconym dowodem Twierdzenie Fermata zatem udowodnimy Wielkie Twierdzenie. Rok później Amerykanin Kenneth Ribet z Berkeley pokazał, że Frey miał rację i rzeczywiście jeden dowód można sprowadzić do drugiego. Tą drogą poszło wielu matematyków w różnych krajach świata. Wiktor Aleksandrowicz Kolyvanov zrobił wiele, aby udowodnić Wielkie Twierdzenie. Trzystuletnie mury nie do zdobycia twierdzy zaczęły się trząść. Matematycy zdali sobie sprawę, że to nie potrwa długo.
Latem 1993 roku w starożytnym Cambridge, w Instytucie Nauk Matematycznych Isaaca Newtona, 75 najwybitniejszych matematyków świata zebrało się, aby omówić swoje problemy. Wśród nich był amerykański profesor Andrew Wiles z Uniwersytetu Princeton, główny specjalista w dziedzinie teorii liczb. Wszyscy wiedzieli, że przez wiele lat badał Wielkie Twierdzenie. Wiles złożył trzy raporty i na ostatnim - 23 czerwca 1993 - na samym końcu, odwracając się od tablicy, powiedział z uśmiechem:
- Chyba nie będę kontynuować...
Najpierw zapadła martwa cisza, potem rozległy się brawa. Ci, którzy siedzieli na sali, byli na tyle wykwalifikowani, aby zrozumieć: ostatnie twierdzenie Fermata zostało udowodnione! W każdym razie nikt z obecnych nie stwierdził błędów w przedstawionych dowodach. Zastępca dyrektora Instytutu Newtona Peter Goddard powiedział reporterom:
„Większość ekspertów nie sądziła, że pozna odpowiedź do końca życia”. Jest to jedno z największych osiągnięć matematyki naszego stulecia...
Minęło kilka miesięcy, a nie zgłoszono żadnych komentarzy ani zaprzeczeń. To prawda, że Wiles nie opublikował swojego dowodu, a jedynie rozesłał tak zwane wydruki swojej pracy do bardzo wąskiego kręgu swoich kolegów, co oczywiście uniemożliwia matematykom komentowanie tej naukowej sensacji i rozumiem akademika Ludwiga Dmitriewicza Faddeeva, kto powiedział:
„Mogę powiedzieć, że przeżyłem sensację, gdy zobaczyłem dowód na własne oczy”.
Faddeev uważa, że prawdopodobieństwo wygranej Wilesa jest bardzo duże.
„Mój ojciec, znany specjalista w dziedzinie teorii liczb, był na przykład przekonany, że twierdzenie zostanie udowodnione, ale nie w sposób elementarny” – dodał.
Nasz drugi akademik, Wiktor Pawłowicz Masłow, był sceptyczny wobec tych wiadomości i uważa, że dowód Wielkiego Twierdzenia wcale nie jest palącym problemem matematycznym. Pod względem zainteresowań naukowych Masłow, przewodniczący Rady Matematyki Stosowanej, jest daleki od „fermatystów” i kiedy mówi, że pełne rozwiązanie Wielkiego Twierdzenia ma jedynie znaczenie sportowe, można go zrozumieć. Odważę się jednak zauważyć, że pojęcie istotności w każdej nauce jest wielkością zmienną. 90 lat temu Rutherfordowi prawdopodobnie powiedziano także: „No cóż, OK, cóż, teoria rozpadu radioaktywnego… No i co z tego? Jaki z tego pożytek?…”
Praca nad dowodem Wielkiego Twierdzenia dała już matematyce wiele i możemy mieć nadzieję, że da jeszcze więcej.
„To, co zrobił Wiles, umożliwi matematykom zajęcie się innymi dziedzinami” – powiedział Peter Goddard. — Raczej nie zamyka jednego z kierunków myślenia, ale stawia nowe pytania, które będą wymagały odpowiedzi…
Profesor Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego Michaił Iljicz Zelikin tak wyjaśnił mi obecną sytuację:
Nikt nie widzi błędów w pracy Wilesa. Aby jednak praca ta stała się faktem naukowym, konieczne jest, aby kilku renomowanych matematyków niezależnie powtórzyło ten dowód i potwierdziło jego poprawność. Jest to niezbędny warunek zrozumienia przez matematyczną publiczność pracy Wilesa...
Jak długo to zajmie?
Zadałem to pytanie jednemu z naszych wiodących ekspertów w dziedzinie teorii liczb, doktorowi nauk fizycznych i matematycznych Aleksiejowi Nikołajewiczowi Parszinowi.
— Andrew Wiles ma jeszcze dużo czasu przed sobą…
Faktem jest, że 13 września 1907 roku niemiecki matematyk P. Wolfskel, który w odróżnieniu od zdecydowanej większości matematyków był człowiekiem bogatym, zapisał 100 tysięcy marek temu, kto przez następne 100 lat udowodni Wielkie Twierdzenie. Na początku stulecia odsetki od przekazanej kwoty trafiały do skarbca słynnego uniwersytetu w Goethengent. Za te pieniądze zapraszano czołowych matematyków do wygłaszania wykładów i prowadzenia prac naukowych. Przewodniczącym komisji przyznającej nagrodę był wówczas wspomniany już David Gilbert. Naprawdę nie chciał wypłacić premii.
„Na szczęście” – powiedział wielki matematyk – „wydaje się, że oprócz mnie nie mamy matematyka, który byłby w stanie wykonać to zadanie, ale nigdy nie odważę się zabić gęsi znoszącej dla nas złote jajka”.
Do wyznaczonego przez Wolfskehla terminu 2007 pozostało niewiele lat i wydaje mi się, że nad „kurczakiem Hilberta” wisi poważne niebezpieczeństwo. Ale tak naprawdę nie chodzi o premię. To kwestia dociekliwości myślenia i ludzkiej wytrwałości. Walczyli przez ponad trzysta lat, a mimo to udowodnili to!
I dalej. Dla mnie najciekawsze w tej całej historii jest: jak sam Fermat udowodnił swoje Wielkie Twierdzenie? Przecież wszystkie dzisiejsze sztuczki matematyczne były mu nieznane. I czy w ogóle to udowodnił? Przecież istnieje wersja, w której wydawało się, że to udowodnił, ale on sam znalazł błąd i dlatego nie wysłał dowodu innym matematykom, a zapomniał przekreślić zapis na marginesie tomu Diofantosa. Zatem wydaje mi się, że dowód Wielkiego Twierdzenia oczywiście miał miejsce, jednak tajemnica twierdzenia Fermata pozostaje tajemnicą i jest mało prawdopodobne, że kiedykolwiek ją odkryjemy...
Być może Fermat się wtedy mylił, ale nie mylił się, gdy pisał: „Być może potomność będzie mi wdzięczna za pokazanie, że starożytni nie wiedzieli wszystkiego, i to może przeniknie do świadomości tych, którzy przyjdą po mnie, aby przejść przez pochodnię swoim synom…”
Niewielu jest na świecie ludzi, którzy nigdy nie słyszeli o Ostatnim Twierdzeniu Fermata – być może jest to jedyne zadanie matematyczne, które stało się tak powszechnie znane i stało się prawdziwą legendą. Wspomina się o tym w wielu książkach i filmach, a głównym kontekstem niemal wszystkich wzmianek jest niemożność udowodnienia twierdzenia.
Tak, to twierdzenie jest bardzo dobrze znane i w pewnym sensie stało się „idolem” czczonym przez matematyków amatorów i zawodowych, ale niewiele osób wie, że znaleziono jego dowód, a stało się to jeszcze w 1995 roku. Ale najpierw najważniejsze.
Zatem Ostatnie Twierdzenie Fermata (często nazywane ostatnim twierdzeniem Fermata), sformułowane w 1637 roku przez genialnego francuskiego matematyka Pierre'a Fermata, jest w istocie bardzo proste i zrozumiałe dla każdego, kto ma wykształcenie średnie. Mówi ona, że wzór a do potęgi n + b do potęgi n = c do potęgi n nie ma naturalnych (czyli nie ułamkowych) rozwiązań dla n > 2. Wszystko wydaje się proste i jasne, ale najlepsi matematycy i zwykli amatorzy zmagali się z poszukiwaniem rozwiązania przez ponad trzy i pół wieku.
Dlaczego jest taka sławna? Teraz się dowiemy...
Czy istnieje wiele sprawdzonych, niepotwierdzonych i jeszcze nieudowodnionych twierdzeń? Rzecz w tym, że Ostatnie Twierdzenie Fermata stanowi największy kontrast pomiędzy prostotą sformułowania a złożonością dowodu. Ostatnie twierdzenie Fermata jest niezwykle trudnym problemem, a mimo to jego sformułowanie może zrozumieć każdy, kto ukończył piątą klasę szkoły średniej, ale nawet zawodowy matematyk nie jest w stanie zrozumieć dowodu. Ani w fizyce, ani w chemii, ani w biologii, ani w matematyce nie ma ani jednego problemu, który można by tak prosto sformułować, a który pozostawałby tak długo nierozwiązany. 2. Z czego się składa?
Zacznijmy od spodni pitagorejskich.Słowo jest naprawdę proste – na pierwszy rzut oka. Jak wiemy z dzieciństwa, „spodnie pitagorejskie są równe ze wszystkich stron”. Problem wygląda na tak prosty, bo opierał się na znanym wszystkim twierdzeniu matematycznym - twierdzeniu Pitagorasa: w dowolnym trójkącie prostokątnym kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów zbudowanych na nogach.
W V wieku p.n.e. Pitagoras założył bractwo pitagorejskie. Pitagorejczycy badali między innymi trojaczki całkowite spełniające równość x²+y²=z². Udowodnili, że istnieje nieskończenie wiele trójek pitagorejskich i uzyskali ogólne wzory na ich znalezienie. Prawdopodobnie próbowali szukać C i wyższych stopni. Przekonani, że to nie zadziała, pitagorejczycy porzucili swoje bezużyteczne próby. Członkowie bractwa byli raczej filozofami i estetami niż matematykami.
Oznacza to, że łatwo jest wybrać zbiór liczb, który doskonale spełnia równość x²+y²=z²
Zaczynając od 3, 4, 5 - rzeczywiście młodszy uczeń rozumie, że 9 + 16 = 25.
Lub 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Świetnie.
Okazuje się więc, że NIE. Tutaj zaczyna się cała sztuczka. Prostota jest pozorna, bo trudno udowodnić nie obecność czegoś, a wręcz przeciwnie – jego brak. Kiedy chcesz udowodnić, że istnieje rozwiązanie, możesz i powinieneś po prostu je przedstawić.
Trudniej jest udowodnić nieobecność: ktoś na przykład powie: takie a takie równanie nie ma rozwiązań. Wrzucić go do kałuży? proste: bam – i oto jest rozwiązanie! (podaj rozwiązanie). I tyle, przeciwnik zostaje pokonany. Jak udowodnić nieobecność?
Powiedz: „Nie znalazłem takich rozwiązań”? A może nie wyglądałeś dobrze? A co jeśli istnieją, tylko bardzo duże, bardzo duże, tak że nawet super-potężny komputer wciąż nie ma wystarczającej siły? To właśnie jest trudne.
Można to pokazać wizualnie w ten sposób: jeśli weźmiesz dwa kwadraty o odpowiednich rozmiarach i rozłożysz je na kwadraty jednostkowe, to z tej grupy kwadratów jednostkowych otrzymasz trzeci kwadrat (ryc. 2): 
Ale zróbmy to samo z trzecim wymiarem (ryc. 3) – to nie działa. Nie ma wystarczającej liczby kostek lub zostały dodatkowe:
Ale XVII-wieczny matematyk, Francuz Pierre de Fermat, z entuzjazmem przestudiował ogólne równanie x n + y n = z n. I w końcu doszedłem do wniosku: dla n>2 nie ma rozwiązań całkowitych. Dowód Fermata został bezpowrotnie utracony. Rękopisy płoną! Pozostaje tylko jego uwaga z Arytmetyki Diofantusa: „Znalazłem naprawdę zdumiewający dowód tego twierdzenia, ale marginesy są tu zbyt wąskie, aby je pomieścić”.
W rzeczywistości twierdzenie bez dowodu nazywa się hipotezą. Ale Fermat ma reputację osoby, która nigdy nie popełnia błędów. Nawet jeśli nie pozostawił dowodu na oświadczenie, zostało ono następnie potwierdzone. Ponadto Fermat udowodnił swoją tezę dla n=4. Tym samym hipoteza francuskiego matematyka przeszła do historii jako Ostatnie Twierdzenie Fermata.
Po Fermacie nad poszukiwaniem dowodu pracowały takie wielkie umysły, jak Leonhard Euler (w 1770 r. zaproponował rozwiązanie dla n = 3),
Adrien Legendre i Johann Dirichlet (ci naukowcy wspólnie znaleźli dowód na n = 5 w 1825 r.), Gabriel Lamé (który znalazł dowód na n = 7) i wielu innych. Już w połowie lat 80. ubiegłego wieku stało się jasne, że świat naukowy jest na dobrej drodze do ostatecznego rozwiązania Ostatniego Twierdzenia Fermata, jednak dopiero w 1993 roku matematycy dostrzegli i uwierzyli, że trwająca trzy stulecia epopeja poszukiwania dowodu Ostatnie twierdzenie Fermata praktycznie się skończyło.
Łatwo wykazać, że wystarczy udowodnić twierdzenie Fermata tylko dla prostych n: 3, 5, 7, 11, 13, 17,... Dla złożonego n dowód pozostaje ważny. Ale liczb pierwszych jest nieskończenie wiele...
W 1825 roku, stosując metodę Sophie Germain, matematyczki Dirichlet i Legendre niezależnie udowodniły twierdzenie dla n=5. W 1839 roku tą samą metodą Francuz Gabriel Lame wykazał prawdziwość twierdzenia dla n=7. Stopniowo twierdzenie zostało udowodnione dla prawie wszystkich n mniejszych niż sto.
Wreszcie niemiecki matematyk Ernst Kummer w genialnym badaniu wykazał, że twierdzenia w ogóle nie da się udowodnić metodami matematyki XIX wieku. Nagroda Francuskiej Akademii Nauk, ustanowiona w 1847 r. za dowód twierdzenia Fermata, pozostała nieprzyznana.
W 1907 roku zamożny niemiecki przemysłowiec Paul Wolfskehl zdecydował się odebrać sobie życie z powodu nieodwzajemnionej miłości. Jak prawdziwy Niemiec wyznaczył datę i godzinę samobójstwa: dokładnie o północy. Ostatniego dnia sporządził testament i napisał listy do przyjaciół i krewnych. Sprawy zakończyły się przed północą. Trzeba powiedzieć, że Paweł interesował się matematyką. Nie mając nic innego do roboty, poszedł do biblioteki i zaczął czytać słynny artykuł Kummera. Nagle wydało mu się, że Kummer pomylił się w swoim rozumowaniu. Wolfskel zaczął analizować tę część artykułu z ołówkiem w dłoniach. Minęła północ, nastał poranek. Luka w dowodzie została wypełniona. A sam powód samobójstwa wyglądał teraz zupełnie absurdalnie. Paweł podarł listy pożegnalne i spisał na nowo swój testament.
Wkrótce zmarł śmiercią naturalną. Spadkobiercy byli niemile zaskoczeni: 100 000 marek (obecnie ponad 1 000 000 funtów szterlingów) wpłynęło na konto Królewskiego Towarzystwa Naukowego w Getyndze, które w tym samym roku ogłosiło konkurs o Nagrodę Wolfskehla. Za udowodnienie twierdzenia Fermata przyznano 100 000 punktów. Za obalenie twierdzenia nie przyznano ani fenigów…
Większość zawodowych matematyków uważała poszukiwanie dowodu Ostatniego Twierdzenia Fermata za zadanie beznadziejne i zdecydowanie nie chciała tracić czasu na tak bezużyteczne ćwiczenie. Ale amatorzy mieli niezłą zabawę. Kilka tygodni po ogłoszeniu na Uniwersytet w Getyndze spadła lawina „dowodów”. Profesor E.M. Landau, którego zadaniem była analiza nadesłanego materiału dowodowego, rozdał swoim studentom kartki:
Droga. . . . . . . .
Dziękuję za przesłanie mi manuskryptu z dowodem Ostatniego Twierdzenia Fermata. Pierwszy błąd jest na stronie...w linii... . Przez to cały dowód traci ważność.
Profesor E. M. Landau
W 1963 roku Paul Cohen, opierając się na ustaleniach Gödla, udowodnił nierozwiązywalność jednego z dwudziestu trzech problemów Hilberta – hipotezy kontinuum. A co jeśli Ostatnie Twierdzenie Fermata jest również nierozstrzygalne?! Ale prawdziwi fanatycy Wielkiego Twierdzenia wcale nie byli zawiedzeni. Pojawienie się komputerów nagle dało matematykom nową metodę dowodu. Po II wojnie światowej zespoły programistów i matematyków udowodniły Ostatnie Twierdzenie Fermata dla wszystkich wartości n do 500, następnie do 1000, a później do 10 000.
W latach 80. Samuel Wagstaff podniósł tę granicę do 25 000, a w latach 90. matematycy oświadczyli, że Ostatnie Twierdzenie Fermata jest prawdziwe dla wszystkich wartości od n do 4 milionów. Ale jeśli od nieskończoności odejmiemy nawet bilion bilionów, nie zmniejszy się ona. Matematyków nie przekonują statystyki. Udowodnienie Wielkiego Twierdzenia oznaczało udowodnienie go dla WSZYSTKICH n zmierzających do nieskończoności.
W 1954 roku dwóch młodych japońskich przyjaciół matematyków rozpoczęło badania nad formami modułowymi. Formy te generują serie liczb, każda z własną serią. Przez przypadek Taniyama porównał te szeregi z szeregami generowanymi przez równania eliptyczne. Pasowali! Ale formy modułowe są obiektami geometrycznymi, a równania eliptyczne są algebraiczne. Nigdy nie znaleziono żadnego związku pomiędzy tak różnymi obiektami.
Jednak po dokładnych testach przyjaciele wysunęli hipotezę: każde równanie eliptyczne ma bliźniaczą formę - modułową i odwrotnie. To właśnie ta hipoteza stała się podstawą całego kierunku w matematyce, ale dopóki hipoteza Taniyamy-Shimury nie została udowodniona, cały budynek mógł w każdej chwili się zawalić.
W 1984 roku Gerhard Frey wykazał, że rozwiązanie równania Fermata, jeśli istnieje, można ująć w jakimś równaniu eliptycznym. Dwa lata później profesor Ken Ribet udowodnił, że to hipotetyczne równanie nie może mieć odpowiednika w świecie modułowym. Odtąd Ostatnie Twierdzenie Fermata zostało nierozerwalnie powiązane z hipotezą Taniyamy-Shimury. Po udowodnieniu, że każda krzywa eliptyczna jest modułowa, dochodzimy do wniosku, że nie ma równania eliptycznego z rozwiązaniem równania Fermata, a Ostatnie Twierdzenie Fermata zostałoby natychmiast udowodnione. Jednak przez trzydzieści lat nie udało się udowodnić hipotezy Taniyamy-Shimury i nadzieja na sukces była coraz mniejsza.
W 1963 roku, mając zaledwie dziesięć lat, Andrew Wiles był już zafascynowany matematyką. Kiedy dowiedział się o Wielkim Twierdzeniu, zdał sobie sprawę, że nie może z niego zrezygnować. Jako uczeń, student i doktorant przygotowywał się do tego zadania.
Dowiedziawszy się o odkryciach Kena Ribeta, Wiles rzucił się na całość w udowadnianie hipotezy Taniyamy-Shimury. Postanowił pracować w całkowitej izolacji i tajemnicy. „Zdałem sobie sprawę, że wszystko, co ma związek z Ostatnim Twierdzeniem Fermata, budzi zbyt duże zainteresowanie… Zbyt duża liczba widzów wyraźnie przeszkadza w osiągnięciu celu.” Siedem lat ciężkiej pracy opłaciło się i Wiles w końcu ukończył dowód hipotezy Taniyamy-Shimury.
W 1993 roku angielski matematyk Andrew Wiles przedstawił światu swój dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata (Wiles przeczytał jego sensacyjny artykuł na konferencji w Instytucie Sir Isaaca Newtona w Cambridge.), nad którym prace trwały ponad siedem lat.
Podczas gdy w prasie trwał szum, rozpoczęto poważne prace nad weryfikacją dowodów. Każdy dowód należy dokładnie zbadać, zanim będzie można go uznać za rygorystyczny i dokładny. Wiles spędził niespokojne lato, czekając na opinie recenzentów, mając nadzieję, że uda mu się zdobyć ich aprobatę. Pod koniec sierpnia biegli uznali wyrok za niewystarczająco uzasadniony.
Okazało się, że decyzja ta zawiera rażący błąd, choć w sumie jest słuszna. Wiles nie poddał się, zwrócił się o pomoc do słynnego specjalisty w dziedzinie teorii liczb Richarda Taylora i już w 1994 roku opublikowali poprawiony i rozszerzony dowód twierdzenia. Najbardziej zdumiewające jest to, że praca ta zajęła aż 130 (!) stron w czasopiśmie matematycznym „Annals of Mathematics”. Ale na tym historia się nie skończyła – punkt kulminacyjny nastąpił dopiero w następnym roku, 1995, kiedy opublikowano ostateczną i „idealną” z matematycznego punktu widzenia wersję dowodu.
„...pół minuty po rozpoczęciu uroczystej kolacji z okazji jej urodzin sprezentowałem Nadii rękopis kompletnego dowodu” (Andrew Wales). Czy nie mówiłem już, że matematycy to dziwni ludzie?
Tym razem nie było wątpliwości co do dowodów. Najbardziej wnikliwej analizie poddano dwa artykuły, które ukazały się w maju 1995 roku w Annals of Mathematics.
Od tego momentu minęło już sporo czasu, a w społeczeństwie wciąż panuje opinia, że Ostatnie Twierdzenie Fermata jest nierozwiązywalne. Ale nawet ci, którzy wiedzą o znalezionym dowodzie, nadal pracują w tym kierunku - niewielu jest zadowolonych, że Wielkie Twierdzenie wymaga rozwiązania 130 stron!
Dlatego teraz wysiłki wielu matematyków (głównie amatorów, a nie zawodowych naukowców) rzucane są na poszukiwanie prostego i zwięzłego dowodu, ale ta droga najprawdopodobniej donikąd nie doprowadzi…
źródło