Hoće li funkcija biti periodična? Kako odrediti periodičnost funkcije
Primjena br. 7
Općinska obrazovna ustanova
srednja škola br.3
Učitelj, nastavnik, profesor
Korotkov
Asja Edikovna
Kurganinsk
2008. godine
SADRŽAJ
Uvod …………………………………………………… 2-3
Periodične funkcije i njihova svojstva ……………. 4-6
Zadaci …………………………………………………… 7-14
Uvod
Imajte na umu da problemi periodičnosti u obrazovnoj i metodičkoj literaturi imaju tešku sudbinu. To se objašnjava čudnom tradicijom - dopustiti jednu ili onu nemarnost u definiranju periodičnih funkcija koje dovode do kontroverznih odluka i izazivaju incidente na ispitima.
Na primjer, u knjizi “Objašnjavajući rječnik matematičkih pojmova” - M, 1965., dana je sljedeća definicija: “periodična funkcija je funkcija
y = f(x), za koji postoji broj t > 0, koji za sve x i x + t iz domene vrijedi f(x + t) = f(x).
Navedimo protuprimjer koji pokazuje netočnost ove definicije. Prema ovoj definiciji funkcija je periodična s periodom t = 2π
s(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 s ograničenom domenom definiranja, što proturječi općeprihvaćenom stajalištu o periodičkim funkcijama.
Slični problemi javljaju se u mnogim najnovijim alternativnim školskim udžbenicima.
Udžbenik A. N. Kolmogorova daje sljedeću definiciju: “Govoreći o periodičnosti funkcije f, smatra se da postoji takav broj T ≠ 0 da domena definicije D (f) zajedno sa svakom točkom x sadrži točke koje su dobivene iz x paralelnom translacijom po osi Ox (desno i lijevo) za udaljenost T. Funkcija f se zovečasopis s periodom T ≠ 0, ako su za bilo koju domenu definicije vrijednosti te funkcije u točkama x, x - T, x + T jednake, tj. f (x + T) \u003d f (x) \u003d f (x - T) ". Dalje u udžbeniku stoji: “Budući da su sinus i kosinus definirani na cijelom brojevnom pravcu i Sin (x + 2π) = Sin x,
Cos (x + 2π) \u003d Cos x za bilo koji x, sinus i kosinus period su funkcije s periodom 2π.
Iz nekog razloga, ovaj primjer ne provjerava što je potrebno u definiciji uvjeta koji
Sin (x - 2π) \u003d Sin x. Što je bilo? Stvar je u tome da je ovaj uvjet suvišan u definiciji. Doista, ako je T > 0 period funkcije f(x), tada će T također biti period te funkcije.
Želim dati još jednu definiciju iz udžbenika M. I. Bashmakova "Algebra i početak analize u 10-11 ćelija." “Funkcija y \u003d f (x) naziva se periodičkom ako postoji takav broj T ≠ 0 da je jednakost
f(x + T) = f(x) vrijedi identično za sve vrijednosti x.
Gornja definicija ne govori ništa o opsegu funkcije, iako znači x iz opsega definicije, a ne bilo koji pravi x. Prema ovoj definiciji, funkcija y \u003d Sin (√x) može biti periodična 2 , definirano samo za x ≥ 0, što nije točno.
U jedinstvenom državnom ispitu postoje zadaci za periodičnost. U jednom znanstvenom periodičnom časopisu, kao trening za odjeljak C USE, dano je rješenje problema: "je li funkcija y (x) \u003d Sin 2 (2 + x) - 2 Sin 2 Sin x Cos (2 + x) periodični?
Rješenje pokazuje da je y (x - π) \u003d y (x) u odgovoru - dodatni unos
"T = π" (uostalom, ne postavlja se pitanje pronalaska najmanjeg pozitivnog perioda). Je li doista potrebno izvesti složenu trigonometrijsku formaciju da bi se riješio ovaj problem? Uostalom, ovdje se možete usredotočiti na koncept periodičnosti, kao ključ u uvjetu problema.
Riješenje.
f1 (x) \u003d Sin x - periodična funkcija s periodom T \u003d 2π
f2 (x) = Cos x je periodična funkcija s periodom T = 2π, tada je 2π period i za funkcije f 3(x) = Sin(2+x) i f 4 (x) = Cos (2 + x), (ovo slijedi iz definicije periodičnosti)
f5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, njegov period je bilo koji broj, uključujući 2π.
Jer zbroj i umnožak periodičnih funkcija sa zajedničkim periodom T također je T-periodičan, tada je ta funkcija periodična.
Nadam se da će materijal predstavljen u ovom radu pomoći u pripremi za jedinstveni državni ispit u rješavanju problema periodičnosti.
Periodične funkcije i njihova svojstva
Definicija: funkcija f(t) se naziva periodičkom ako je za bilo koji t iz domene definicije te funkcije D f postoji broj ω ≠ 0 takav da je:
1) brojevi (t ± ω) ê D f ;
2) f(t + ω) = f(t).
1. Ako je broj ω = period funkcije f (t), tada je broj kω, gdje je k = ±1, ±2, ±3, … također period funkcije f(t).
PRIMJER f(t) = Sint. Broj T = 2π je najmanji pozitivni period ove funkcije. Neka T 1 = 4π. Pokažimo da je T 1 je i razdoblje ove funkcije.
F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.
Dakle T 1 je period funkcije f (t) = Sin t.
2. Ako je funkcija f(t) - ω periodična funkcija, tada su periodične i funkcije f (at), gdje je a ê R, i f (t + c), gdje je c proizvoljna konstanta.
Nađite period funkcije f(at).
f(at) = f(at + ω) = f (a(t + ω/a)), tj. f (at) = f (a(t + ω/a).
Dakle, period funkcije f(at) – ω 1 = ω/a.
PRIMJER 1. Odredite period funkcije y = Sin t/2.
Primjer 2. Pronađite period funkcije y \u003d Sin (t + π / 3).
Neka je f(t) = Sin t; y 0 \u003d Sin (t 0 + π / 3).
Tada će i funkcija f(t) = Sin t poprimiti vrijednost y 0 za t = t 0 + π/3.
Oni. sve vrijednosti koje poprima funkcija y poprima i funkcija f(t). Ako se t tumači kao vrijeme, tada svaka vrijednost y 0 funkcija y \u003d Sin (t + π / 3) uzima se π / 3 jedinice vremena ranije nego što se funkcija f (t) "pomakne" ulijevo za π / 3. Očito, razdoblje funkcije neće se promijeniti od ovoga, tj. T y \u003d T 1.
3. Ako je F(x) neka funkcija, a f(t) je periodična funkcija i takva da f(t) pripada domeni funkcije F(x) – D F , tada je funkcija F(f (t)) periodična funkcija.
Neka je F(f (t)) = φ.
Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) za bilo koje t ê D f.
PRIMJER Istražite funkciju za periodičnost: F(x) = ℓ grijeh x .
Opseg ove funkcije D f poklapa se sa skupom realnih brojeva R. f (x) = Sin x.
Skup vrijednosti ove funkcije je [-1; 1]. Jer segment [-1; 1] pripada D f , tada je funkcija F(x) periodična.
F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).
2 π je period ove funkcije.
4. Ako su funkcije f 1 (t) i f 2 (t) periodički, odnosno s periodima ω 1 i ω 2 i ω 1 / ω 2 = r, gdje je r racionalan broj, zatim funkcije
S 1 f 1 (t) + S 2 f 2 (t) i f 1 (t) f 2 (t) su periodični (~ 1 i C 2 su konstante).
Napomena: 1) Ako je r = ω 1 /ω 2 = p/q, jer r je onda racionalan broj
ω 1 q = ω 2 p = ω, gdje je ω najmanji zajednički višekratnik brojeva ω 1 i ω 2 (LCM).
Razmotrimo funkciju C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t).
Doista, ω = LCM (ω 1, ω 2 ) - period ove funkcije
S 1 f 1 (t) + S 2 f 2 (t) = S 1 f 1 (t+ ω 1 q) + S 2 f 2 (t+ ω 2 p) + S 1 f 1 (t) + S 2 f 2 (t) .
2) ω je period funkcije f 1 (t) f 2 (t), jer
f 1 (t + ω) f 2 (t + ω \u003d f 1 (t + ω 1 q) f 2 (t = ω 2 p) \u003d f 1 (t) f 2 (t).
Definicija: Neka je f 1 (t) i f (t) su periodičke funkcije s periodima ω 1 i ω 2 , tada se za dva razdoblja kaže da su usporediva akoω 1 / ω 2 = r je racionalan broj.
3) Ako su periode ω 1 i ω 2 nisu sumjerljive, tada su funkcije f 1 (t) + f 2 (t) i
f 1 (t) f 2 (t) nisu periodični. Odnosno, ako f 1 (t) i f 2 (t) razlikuju se od konstante, periodičke, kontinuirane, periodi im nisu razmjerni, zatim f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 (t) nisu periodični.
4) Neka je f(t) = S, gdje je S proizvoljna konstanta. Ova funkcija je periodična. Njegov period je bilo koji racionalni broj, što znači da nema najmanji pozitivni period.
5) Tvrdnja je također istinita za više funkcija.
Primjer 1. Istražite periodičnost funkcije
F(x) = Sin x + Cos x.
Riješenje. Neka je f 1 (x) = Sin x, tada je ω 1 = 2πk, gdje je k ê Z.
T 1 = 2π je najmanji pozitivni period.
f 2 (x) \u003d Cos x, T 2 \u003d 2π.
Omjer T 1 /T 2 = 2π/2π = 1 je racionalan broj, tj. razdoblja funkcija f 1 (x) i f 2 (x) su razmjerni. Dakle, ova funkcija je periodična. Pronađimo njegovu periodu. Po definiciji periodične funkcije imamo
Sin (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x,
Sin (x + T) - Sin x \u003d Cos x - Cos (x + T),
2 Cos 2x + π / 2 Sin T / 2 \u003d 2 Sin 2x + T / 2 Sin T / 2,
Sin T / 2 (Cos T + 2x / 2 - Sin T + 2x / 2) \u003d 0,
√2 Sin T / 2 Sin (π / 4 - T + 2x / 2) \u003d 0, dakle,
Sin T/2 = 0, tada je T = 2πk.
Jer (h ± 2πk) ê D f , gdje je f(x) = Sin x + Cos x,
f(h + t) = f(h), tada je funkcija f(h) periodična s najmanjim pozitivnim periodom 2π.
Primjer 2. Je li periodična funkcija f (x) \u003d Cos 2x Sin x, koliki je njezin period?
Riješenje. Neka je f 1 (x) \u003d Cos 2x, tada je T 1 \u003d 2π: 2 \u003d π (vidi 2)
Neka je f 2 (x) = Sin x, tada je T 2 = 2π. Jer π/2π = ½ je racionalan broj, tada je ova funkcija periodična. Njegov period T = LCM
(π, 2π) = 2π.
Dakle, ova je funkcija periodična s periodom 2π.
5. Neka je funkcija f(t), koja nije identički jednaka konstanti, kontinuirana i periodična, tada ima najmanji pozitivni period ω 0 , bilo koji drugi period njegovog ω ima oblik: ω= kω 0 , gdje je k ê Z.
Napomena: 1) Dva su uvjeta vrlo važna u ovom svojstvu:
f(t) je kontinuirana, f(t) ≠ C, gdje je C konstanta.
2) Obrnuto nije točno. To jest, ako su sva razdoblja sumjerljiva, onda iz ovoga ne slijedi da postoji najmanji pozitivni period. Oni. periodična funkcija ne mora imati najmanji pozitivni period.
PRIMJER 1. f(t) = C, periodički. Njegov period je bilo koji realni broj, ne postoji najmanji period.
Primjer 2. Dirichletova funkcija:
D(x) =
Svaki racionalni broj je njegov period, ne postoji najmanji pozitivan period.
6. Ako je f(t) kontinuirana periodička funkcija i ω 0 njezin najmanji pozitivni period, tada funkcija f(αt + β) ima najmanji pozitivni period ω 0 //α/. Ova konstatacija proizlazi iz točke 2.
Primjer 1. Pronađite period funkcije y \u003d Sin (2x - 5).
Riješenje. y \u003d Sin (2x - 5) \u003d Sin (2 (x - 5/2)).
Graf funkcije y dobiva se iz grafa funkcije Sin x, prvo dva puta “sažimanjem”, zatim “pomakom” udesno za 2,5. “Pomak ne utječe na periodičnost, T = π je period ove funkcije.
Lako je dobiti period ove funkcije koristeći svojstvo stavke 6:
T \u003d 2π / 2 \u003d π.
7. Ako je f (t) - ω periodična funkcija i ima kontinuiranu derivaciju f "(t), tada je f" (t) također periodična funkcija, T \u003d ω
PRIMJER 1. f(t) = Sin t, T = 2πk. Njegova derivacija f "(t) = Cos t
F "(t) \u003d Cos t, T \u003d 2πk, k ê Z.
PRIMJER 2. f(t) = Cos t, T = 2πk. Njegova izvedenica
F "(t) \u003d - Sin t, T \u003d 2πk, k ê Z.
Primjer 3. f(t) =tg t, period mu je T = πk.
F "(t) \u003d 1 / Cos 2 t je također periodičan prema stavci svojstva 7 i ima period T = πk. Njegov najmanji pozitivni period je T = π.
ZADACI.
№ 1
Je li funkcija f(t) = Sin t + Sin πt periodična?
Riješenje. Usporedbe radi, ovaj problem rješavamo na dva načina.
Prvo, definicijom periodične funkcije. Pretpostavimo da je f(t) periodičan, tada za bilo koje t ê D f imamo:
Sin (t + T) + Sin π (t + T) = Sin t + Sin πt,
Sin (t + T) - Sin t \u003d Sin πt - Sin π (t + T),
2 Cos 2t + T/2 Sin T/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.
Jer ovo vrijedi za bilo koje t ê D f , zatim, napose, za t 0 , pri čemu lijeva strana posljednje jednakosti nestaje.
Tada imamo: 1) Cos 2t 0 + T/2 Sin T/2 = 0. Riješite s obzirom na T.
Sin T/2 = 0 pri T = 2 πk, gdje je k ê Z.
2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πT/2 = 0. Riješite s obzirom na T.
Sin πT/2 = 0, tada je T = 2πn/ π = 2n, n≠0, gdje je n ê Z.
Jer imamo identitet, tada je 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, što ne može biti, jer π je iracionalan broj, a n/ k je racionalan. To jest, naša pretpostavka da je funkcija f(t) periodična nije bila točna.
Drugo, rješenje je mnogo jednostavnije ako koristimo gornja svojstva periodičnih funkcija:
Neka je f 1 (t) = Sin t, T 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, T 2 - 2π/π = 2. Tada je T 1 /T 2 = 2π/2 = π je iracionalan broj, tj. razdoblja T 1, T 2 nisu sumjerljive, pa f(t) nije periodičan.
Odgovor: ne.
№ 2
Pokažite da ako je α iracionalan broj, tada funkcija
F(t) = Cos t + Cos αt
nije periodičan.
Riješenje. Neka je f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt.
Tada su njihove periode redom T 1 \u003d 2π, T 2 = 2π//α/ - najmanji pozitivni periodi. Nađimo, T 1 /T 2 = 2π/α//2π = /α/ je iracionalan broj. Dakle T 1 i T 2 su nesamjerljive, a funkcija
f(t) nije periodičan.
№ 3
Odredite najmanji pozitivni period funkcije f(t) = Sin 5t.
Riješenje. Po stavci imovine 2 imamo:
f(t) je periodičan; T = 2π/5.
Odgovor: 2π/5.
№ 4
Je li F(x) = arccos x + arcsin x periodična funkcija?
Riješenje. Razmotrimo ovu funkciju
F(x) \u003d arccos x + arcsin x \u003d π - arcsin x + arcsin x \u003d π,
oni. F(x) je periodična funkcija (vidi stavku svojstva 5, primjer 1.).
Odgovor: da.
№ 5
Periodična je funkcija
F(x) \u003d Sin 2x + Cos 4x + 5?
riješenje. Neka je f 1 (x) = Sin 2x, tada je T 1 = π;
F 2 (x) \u003d Cos 4x, zatim T 2 \u003d 2π / 4 \u003d π / 2;
F 3 (x) \u003d 5, T 3 - bilo koji realni broj, posebno T 3 možemo pretpostaviti jednakim T 1 ili T 2 . Tada je period te funkcije T = LCM (π, π/2) = π. To jest, f(x) je periodičan s periodom T = π.
Odgovor: da.
№ 6
Je li funkcija f(x) = x - E(x) periodična, gdje je E(x) funkcija koja argumentu x pridružuje najmanji cijeli broj koji ne prelazi zadani.
Riješenje. Često se funkcija f (x) označava s (x) - razlomačkim dijelom broja x, tj.
F(x) \u003d (x) \u003d x - E (x).
Neka je f(h) periodička funkcija, tj. postoji broj T >0 takav da je x - E(x) = x + T - E(x + T). Napišimo ovu jednadžbu
(x) + E(x) - E(x) = (x + T) + E(x + T) - E(x + T),
(x) + (x + T) - vrijedi za bilo koji x iz domene D f, uz uvjet da je T ≠ 0 i T ê Z. Najmanji pozitivan od njih je T = 1, tj. T = 1 tako da
X + T - E (x + T) \u003d x - E (x),
Štoviše, (h ± Tk) ê D f , gdje je k ê Z.
Odgovor: Ova funkcija je periodična.
№ 7
Je li funkcija f(x) = Sin x periodična? 2 .
Riješenje. Recimo f(x) = Sin x 2 periodična funkcija. Tada po definiciji periodične funkcije postoji broj T ≠ 0 takav da je: Sin x 2 \u003d Sin (x + T) 2 za bilo koji x ê D f.
Sin x 2 \u003d Sin (x + T) 2 \u003d 0,
2 Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 Sin x 2 - (x + T) 2 / 2 \u003d 0, tada
Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 = 0 ili Sin x 2 - (x + T) 2 / 2 = 0.
Razmotrimo prvu jednadžbu:
Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 \u003d 0,
X 2 + (x + T) 2 / 2 \u003d π (1 + 2 k) / 2 (k ê Z),
T \u003d √ π (1 + 2 k) - x 2 - x. (1)
Razmotrimo drugu jednadžbu:
Sin x 2 - (x + T) 2 / 2 \u003d 0,
X + T \u003d √- 2πk + x 2,
T \u003d √x 2 - 2πk - x. (2)
Iz izraza (1) i (2) se vidi da pronađene vrijednosti T ovise o x, tj. ne postoji T>0 takav da
Sin x 2 \u003d Sin (x + T) 2
Za bilo koji x iz domene ove funkcije. f(x) nije periodičan.
Odgovor: ne
№ 8
Istražite periodičnost funkcije f(x) = Cos 2 x.
Riješenje. Predstavimo f(x) formulom kosinusa dvostrukog kuta
F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x.
Neka je f 1 (x) = ½, tada je T 1 - može biti bilo koji realan broj; f 2 (x) \u003d ½ Cos 2x je periodična funkcija, jer umnožak dviju periodičkih funkcija sa zajedničkim periodom T 2 = pi. Zatim najmanji pozitivni period ove funkcije
T \u003d LCM (T 1, T 2) \u003d π.
Dakle, funkcija f(x) = Cos 2 x – π – je periodičan.
Odgovor: π je periodičan.
№ 9
Može li domena periodične funkcije biti:
A) polupravac [a, ∞),
B) rezati?
Riješenje. Ne, jer
A) po definiciji periodičke funkcije, ako je h ê D f, tada x ± ω također
Mora pripadati opsegu funkcije. Neka je onda x = a
X 1 \u003d (a - ω) ê [a, ∞);
B) neka je x = 1, tada je x 1 \u003d (1 + T) ê.
№ 10
Može li periodična funkcija biti:
A) strogo monotono;
B) čak;
B) čak ni?
Riješenje. a) Neka je f(x) periodička funkcija, tj. postoji T≠0 takav da za bilo koji x iz domene funkcija D f što
(x ± T) ê D f i f (x ± T) \u003d f (x).
Popravi bilo koji x 0 º D f , jer f(x) je periodičan, tada je (x 0 + T) ê D f i f (x 0) \u003d f (x 0 + T).
Pretpostavimo da je f(x) strogo monoton i na cijeloj domeni definicije D f , na primjer, povećava. Tada po definiciji rastuće funkcije za bilo koji x 1 i x 2 iz domene D f iz nejednakosti x 1 2 slijedi da je f(x 1 ) 2 ). Konkretno, iz uvjeta x 0 0 + T, slijedi da
F(x 0 ) 0 +T), što je u suprotnosti s uvjetom.
To znači da periodična funkcija ne može biti strogo monotona.
b) Da, periodična funkcija može biti parna. Uzmimo nekoliko primjera.
F (x) \u003d Cos x, Cos x \u003d Cos (-x), T \u003d 2π, f (x) je parna periodična funkcija.
0 ako je x racionalan broj;
D(x) =
1 ako je x iracionalan broj.
D(x) = D(-x), domena funkcije D(x) je simetrična.
Direchletova funkcija D(x) je parna periodična funkcija.
f(x) = (x),
f (-x) \u003d -x - E (-x) \u003d (-x) ≠ (x).
Ova funkcija nije parna.
c) Periodična funkcija može biti neparna.
f (x) \u003d Sin x, f (-x) \u003d Sin (-x) \u003d - Sin \u003d - f (x)
f(x) je neparna periodička funkcija.
f (x) - Sin x Cos x, f (-x) \u003d Sin (-x) Cos (-x) \u003d - Sin x Cos x \u003d - f (x),
f(x) je neparan i periodičan.
f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),
f(x) nije neparan.
f(h) = tg x je neparna periodička funkcija.
Odgovor: ne; Da; Da.
№ 11
Koliko nula može imati periodična funkcija na:
1) ; 2) na cijeloj realnoj osi, ako je period funkcije jednak T?
Rješenje: 1. a) Na segmentu [a, b] periodična funkcija ne smije imati nule, npr. f(x) = C, C≠0; f (x) \u003d Cos x + 2.
b) Na segmentu [a, b] periodična funkcija može imati beskonačan broj nula, npr. Direchletova funkcija
0 ako je x racionalan broj,
D(x) =
1 ako je x iracionalan broj.
c) Na segmentu [a, b] periodična funkcija može imati konačan broj nula. Pronađimo ovaj broj.
Neka je T period funkcije. Označiti
X 0 = (min x ê(a,b), tako da je f(h) = 0).
Zatim broj nula na segmentu [a, b]: N = 1 + E (u x 0 /T).
Primjer 1. x ê [-2, 7π / 2], f (x) \u003d Cos 2 h je periodička funkcija s periodom T = π; x 0 = -π/2; zatim broj nula funkcije f(x) na zadanom intervalu
N \u003d 1 + E (7π / 2 - (-π / 2) / 2) \u003d 1 + E (8π / 2π) \u003d 5.
Primjer 2. f (x) \u003d x - E (x), x ê [-2; 8.5]. f(h) – periodična funkcija, T + 1,
x 0 = -2. Zatim broj nula funkcije f(x) na zadanom segmentu
N \u003d 1 + E (8,5 - (-2) / 1) = 1 + E (10,5 / 1) \u003d 1 + 10 \u003d 11.
Primjer 3. f (x) \u003d Cos x, x ê [-3π; π], T 0 \u003d 2π, x 0 \u003d - 5π / 2.
Zatim broj nula ove funkcije na danom segmentu
N \u003d 1 + E (π - (-5π / 2) / 2π) = 1 + E (7π / 2π) \u003d 1 + 3 \u003d 4.
2. a) Beskonačan broj nula, jer x 0 ê D f i f(h 0 ) = 0, tada za sve brojeve
X 0 + Tk, gdje je k ê Z, f (x 0 ± Tk) = f (x 0 ) =0, a točke oblika x 0 ± Tk je beskonačan skup;
b) nemaju nule; ako je f(h) periodičan i za bilo koji
h ê D f funkcija f(x) >0 ili f(x)
F(x) \u003d Sin x +3,6; f(x) = C, C ≠ 0;
F(x) \u003d Sin x - 8 + Cos x;
F(x) = Sin x Cos x + 5.
№ 12
Može li zbroj neperiodičnih funkcija biti periodičan?
Riješenje. Da možda. Na primjer:
- f1 (h) = h je neperiodičan, f 2 (x) \u003d E (x) - neperiodično
F (x) \u003d f 1 (x) - f 2 (x) \u003d x - E (x) - periodično.
- f1 (x) \u003d x - neperiodično, f (x) \u003d Sin x + x - neperiodično
F (x) \u003d f 2 (x) - f 1 (x) = Sin x - periodički.
Odgovor: da.
№ 13
Funkcije f(x) i φ(x) su periodične s periodima T 1 i T 2 odnosno. Je li njihov umnožak uvijek periodična funkcija?
Riješenje. Ne, samo ako T 1 i T 2 - usporedivo. Na primjer,
F(x) \u003d Sin x Sin πx, T 1 \u003d 2π, T 2 \u003d 2; zatim T 1 /T 2 = 2π/2 = π je iracionalan broj, pa f(h) nije periodičan.
f (x) \u003d (x) Cos x \u003d (x - E (x)) Cos x. Neka f 1 (x) \u003d x - E (x), T 1 \u003d 1;
f 2 (x) \u003d Cos (x), T 2 \u003d 2π. T 2 / T 1 = 2π/1 = 2π, pa f(x) nije periodičan.
Odgovor: Ne.
Zadaci za samostalno rješavanje
Koje su funkcije periodične, nađite period?
1. f (x) \u003d Sin 2x, 10. f (x) \u003d Sin x / 2 + tg x,
2. f (x) \u003d Cos x / 2, 11. f (x) \u003d Sin 3x + Cos 4x,
3. f (x) \u003d tg 3x, 12. f (x) \u003d Sin 2 x+1,
4. f(x) = Cos (1 - 2x), 13. f(x) = tg x + ctg√2x,
5. f (x) \u003d Sin x Cos x, 14. f (x) \u003d Sin πx + Cos x,
6. f (x) \u003d ctg x / 3, 15. f (x) \u003d x 2 - E (x 2),
7. f (x) \u003d Sin (3x - π / 4), 16. f (x) \u003d (x - E (x)) 2 ,
8. f (x) \u003d Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f (x) \u003d 2 x - E (x),
9. f(x) = Sin 2 x, 18. f(x) = x – n + 1 ako je n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…
№ 14
Neka je f(x) - T periodička funkcija. Koje su funkcije periodične (nađite T)?
- φ(x) = f(x + λ) je periodičan, jer "pomak" duž osi Ox ne utječe na ω; njegov period ω = T.
- φ(h) = a f(h + λ) + v je periodična funkcija s periodom ω = T.
- φ(x) = f(kx) je periodična funkcija s periodom ω = T/k.
- φ(x) \u003d f (ax + b) - periodična funkcija s periodom ω \u003d T / a.
- φ(x) = f(√x) nije periodičan, jer njegova domena definicije Dφ = (x/x ≥ 0), dok domena definicije periodičke funkcije ne može biti poluos.
- φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) - 1) je periodična funkcija, jer
φ (x + T) \u003d f (x + T) + 1 / f (x + T) - 1 \u003d φ (x), ω \u003d T.
- φ (x) \u003d a f 2 (x) + in f (x) + c.
Neka je φ 1 (x) = a f 2 (x) - periodički, ω 1 = t/2;
φ 2 (h) = u f(h) – periodički, ω 2=T/T=T;
φ 3 (h) = s – periodika, ω 3 - bilo koji broj;
tada je ω = LCM(T/2; T) = T, φ(h) je periodičan.
Inače, jer domena definicije ove funkcije je cijeli brojevni pravac, zatim skup vrijednosti funkcije f - E f ê D ϕ , dakle funkcija
φ(h) je periodičan i ω = T.
- φ(h) = √φ(h), f(h) ≥ 0.
φ(h) je periodičan s periodom ω = T, jer za bilo koji x, funkcija f(x) poprima vrijednosti f(x) ≥ 0, tj. njegov skup vrijednosti E f ê D φ , gdje je
Dφ je domena definicije funkcije φ(z) = √z.
№ 15
Je li funkcija f(x) = x 2 periodična?
Riješenje. Uzmimo x ≥ 0, tada za f(x) postoji inverzna funkcija √x, što znači da je na tom intervalu f(x) monotona funkcija, tada ne može biti periodična (vidi br. 10).
№ 16
Zadan je polinom P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + ... a n x.
Je li P(x) periodična funkcija?
Riješenje. 1. Ako je identitet konstantan, tada je P(x) periodična funkcija, tj. ako a i = 0, gdje je i ≥ 1.
2. Neka je P(x) ≠ c, gdje je c neka konstanta. Neka je P(x) periodička funkcija i neka P(x) ima realne korijene, tada budući da P(x) je periodična funkcija, onda ih mora biti beskonačno mnogo. A prema osnovnom teoremu algebre, njihov broj k je takav da je k ≤ n. Dakle, P(x) nije periodična funkcija.
3. Neka je P(x) polinom koji je identički različit od nule i nema realne korijene. Recimo da je P(x) periodična funkcija. Uvodimo polinom q(x) = a 0 , q(h) je periodična funkcija. Razmotrimo razliku P(x) - q(x) = a 1 x 2 + ... + a n x n.
Jer postoji periodična funkcija na lijevoj strani jednakosti, tada je funkcija na desnoj strani također periodična, štoviše, ima barem jedan pravi korijen, x \u003d 0. Ako je funkcija periodična, tada mora postojati beskonačan broj nula. Imamo kontradikciju.
P(x) nije periodična funkcija.
№ 17
Funkcija f(t) – T je periodična. Je li funkcija f do (t), gdje
k ê Z, periodična funkcija, kako su njihove periode povezane?
Riješenje. Dokaz će se provesti metodom matematičke funkcije. Neka
f 1 = f(t), zatim f 2 = f 2 (t) = f(t) f(t),
F 3 \u003d f 3 (t) \u003d f (t) f 2 je periodična funkcija prema svojstvu točke 4.
………………………………………………………………………….
Neka je f k-1 = f k-1 (t) je periodička funkcija i njezin period T k-1 razmjerna s periodom T. Oba dijela posljednje jednakosti pomnožimo s f(t), dobivamo f k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),
F do = f do (t) je periodična funkcija prema stavci svojstva 4. ω ≤ T.
№ 18
Neka je f(x) proizvoljna funkcija definirana na .Je li funkcija f((x)) periodična?
A n e t: da, jer skup vrijednosti funkcije (x) pripada domeni definiranja funkcije f(x), tada je po stavci svojstva 3 f((x)) periodična funkcija, njezin period ω = T = 1.
№ 19
F(x) je proizvoljna funkcija definirana na [-1; 1], je li funkcija f(sinx) periodična?
Odgovor: da, njegov period je ω = T = 2π (dokaz je sličan #18).
Proučavajući fenomene prirode, rješavajući tehničke probleme, susrećemo se s periodičkim procesima koji se mogu opisati funkcijama posebne vrste.
Funkcija y = f(x) s domenom D naziva se periodičkom ako postoji barem jedan broj T > 0 takav da su zadovoljena sljedeća dva uvjeta:
1) točke x + T, x − T pripadaju domeni D za bilo koji x ∈ D;
2) za svaki x iz D imamo relaciju
f(x) = f(x + T) = f(x − T).
Broj T nazivamo periodom funkcije f(x). Drugim riječima, periodična funkcija je funkcija čije se vrijednosti ponavljaju nakon određenog intervala. Na primjer, funkcija y = sin x je periodična (slika 1) s periodom 2π.
Imajte na umu da ako je broj T period funkcije f(x), tada će i broj 2T biti njezin period, kao i 3T, i 4T itd., tj. periodična funkcija ima beskonačno mnogo različitih perioda. Ako među njima postoji najmanji (koji nije jednak nuli), tada su svi ostali periodi funkcije višekratnici tog broja. Primijetite da svaka periodička funkcija nema tako najmanji pozitivni period; npr. funkcija f(x)=1 nema takav period. Također je važno imati na umu da, na primjer, zbroj dviju periodičkih funkcija s istim najmanjim pozitivnim periodom T 0 ne mora nužno imati isti pozitivni period. Dakle, zbroj funkcija f(x) = sin x i g(x) = −sin x uopće nema najmanju pozitivnu periodu, a zbroj funkcija f(x) = sin x + sin 2x i g( x) = −sin x, čiji su najmanji periodi 2π ima najmanji pozitivni period jednak π.
Ako je omjer perioda dviju funkcija f(x) i g(x) racionalan broj, tada će zbroj i umnožak tih funkcija također biti periodične funkcije. Ako je omjer perioda posvuda definiranih i kontinuiranih funkcija f i g iracionalan broj, tada će funkcije f + g i fg već biti neperiodične funkcije. Tako su npr. funkcije cos x sin √2 x i cosj √2 x + sin x neperiodične, iako su funkcije sin x i cos x periodične s periodom 2π, funkcije sin √2 x i cos √2 x su periodične s periodom √2 π .
Imajte na umu da ako je f(x) periodična funkcija s periodom T, tada je složena funkcija (ako, naravno, ima smisla) F(f(x)) također periodična funkcija, a broj T služit će kao njezin razdoblje. Na primjer, funkcije y \u003d sin 2 x, y \u003d √ (cos x) (sl. 2.3) su periodične funkcije (ovdje: F 1 (z) \u003d z 2 i F 2 (z) \u003d √z ). Međutim, ne treba misliti da ako funkcija f(x) ima najmanji pozitivni period T 0 , onda će funkcija F(f(x)) imati isti najmanji pozitivni period; na primjer, funkcija y \u003d sin 2 x ima najmanji pozitivni period, koji je 2 puta manji od funkcije f (x) \u003d sin x (slika 2).
Lako je pokazati da ako je funkcija f periodična s periodom T, definirana je i diferencijabilna u svakoj točki realnog pravca, tada je funkcija f "(x) (derivacija) također periodična funkcija s periodom T, ali antiderivativna funkcija F (x) (vidi Integralni račun) za f(x) će biti periodična funkcija samo ako
F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.
Ponavljanje njegovih vrijednosti u nekom redovnom intervalu argumenta, odnosno ne mijenjanje njegove vrijednosti kada se neki fiksni broj različit od nule doda argumentu ( razdoblje funkcije) preko cijele domene definicije.
Formalnije, za funkciju se kaže da je periodična s periodom T ≠ 0 (\displaystyle T\neq 0), ako za svaku točku x (\displaystyle x) iz područja definiranja točke x + T (\displaystyle x+T) I x − T (\displaystyle x-T) također pripadaju njegovoj domeni definiranja, a za njih jednakost f (x) = f (x + T) = f (x − T) (\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)).
Na temelju definicije, jednakost vrijedi i za periodičku funkciju f (x) = f (x + n T) (\displaystyle f(x)=f(x+nT)), Gdje n (\displaystyle n)- bilo koji cijeli broj.
Međutim, ako skup razdoblja ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle \(T,T>0,T\in \mathbb (R) \)) postoji najmanja vrijednost, zove se glavno (ili glavno) razdoblje funkcije.
Primjeri
Sin (x + 2 π) = sin x , cos (x + 2 π) = cos x , ∀ x ∈ R . (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb (R) .)
- Dirichletova funkcija je periodična; njen period je svaki racionalni broj različit od nule. Također nema glavno razdoblje.
Neke značajke periodičkih funkcija
I T 2 (\displaystyle T_(2))(Međutim, ovaj broj će biti samo točka). Na primjer, funkcija f (x) = sin (2 x) − sin (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)) glavno razdoblje je 2 π (\displaystyle 2\pi ), na funkciji g (x) = sin (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x)) razdoblje je 2 π / 3 (\displaystyle 2\pi /3), i njihov zbroj f (x) + g (x) = sin (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x)) glavno razdoblje je očito jednako π (\displaystyle \pi ).- Zbroj dviju funkcija s nesumjerljivim periodima nije uvijek neperiodična funkcija.
U normalnim školskim zadacima dokazati periodičnost jedna ili druga funkcija obično nije teška: dakle, da bismo potvrdili da je funkcija $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ periodična, dovoljno je jednostavno primijetiti da je umnožak $T=4\times7\times 2 \pi$ je njegov period: ako xu dodamo broj T, tada će ovaj umnožak "pojesti" oba nazivnika i pod znakom sinusa bit će suvišni samo cijeli višekratnici od $2\pi$, koje će "pojesti" sam sinus .
Ali dokaz neperiodičnosti jedna ili druga funkcija izravno po definiciji ne mora uopće biti jednostavna. Dakle, da biste dokazali neperiodičnost gornje funkcije $y=\sin x^2$, možete napisati jednakost $sin(x+T)^2=\sin x^2$, ali nemojte riješiti ovu trigonometriju jednadžbu iz navike, već je zamijenite u nju x=0, nakon čega će se gotovo automatski dobiti ostatak: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, gdje je k neki cijeli broj veći od 0, tj. $T=\sqrt (k\pi)$, a ako sada pogodite i zamijenite $x=\sqrt (\pi)$ u to, ispada da je $\sin(\sqrt(\pi)+\sqrt( k\ pi))=0$, odakle $\sqrt(\pi)+\sqrt(k\pi)=n\pi$, $1+\sqrt(k)=n\sqrt(\pi)$, $1+ k+ 2\sqrt(k)=n^2\pi$, $2\sqrt(k)=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4(\pi ) ^2+2mn^2x+m^2$, pa je p korijen jednadžbe $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, tj. je algebarski, što nije točno: $\pi$ je, kao što znamo, transcendentalan, tj. nije korijen nijedne algebarske jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima. Međutim, u budućnosti ćemo dobiti puno jednostavniji dokaz ove tvrdnje – ali uz pomoć alata za matematičku analizu.
Pri dokazivanju neperiodičnosti funkcija često pomaže elementarni logički trik: ako sve periodične funkcije imaju neko svojstvo, a ova ga funkcija nema, onda ona, naravno, nije periodičan. Dakle, periodična funkcija poprima bilo koju svoju vrijednost beskonačno mnogo puta, pa je, na primjer, funkcija $y=\frac(3x^2-5x+7)(4x^3-x+2)$ nije periodičan, budući da je vrijednost 7 potrebna samo dva boda. Često je za dokazivanje neperiodičnosti prikladno koristiti njegove singularnosti domene, a da biste pronašli željeno svojstvo periodičnih funkcija, ponekad morate pokazati određenu maštu.
Također napominjemo da vrlo često na pitanje, što je neperiodična funkcija, treba čuti odgovor u stilu o kojem smo govorili u vezi s parne i neparne funkcije, je kada $f(x+T)\neq f(x)$, što, naravno, nije dopušteno.
A točan odgovor ovisi o specifičnoj definiciji periodične funkcije, i, na temelju gornje definicije, može se, naravno, reći da je funkcija neperiodična ako nema jednu periodu, ali to će biti “loša” definicija koja ne daje smjer dokaz neperiodičnosti. A ako to dalje dešifriramo, opisujući što znači rečenica "funkcija f nema period" ili, što je isto, "nijedan broj $T \neq 0$ nije period funkcije f", tada dobivamo da funkcija f nije periodična ako i samo ako za svaki $T \neq 0$ postoji broj $x\in D(f)$ takav da je ili barem jedan od brojeva $x+T$ i $x-T$ ne pripada D(f) ili $f(x+T)\neq f(x)$.
Može se reći i drugačije: "Postoji broj $x\u D(f)$ takav da jednakost $f(x+T) = f(x)$ ne vrijedi" - ova jednakost možda ne vrijedi za dva razlozi: bilo to nema smisla, tj. jedan od njegovih dijelova nije definiran, ili - u suprotnom, biti nevažeći. Zanimljivosti radi, dodajemo da se jezični učinak o kojem smo gore govorili također očituje ovdje: za jednakost, "ne biti istinit" i "biti pogrešan" nije ista stvar - jednakost možda i dalje nema smisla.
Detaljno razjašnjenje uzroka i posljedica tog jezičnog učinka zapravo i nije predmet matematike, već teorije jezika, lingvistike, točnije, njezina posebnog dijela: semantike - znanosti o značenju, gdje se, međutim, ta pitanja vrlo složeni i nemaju jednoznačno rješenje. A matematika, pa tako i školska, prisiljena je podnositi te poteškoće i prevladavati jezične "smetnje" - utoliko i utoliko što, uz simbolički, koristi i prirodni jezik.
Za korištenje pregleda prezentacija kreirajte Google račun (račun) i prijavite se: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
Algebra i početak analize, 10. razred (razina profila) A.G. Mordkovich, P.E. Semenov Nastavnik Volkova S.E.
Definicija 1 Kaže se da funkcija y = f (x), x ∈ X ima period T ako za bilo koji x ∈ X vrijedi jednakost f (x - T) = f (x) = f (x + T). Ako je funkcija s periodom T definirana u točki x, tada je definirana i u točkama x + T, x - T. Svaka funkcija ima period jednak nuli u T = 0, dobivamo f(x - 0) = f(x) = f( x + 0) .
Definicija 2. Funkcija koja ima period T različit od nule naziva se periodičkom. Ako funkcija y = f (x), x ∈ X, ima period T, tada je svaki višekratnik T (tj. broj oblika kT, k ∈ Z) također njezin period.
Dokaz Neka je 2T period funkcije. Tada je f(x) = f(x + T) = f((x + T) + T) = f(x + 2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Slično se dokazuje da je f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T), itd. Dakle, f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)
Najmanji period među pozitivnim periodima periodičke funkcije naziva se glavni period te funkcije.
Značajke grafa periodične funkcije Ako je T glavni period funkcije y \u003d f (x), tada je dovoljno: izgraditi granu grafa na jednom od intervala duljine T, izvršiti paralelu translacija ove grane duž x osi za ±T, ±2T, ±3T, itd. Obično odaberite razmak s krajevima na točkama
Svojstva periodičnih funkcija 1. Ako je f(x) periodična funkcija s periodom T, tada je i funkcija g(x) = A f(kx + b), gdje je k > 0, također periodična s periodom T 1 = T/ k. 2. Neka su funkcije f 1 (x) i f 2 (x) definirane na cijeloj realnoj osi i neka su periodične s periodima T 1 > 0 i T 2 >0. Tada je za T 1 /T 2 ∈ Q funkcija f(x) = f(x) + f 2 (x) periodična funkcija s periodom T jednakom najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva T 1 i T 2 .
Primjeri 1. Periodična funkcija y = f(x) definirana je za sve realne brojeve. Njegov period je 3 i f(0) =4 . Pronađite vrijednost izraza 2f(3) - f(-3). Riješenje. T = 3, f (3) = f (0 + 3) = 4, f (-3) = f (0–3) = 4, f (0) = 4. Zamjena dobivenih vrijednosti u izraz 2f (3) - f(-3) , dobivamo 8 - 4 =4 . Odgovor: 4.
Primjeri 2. Periodična funkcija y = f(x) definirana je za sve realne brojeve. Njegov period je 5, a f(-1) = 1. Nađite f(-12) ako je 2f(3) - 5f(9) = 9. Rješenje T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Odgovor: 7.
Literatura A.G. Mordkovich, P.V. Semyonov. Algebra i počeci analize (razina profila), 10. razred A.G. Mordkovich, P.V. Semyonov. Algebra i počeci analize (profilna razina), 10. razred. Metodičko uputstvo za nastavnika
O temi: metodološki razvoj, prezentacije i bilješke
Periodni zakon i periodni sustav D.I. Mendeljejev.
Opći sat na ovu temu provodi se u obliku igre, koristeći elemente tehnologije pedagoških radionica....
Izvannastavni događaj "Periodni zakon i periodni sustav kemijskih elemenata D.I. Mendelejeva"
Izvannastavna priredba otkriva povijest nastanka periodnog zakona i periodnog sustava D.I. Mendeljejev. Informacije su predstavljene u poetskom obliku, što pridonosi brzom pamćenju m...
Prijava na izvannastavni događaj "Periodni zakon i periodni sustav kemijskih elemenata D.I. Mendeljejeva"
Otkriću zakona prethodio je dug i intenzivan znanstveni rad D.I. Mendeljejeva 15 godina, a još 25 godina je dano njegovom daljnjem produbljivanju ....