Zadana je gustoća distribucije slučajne varijable x. Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable
………………………………………………………
An - slučajna varijabla X poprimila je vrijednost An.
Očito je zbroj događaja A1 A2, . , An je određeni događaj, budući da slučajna varijabla nužno uzima barem jednu od vrijednosti x1, x2, xn.
Stoga je P (A1 È A2 È . È An) = 1.
Osim toga, događaji A1, A2, ., An su nekompatibilni, budući da slučajna varijabla u jednom eksperimentu može uzeti samo jednu od vrijednosti x1, x2, ., xn. Teoremom o adiciji za nekompatibilne događaje dobivamo
P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,
tj. p1+p2+ . +pn = 1, ili, ukratko,
Dakle, zbroj svih brojeva koji se nalaze u drugom retku tablice 1, koji daje zakon raspodjele slučajne varijable X, mora biti jednak jedinici.
PRIMJER 1. Neka je slučajna varijabla X broj bačenih bodova kada se baci kocka. Pronađite zakon raspodjele (u obliku tablice).
Slučajna varijabla X uzima vrijednosti
x1=1, x2=2, … , x6=6
s vjerojatnostima
p1= p2 = … = p6 =
Zakon raspodjele dat je tablicom:
tablica 2
PRIMJER 2. Binomna distribucija. Promotrimo slučajnu varijablu X - broj pojavljivanja događaja A u nizu neovisnih eksperimenata, u svakom od kojih se A pojavljuje s vjerojatnošću p.
Slučajna varijabla X očito može poprimiti jednu od sljedećih vrijednosti:
0, 1, 2, ., k, ., n.
Vjerojatnost događaja koja se sastoji u činjenici da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost jednaku k određena je Bernoullijevom formulom:
Rn(k)= gdje je q=1- r.
Takva distribucija slučajne varijable naziva se binomna distribucija ili Bernoullijeva distribucija. Bernoullijeva distribucija u potpunosti je specificirana s dva parametra: brojem n svih pokušaja i vjerojatnošću p s kojom se događaj događa u svakom pojedinačnom pokušaju.
Uvjet za binomnu distribuciju ima oblik:
Da bismo dokazali valjanost ove jednakosti, dovoljno je u identitetu
(q+px)n= 
stavi x=1.
PRIMJER 3. Poissonova distribucija. Ovo je naziv distribucije vjerojatnosti oblika:
P(k)= 
.
Određen je jednim (pozitivnim) parametrom a. Ako je ξ slučajna varijabla koja ima Poissonovu distribuciju, tada je odgovarajući parametar a - prosječna vrijednost te slučajne varijable:
a=Mξ=, gdje je M matematičko očekivanje.
Slučajna varijabla je:
PRIMJER 4. eksponencijalna distribucija.
Ako je vrijeme slučajna varijabla, označimo je s τ, tako da
gdje je 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.
Srednja vrijednost slučajne varijable t je:
Gustoća raspodjele ima oblik:
4) Normalna raspodjela
Neka su nezavisne, identično raspoređene slučajne varijable i neka 
Ako su članovi dovoljno mali, a broj n dovoljno velik, - ako su za n à ∞ matematičko očekivanje slučajne varijable Mξ i varijance Dξ jednake Dξ=M(ξ–Mξ)2, takve da su Mξ~ a, Dξ~σ2, tada
- normalna ili Gaussova distribucija
.
5) Geometrijska raspodjela. Neka ξ označava broj pokušaja koji su prethodili prvom "uspjehu". Ako pretpostavimo da svaki test traje jedinicu vremena, tada ξ možemo smatrati vremenom čekanja do prvog "uspjeha". Distribucija izgleda ovako:
R(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0
6) Hipergeometrijska raspodjela.
Postoji N - objekata među kojima je n - "posebnih objekata". Među svim objektima, k-objekti su slučajno odabrani. Nađite vjerojatnost da je među odabranim objektima jednako r - "posebni objekti". Distribucija izgleda ovako:
7) Pascal distribucija.
Neka je x ukupan broj "neuspjeha" prije dolaska r-tog "uspjeha". Distribucija izgleda ovako:
Funkcija distribucije ima oblik:
Jednakovjerojatna distribucija podrazumijeva da slučajna varijabla x može uzeti bilo koju vrijednost na intervalu s istom vjerojatnošću. U ovom slučaju, gustoća distribucije se izračunava kao 
Dolje su prikazani dijagrami gustoće distribucije i funkcije distribucije.
Prije objašnjenja pojma "bijelog šuma" potrebno je dati niz definicija.
Slučajna funkcija je funkcija neslučajnog argumenta t, koji je za svaku fiksnu vrijednost argumenta slučajna varijabla. Na primjer, ako je U slučajna varijabla, tada je funkcija X(t)=t2U slučajna.
Odjeljak slučajne funkcije je slučajna varijabla koja odgovara fiksnoj vrijednosti argumenta slučajne funkcije. Stoga se slučajna funkcija može smatrati skupom slučajnih varijabli (X(t)), ovisno o parametru t.
Nasumična varijabla je varijabla koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o različitim okolnostima, te slučajnu varijablu nazivamo kontinuiranom , ako može uzeti bilo koju vrijednost iz nekog ograničenog ili neograničenog intervala. Za kontinuiranu slučajnu varijablu nemoguće je navesti sve moguće vrijednosti, stoga su označeni intervali tih vrijednosti koji su povezani s određenim vjerojatnostima.
Primjeri kontinuiranih slučajnih varijabli su: promjer dijela okrenutog na zadanu veličinu, visina osobe, domet projektila itd.
Budući da za kontinuirane slučajne varijable funkcija F(x), Za razliku od diskretne slučajne varijable, nema nigdje skokova, tada je vjerojatnost bilo koje pojedinačne vrijednosti kontinuirane slučajne varijable jednaka nuli.
To znači da za kontinuiranu slučajnu varijablu nema smisla govoriti o raspodjeli vjerojatnosti između njezinih vrijednosti: svaka od njih ima nultu vjerojatnost. Međutim, u određenom smislu, među vrijednostima kontinuirane slučajne varijable postoje "više i manje vjerojatne". Na primjer, malo je vjerojatno da će itko sumnjati da je vrijednost slučajne varijable - visina slučajno sretne osobe - 170 cm - vjerojatnija od 220 cm, iako se u praksi može pojaviti i jedna i druga vrijednost.
Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable i gustoća vjerojatnosti
Kao zakon distribucije, koji ima smisla samo za kontinuirane slučajne varijable, uvodi se pojam gustoće distribucije ili gustoće vjerojatnosti. Pristupimo tome uspoređujući značenje funkcije distribucije za kontinuiranu slučajnu varijablu i za diskretnu slučajnu varijablu.
Dakle, funkcija distribucije slučajne varijable (i diskretna i kontinuirana) odn integralna funkcija naziva se funkcija koja određuje vjerojatnost da vrijednost slučajne varijable x manja ili jednaka graničnoj vrijednosti x.
Za diskretnu slučajnu varijablu u točkama njezinih vrijednosti x1 , x 2 , ..., x ja,... koncentrirane mase vjerojatnosti str1 , str 2 , ..., str ja,..., a zbroj svih masa jednak je 1. Prenesimo ovu interpretaciju na slučaj kontinuirane slučajne varijable. Zamislite da masa jednaka 1 nije koncentrirana u odvojenim točkama, već je kontinuirano "razmazana" duž x-osi Vol s nekom neravnomjernom gustoćom. Vjerojatnost pogađanja slučajne varijable na bilo kojem mjestu Δ x tumačit će se kao masa koja se može pripisati ovom dijelu, a prosječna gustoća u ovom dijelu - kao omjer mase i duljine. Upravo smo predstavili važan koncept u teoriji vjerojatnosti: gustoću distribucije.
Gustoća vjerojatnosti f(x) kontinuirane slučajne varijable je derivacija njezine funkcije distribucije:
.
Poznavajući funkciju gustoće, možemo pronaći vjerojatnost da vrijednost kontinuirane slučajne varijable pripada zatvorenom intervalu [ a; b]:
vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla xće uzeti bilo koju vrijednost iz intervala [ a; b], jednak je određenom integralu svoje gustoće vjerojatnosti u rasponu od a prije b:
.
U ovom slučaju, opća formula funkcije F(x) distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable, koja se može koristiti ako je poznata funkcija gustoće f(x) :
.
Grafikon gustoće vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable naziva se krivulja njezine distribucije (slika dolje).
Područje figure (osjenčano na slici), omeđeno krivuljom, ravnim linijama izvučenim iz točaka a I b okomito na os apscisa, a os Oh, grafički prikazuje vjerojatnost da vrijednost kontinuirane slučajne varijable x je unutar raspona od a prije b.
Svojstva funkcije gustoće vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable
1. Vjerojatnost da će slučajna varijabla uzeti bilo koju vrijednost iz intervala (i područje figure koje je ograničeno grafom funkcije f(x) i os Oh) jednako je jedan:
2. Funkcija gustoće vjerojatnosti ne može imati negativne vrijednosti:
a izvan postojanja distribucije, njegova vrijednost je nula
Gustoća distribucije f(x), kao i funkcija raspodjele F(x), jedan je od oblika zakona distribucije, ali za razliku od funkcije distribucije, nije univerzalan: gustoća distribucije postoji samo za kontinuirane slučajne varijable.
Spomenimo dva u praksi najvažnija tipa distribucije kontinuirane slučajne varijable.
Ako funkcija gustoće distribucije f(x) kontinuirana slučajna varijabla u nekom konačnom intervalu [ a; b] ima konstantnu vrijednost C, a izvan intervala poprima vrijednost jednaku nuli, tada ovo raspodjela se naziva ravnomjerna .
Ako je graf funkcije gustoće distribucije simetričan u odnosu na središte, prosječne vrijednosti su koncentrirane blizu središta, a kada se odmiču od središta, skuplja se više različitih od prosjeka (graf funkcije nalikuje rezu zvono), zatim ovo raspodjela se naziva normalnom .
Primjer 1 Poznata je funkcija distribucije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable:
Pronađite značajku f(x) gustoća vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable. Iscrtajte grafove za obje funkcije. Odredite vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla poprimiti bilo koju vrijednost u rasponu od 4 do 8: .
Riješenje. Funkciju gustoće vjerojatnosti dobivamo pronalaženjem derivacije funkcije distribucije vjerojatnosti:
Grafikon funkcije F(x) - parabola:
Grafikon funkcije f(x) - ravna crta:
Nađimo vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla poprimiti bilo koju vrijednost u rasponu od 4 do 8:
Primjer 2 Funkcija gustoće vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable dana je kao:
Izračunajte faktor C. Pronađite značajku F(x) distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable. Iscrtajte grafove za obje funkcije. Odredite vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla poprimiti bilo koju vrijednost u rasponu od 0 do 5: .
Riješenje. Koeficijent C nalazimo, koristeći svojstvo 1 funkcije gustoće vjerojatnosti:
Dakle, funkcija gustoće vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable je:
Integrirajući, nalazimo funkciju F(x) distribucije vjerojatnosti. Ako x < 0 , то F(x) = 0 . Ako je 0< x < 10 , то
.
x> 10, dakle F(x) = 1 .
Dakle, puni zapis funkcije distribucije vjerojatnosti je:
Grafikon funkcije f(x) :
Grafikon funkcije F(x) :
Nađimo vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla poprimiti bilo koju vrijednost u rasponu od 0 do 5:
Primjer 3 Gustoća vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable x je dana jednakošću , dok je . Pronađite koeficijent A, vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla x uzima neku vrijednost iz intervala ]0, 5[, funkcije raspodjele kontinuirane slučajne varijable x.
Riješenje. Uvjetom dolazimo do jednakosti
Prema tome, odakle. Tako,
.
Sada nalazimo vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla xće uzeti bilo koju vrijednost iz intervala ]0, 5[:
Sada dobivamo funkciju distribucije ove slučajne varijable:
Primjer 4 Odredite gustoću vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable x, koji uzima samo nenegativne vrijednosti, i njegovu funkciju distribucije 
.
Pronaći:
a) parametar A ;
b) funkcija distribucije F(x) ;
c) vjerojatnost pogađanja slučajne varijable X u intervalu ;
d) matematičko očekivanje MX i varijanca DX .
Nacrtajte funkcije f(x) i F(x) .
Zadatak 2. Pronađite varijancu slučajne varijable X zadane integralnom funkcijom.
Zadatak 3. Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable X za danu funkciju distribucije.
Zadatak 4. Gustoća vjerojatnosti neke slučajne varijable dana je na sljedeći način: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Odredite koeficijent A , funkciju distribucije F(x) , matematičko očekivanje i varijancu, kao i vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednost u intervalu . Iscrtajte f(x) i F(x) grafove.
Zadatak. Funkcija distribucije neke kontinuirane slučajne varijable dana je na sljedeći način:
Odredite parametre a i b , pronađite izraz za gustoću vjerojatnosti f(x) , matematičko očekivanje i varijancu, kao i vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednost u intervalu . Iscrtajte f(x) i F(x) grafove.
Nađimo funkciju gustoće distribucije kao derivaciju funkcije distribucije.
F'=f(x)=a
Znajući da ćemo pronaći parametar a: 
ili 3a=1, odakle je a = 1/3
Parametar b nalazimo iz sljedećih svojstava:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 odakle je b = -1/3
Stoga je funkcija distribucije: F(x) = (x-1)/3
Disperzija.
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Nađite vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednost u intervalu
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
Primjer #1. Dana je gustoća distribucije vjerojatnosti f(x) kontinuirane slučajne varijable X. Potreban:
- Odredite koeficijent A .
- pronaći funkciju raspodjele F(x) .
- shematski nacrtati F(x) i f(x) .
- pronaći matematičko očekivanje i varijancu X .
- pronađite vjerojatnost da X uzme vrijednost iz intervala (2;3).
Riješenje:
Slučajna varijabla X dana je gustoćom distribucije f(x):
Nađi parametar A iz uvjeta:
ili
14/3*A-1=0
Gdje,
A = 3/14
Funkcija raspodjele može se pronaći pomoću formule.
SLUČAJNE VRIJEDNOSTI
Primjer 2.1. Slučajna vrijednost x dana funkcijom raspodjele
Pronađite vjerojatnost da kao rezultat testa x poprimit će vrijednosti između (2,5; 3,6).
Riješenje: x u intervalu (2,5; 3,6) može se odrediti na dva načina:
Primjer 2.2. Pri kojim vrijednostima parametara A I U funkcija F(x) = A + Be - x može biti funkcija distribucije za nenegativne vrijednosti slučajne varijable x.
Riješenje: Budući da su sve moguće vrijednosti slučajne varijable x pripadaju intervalu , tada kako bi funkcija bila distribucijska funkcija za x, nekretnina treba sadržavati:
.
Odgovor: 
.
Primjer 2.3. Slučajna varijabla X dana je funkcijom distribucije
Odredite vjerojatnost da će, kao rezultat četiri neovisna pokusa, vrijednost x točno 3 puta će uzeti vrijednost koja pripada intervalu (0,25; 0,75).
Riješenje: Vjerojatnost pogađanja vrijednosti x u intervalu (0,25; 0,75) nalazimo po formuli:
Primjer 2.4. Vjerojatnost da lopta pogodi koš u jednom bacanju je 0,3. Nacrtajte zakon raspodjele broja pogodaka u tri bacanja.
Riješenje: Slučajna vrijednost x- broj pogodaka u koš s tri bacanja - može poprimiti vrijednosti: 0, 1, 2, 3. Vjerojatnosti da x
x:
Primjer 2.5. Dva strijelca pogađaju metu jednom. Vjerojatnost da ga pogodi prvi strijelac je 0,5, a drugi 0,4. Napiši zakon raspodjele broja pogodaka u metu.
Riješenje: Pronađite zakon raspodjele diskretne slučajne varijable x- broj pogodaka u metu. Neka događaj bude pogodak u metu od strane prvog strijelca, i - pogodak od strane drugog strijelca, odnosno - njihovi promašaji.
Sastavimo zakon distribucije vjerojatnosti SV x:
Primjer 2.6. Testiraju se 3 elementa koji rade neovisno jedan o drugom. Trajanja vremena (u satima) rada bez kvara elemenata imaju funkcije gustoće raspodjele: za prvi: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, za drugu: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, za treću: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Naći vjerojatnost da će u vremenskom intervalu od 0 do 5 sati: otkazati samo jedan element; samo dva elementa neće uspjeti; otkazuju sva tri elementa.
Riješenje: Poslužimo se definicijom generirajuće funkcije vjerojatnosti:
Vjerojatnost da u neovisnim ispitivanjima, od kojih je prva vjerojatnost pojavljivanja događaja A jednako , u drugom, itd., događaj A pojavljuje točno jednom, jednak je koeficijentu pri u proširenju generirajuće funkcije u potencijama . Nađimo vjerojatnosti kvara, odnosno ne kvara prvog, drugog i trećeg elementa u vremenskom intervalu od 0 do 5 sati:
Kreirajmo generirajuću funkciju:
Koeficijent at jednak je vjerojatnosti da događaj A pojavit će se točno tri puta, odnosno vjerojatnost kvara sva tri elementa; koeficijent at jednak je vjerojatnosti da će točno dva elementa otkazati; koeficijent at je jednak vjerojatnosti da će samo jedan element otkazati.
Primjer 2.7. S obzirom na gustoću vjerojatnosti f(x) nasumična varijabla x:
Nađite funkciju distribucije F(x).
Riješenje: Koristimo formulu:
.
Dakle, funkcija distribucije ima oblik:
Primjer 2.8. Uređaj se sastoji od tri međusobno neovisna elementa. Vjerojatnost kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Sastavite zakon raspodjele broja neispravnih elemenata u jednom pokusu.
Riješenje: Slučajna vrijednost x- broj elemenata koji nisu uspjeli u jednom eksperimentu - može imati vrijednosti: 0, 1, 2, 3. Vjerojatnosti da x uzima ove vrijednosti, nalazimo Bernoullijevom formulom:
Dakle, dobivamo sljedeći zakon distribucije vjerojatnosti slučajne varijable x:
Primjer 2.9. Postoje 4 standardna dijela u lotu od 6 dijelova. Nasumično su odabrane 3 stavke. Nacrtajte zakon raspodjele broja standardnih dijelova među odabranima.
Riješenje: Slučajna vrijednost x- broj standardnih dijelova među odabranim - može poprimiti vrijednosti: 1, 2, 3 i ima hipergeometrijsku raspodjelu. Vjerojatnosti koje x
Gdje -- broj dijelova u lotu;
-- broj standardnih dijelova u seriji;
– broj odabranih dijelova;
-- broj standardnih dijelova među odabranima.
.
.
.
Primjer 2.10. Slučajna varijabla ima gustoću distribucije
gdje i nisu poznati, ali , a i . Pronađite i .
Riješenje: U ovom slučaju, slučajna varijabla x ima trokutastu distribuciju (Simpsonovu distribuciju) na intervalu [ a, b]. Numeričke karakteristike x:
Stoga, 
. Rješavajući ovaj sustav dobivamo dva para vrijednosti: . Budući da, prema uvjetu problema, konačno imamo: 
.
Odgovor: .
Primjer 2.11. U prosjeku za 10% ugovora osiguravajuće društvo isplaćuje osigurane svote u vezi s nastupom osiguranog slučaja. Izračunajte matematičko očekivanje i varijancu broja takvih ugovora među četiri nasumično odabrana.
Riješenje: Matematičko očekivanje i varijanca mogu se pronaći pomoću formula:
.
Moguće vrijednosti SV (broj ugovora (od četiri) s nastupom osiguranog slučaja): 0, 1, 2, 3, 4.
Koristimo Bernoullijevu formulu za izračun vjerojatnosti različitog broja ugovora (od četiri) za koje su isplaćene svote osiguranja:
.
Niz distribucije životopisa (broj ugovora s nastupom osiguranog slučaja) ima oblik:
| 0,6561 | 0,2916 | 0,0486 | 0,0036 | 0,0001 |
Odgovor: , .
Primjer 2.12. Od pet ruža dvije su bijele. Napišite zakon raspodjele za slučajnu varijablu koja izražava broj bijelih ruža između dvije uzete u isto vrijeme.
Riješenje: U uzorku od dvije ruže, može biti da nema bijele ruže ili može biti jedna ili dvije bijele ruže. Prema tome, slučajna varijabla x može poprimiti vrijednosti: 0, 1, 2. Vjerojatnosti koje x uzima ove vrijednosti, nalazimo formulom:
Gdje -- broj ruža;
-- broj bijelih ruža;
– broj istovremeno uzetih ruža;
-- broj bijelih ruža među uzetima.
.
.
.
Tada će zakon raspodjele slučajne varijable biti sljedeći:
Primjer 2.13. Od 15 sastavljenih jedinica, 6 ih je potrebno dodatno podmazivati. Nacrtajte zakon raspodjele broja jedinica kojima je potrebno dodatno podmazivanje, između pet nasumično odabranih od ukupnog broja.
Riješenje: Slučajna vrijednost x- broj jedinica koje trebaju dodatno podmazivanje među pet odabranih - može poprimiti vrijednosti: 0, 1, 2, 3, 4, 5 i ima hipergeometrijsku raspodjelu. Vjerojatnosti koje x uzima ove vrijednosti, nalazimo formulom:
Gdje -- broj sklopljenih jedinica;
-- broj jedinica koje zahtijevaju dodatno podmazivanje;
– broj odabranih agregata;
-- broj jedinica koje trebaju dodatno podmazivanje među odabranima.
.
.
.
.
.
.
Tada će zakon raspodjele slučajne varijable biti sljedeći:
Primjer 2.14. Od 10 satova pristiglih na popravak, 7 treba generalno čišćenje mehanizma. Satovi nisu razvrstani po vrsti popravka. Majstor, želeći pronaći sat koji treba očistiti, pregledava ih jedan po jedan i, pronašavši takav sat, zaustavlja daljnje gledanje. Pronađite matematičko očekivanje i varijancu broja gledanih sati.
Riješenje: Slučajna vrijednost x- broj jedinica koje trebaju dodatno podmazivanje među pet odabranih - može poprimiti sljedeće vrijednosti: 1, 2, 3, 4. Vjerojatnosti da x uzima ove vrijednosti, nalazimo formulom:
.
.
.
.
Tada će zakon raspodjele slučajne varijable biti sljedeći:
Sada izračunajmo numeričke karakteristike količine:
Odgovor: , .
Primjer 2.15. Pretplatnik je zaboravio posljednju znamenku telefonskog broja koji mu treba, ali se sjeća da je neparan. Nađite matematičko očekivanje i varijancu broja biranja koje je napravio prije nego što je pogodio željeni broj, ako nasumično bira zadnju znamenku i ubuduće ne bira biranu znamenku.
Riješenje: Slučajna varijabla može poprimiti vrijednosti: . Budući da pretplatnik u budućnosti ne bira biranu znamenku, vjerojatnosti ovih vrijednosti su jednake.
Sastavimo niz distribucije slučajne varijable:
| 0,2 |
Izračunajmo matematičko očekivanje i varijancu broja pokušaja biranja:
Odgovor: , .
Primjer 2.16. Vjerojatnost kvara tijekom testova pouzdanosti za svaki uređaj iz serije jednaka je str. Odredite matematičko očekivanje broja uređaja koji nisu uspjeli, ako su testirani N uređaji.
Riješenje: Diskretna slučajna varijabla X je broj neispravnih uređaja u N neovisni testovi, u svakom od kojih je vjerojatnost neuspjeha jednaka p, raspoređeni prema binomnom zakonu. Matematičko očekivanje binomne distribucije jednako je umnošku broja pokušaja i vjerojatnosti da će se događaj dogoditi u jednom pokušaju:
Primjer 2.17. Diskretna slučajna varijabla x uzima 3 moguće vrijednosti: s vjerojatnošću ; s vjerojatnošću i s vjerojatnošću . Nađi i znajući da je M( x) = 8.
Riješenje: Koristimo se definicijama matematičkog očekivanja i zakona distribucije diskretne slučajne varijable:
Pronašli smo: .
Primjer 2.18. Odjel tehničke kontrole provjerava standardnost proizvoda. Vjerojatnost da je stavka standardna je 0,9. Svaka serija sadrži 5 artikala. Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable x- broj serija od kojih svaka sadrži točno 4 standardna proizvoda, ako je verifikaciji 50 serija.
Riješenje: U ovom slučaju, svi provedeni eksperimenti su neovisni, a vjerojatnosti da svaka serija sadrži točno 4 standardna proizvoda su iste, stoga se matematičko očekivanje može odrediti formulom:
,
gdje je broj stranaka;
Vjerojatnost da serija sadrži točno 4 standardne stavke.
Vjerojatnost nalazimo pomoću Bernoullijeve formule:
Odgovor: 
.
Primjer 2.19. Pronađite varijancu slučajne varijable x– broj pojavljivanja događaja A u dva neovisna pokusa, ako su vjerojatnosti pojave događaja u tim pokusima iste i zna se da M(x) = 0,9.
Riješenje: Problem se može riješiti na dva načina.
1) Moguće CB vrijednosti x: 0, 1, 2. Koristeći Bernoullijevu formulu, određujemo vjerojatnosti ovih događaja:
,
,
.
Zatim zakon raspodjele x izgleda kao:
Iz definicije matematičkog očekivanja određujemo vjerojatnost:
Nađimo varijancu SW x:
.
2) Možete koristiti formulu:
.
Odgovor: 
.
Primjer 2.20. Matematičko očekivanje i standardna devijacija normalno distribuirane slučajne varijable x su 20 i 5. Odredite vjerojatnost da kao rezultat testa xće uzeti vrijednost sadržanu u intervalu (15; 25).
Riješenje: Vjerojatnost pogađanja normalne slučajne varijable x na odsječku od do izražava se pomoću Laplaceove funkcije:
Primjer 2.21. S obzirom na funkciju: 
Pri kojoj vrijednosti parametra C ova funkcija je gustoća distribucije neke kontinuirane slučajne varijable x? Nađite matematičko očekivanje i varijancu slučajne varijable x.
Riješenje: Da bi funkcija bila gustoća distribucije neke slučajne varijable, mora biti nenegativna i mora zadovoljavati svojstvo:
.
Stoga:
Izračunajte matematičko očekivanje pomoću formule:
.
Izračunajte varijancu pomoću formule:
T je str. Potrebno je pronaći matematičko očekivanje i varijancu ove slučajne varijable.
Riješenje: Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X - broj pojavljivanja događaja u neovisnim pokusima, u svakom od kojih je vjerojatnost pojavljivanja događaja , naziva se binom. Matematičko očekivanje binomne distribucije jednako je umnošku broja pokušaja i vjerojatnosti pojavljivanja događaja A u jednom pokušaju:
.
Primjer 2.25. U metu se ispaljuju tri neovisna hica. Vjerojatnost da pogodite svaki hitac je 0,25. Odredite standardnu devijaciju broja pogodaka s tri hica.
Riješenje: Budući da se izvode tri neovisna pokusa, a vjerojatnost pojavljivanja događaja A (pogodak) u svakom pokusu je ista, pretpostavit ćemo da je diskretna slučajna varijabla X - broj pogodaka na meti - raspoređena prema binomu zakon.
Varijanca binomne distribucije jednaka je umnošku broja pokušaja i vjerojatnosti pojavljivanja i nepojavljivanja događaja u jednom pokušaju:
Primjer 2.26. Prosječan broj klijenata koji posjete osiguravajuće društvo u 10 minuta je tri. Odredite vjerojatnost da barem jedan kupac stigne u sljedećih 5 minuta.
Prosječan broj kupaca koji dolaze za 5 minuta: 
. .
Primjer 2.29. Vrijeme čekanja aplikacije u redu čekanja procesora podliježe eksponencijalnom zakonu raspodjele s prosječnom vrijednošću od 20 sekundi. Nađite vjerojatnost da će sljedeći (proizvoljni) zahtjev čekati procesor dulje od 35 sekundi.
Riješenje: U ovom primjeru, očekivanje 
, a stopa neuspjeha je .
Tada je željena vjerojatnost:
Primjer 2.30. Grupa od 15 studenata održava sastanak u dvorani od 20 redova po 10 sjedećih mjesta. Svaki učenik nasumično zauzima mjesto u dvorani. Kolika je vjerojatnost da se na sedmom mjestu u nizu ne nađu više od tri osobe?
Riješenje:
Primjer 2.31.
Tada prema klasičnoj definiciji vjerojatnosti:
Gdje -- broj dijelova u lotu;
-- broj nestandardnih dijelova u seriji;
– broj odabranih dijelova;
-- broj nestandardnih dijelova među odabranima.
Tada će zakon raspodjele slučajne varijable biti sljedeći.
matematičko očekivanje diskretna slučajna varijabla naziva se:
U slučaju beskonačnog skupa vrijednosti, postoji niz na desnoj strani (4.4), a mi ćemo razmotriti samo one vrijednosti X za koje ovaj niz apsolutno konvergira.
M(X) je prosječna očekivana vrijednost slučajne varijable. Ima sljedeća svojstva:
1) M(C)=C, gdje je C=konst
2) M(CX)=CM(X) (4,5)
3) M (X+Y)=M(X)+M(Y), za bilo koji X i Y.
4) M (XY)=M (X)M(Y) ako su X i Y neovisni.
Procijeniti stupanj disperzije vrijednosti slučajne varijable oko njezine srednje vrijednosti M(X)= A uvode se pojmovi disperzijaD(X) i srednje kvadratno (standardno) odstupanje. disperzija naziva se očekivanje kvadrata razlike (X- ), oni. :
D(X)=M(X-) 2 = p i,
Gdje =M(X); definira se kao kvadratni korijen varijance, tj. 
.
Za izračun varijance upotrijebite formulu:
(4.6)
Svojstva varijance i standardne devijacije:
1) D(C)=0, gdje je C=const
2) D(CX)=C 2 D(X), (CX)= çCç(X) (4.7)
3) D(X+Y) =D(X)+D(Y),
ako su X i Y neovisni.
Dimenzija veličina i podudara se s dimenzijom same slučajne varijable X, a dimenzija D(X) jednaka je kvadratu dimenzije slučajne varijable X.
4.3. Matematičke operacije nad slučajnim varijablama.
Neka slučajna varijabla X poprima vrijednosti s vjerojatnostima, a slučajna varijabla Y poprima vrijednosti s vjerojatnostima vrijednosti slučajne varijable X. Stoga njen zakon distribucije ima oblik tablica 4.2:
Tablica 4.2
| ... | ||||
| ... |
Kvadrat slučajna varijabla X, tj. , je nova slučajna varijabla koja, s istim vjerojatnostima kao slučajna varijabla X, poprima vrijednosti jednake kvadratima svojih vrijednosti.
Iznos slučajne varijable X i Y je nova slučajna varijabla koja poprima sve vrijednosti oblika s vjerojatnostima koje izražavaju vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi vrijednost, a Y - vrijednost, tj.
(4.8)
Ako su slučajne varijable X i Y neovisne, tada:
Slično se definira razlika i umnožak slučajnih varijabli X i Y.
Razlika slučajne varijable X i Y je nova slučajna varijabla koja uzima sve vrijednosti oblika, i raditi- sve vrijednosti oblika s vjerojatnostima određenim formulom (4.8), a ako su slučajne varijable X i Y neovisne, onda formulom (4.9).
4.4. Bernoullijeva i Poissonova raspodjela.
Razmotrimo niz od n identičnih ponovnih testova koji zadovoljavaju sljedeće uvjete:
1. Svaki pokušaj ima dva ishoda, koji se nazivaju uspjeh i neuspjeh.
Ova dva ishoda su međusobno nekompatibilni i suprotni događaji.
2. Vjerojatnost uspjeha, označena s p, ostaje konstantna od pokušaja do pokušaja. Vjerojatnost kvara je označena sa q.
3. Svih n pokusa je neovisno. To znači da vjerojatnost da se događaj dogodi u bilo kojem od n ponovljenih pokusa ne ovisi o rezultatima drugih pokusa.
Vjerojatnost da će se u n neovisnih ponovljenih pokušaja, u svakom od kojih je vjerojatnost pojavljivanja događaja jednaka , događaj dogoditi točno m puta (u bilo kojem nizu), jednaka je
(4.10)
Izraz (4.10) naziva se Bernoullijeva formula.
Vjerojatnosti da će se događaj dogoditi:
a) manje od m puta,
b) više od m puta,
c) najmanje m puta,
d) ne više od m puta - nalaze se prema formulama:
Binom je zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X - broj pojavljivanja događaja u n neovisnih pokušaja, u svakom od kojih je vjerojatnost događanja događaja jednaka p; vjerojatnosti mogućih vrijednosti X = 0,1,2,..., m,...,n izračunavaju se pomoću Bernoullijeve formule (tablica 4.3).
Tablica 4.3
| Broj uspjeha X=m | ... | m | ... | n | |||
| Vjerojatnost P | ... | ... |
Budući da desna strana formule (4.10) predstavlja opći član binomnog proširenja, ovaj se zakon raspodjele naziva binomni. Za slučajnu varijablu X, raspodijeljenu prema binomnom zakonu, imamo.