Povijest Farmovog velikog teorema. Feliks Kirsanov
Veliki teorem Farm Singh Simon
"Je li Fermatov posljednji teorem dokazan?"
Bio je to samo prvi korak prema dokazivanju Taniyama-Shimura pretpostavke, ali strategija koju je izabrao Wiles bila je briljantan matematički pomak, rezultat koji je zaslužio biti objavljen. Ali zbog zavjeta šutnje koji je Wiles sam sebi nametnuo, nije mogao ostatku svijeta reći rezultat i nije imao pojma tko bi drugi mogao napraviti tako značajan iskorak.
Wiles se prisjeća svog filozofskog stava prema svakom potencijalnom izazivaču: “Nitko ne želi potrošiti godine dokazujući nešto i otkriti da je netko drugi uspio pronaći dokaz nekoliko tjedana ranije. Ali, začudo, budući da sam pokušavao riješiti problem koji se u biti smatrao nerješivim, nisam se previše bojao svojih protivnika. Samo nisam očekivao da ću ja ili bilo tko drugi doći na ideju koja bi dovela do dokaza."
8. ožujka 1988. Wiles je bio šokiran kada je na naslovnici ugledao naslove velikim slovima koji su glasili: "Fermatov posljednji teorem dokazan." Washington Post i New York Times objavili su da je 38-godišnji Yoichi Miyaoka sa sveučilišta Tokyo Metropolitan riješio najteži matematički problem na svijetu. Do sada, Miyaoka još nije objavio svoj dokaz, ali je zacrtao njegov tijek na seminaru na Max Planck institutu za matematiku u Bonnu. Don Zagier, koji je prisustvovao Miyaokinom izvješću, izrazio je optimizam matematičke zajednice sljedećim riječima: “Dokaz koji je Miyaoka iznio iznimno je zanimljiv, a neki matematičari vjeruju da će se s velikom vjerojatnošću pokazati točnim. Još nema sigurnosti, ali zasad dokazi izgledaju vrlo ohrabrujuće.”
Govoreći na seminaru u Bonnu, Miyaoka je govorio o svom pristupu rješavanju problema koji je razmatrao s potpuno drugačijeg, algebro-geometrijskog stajališta. Tijekom proteklih desetljeća geometri su postigli duboko i suptilno razumijevanje matematičkih objekata, posebno svojstava površina. Sedamdesetih godina prošlog stoljeća ruski matematičar S. Arakelov pokušao je uspostaviti paralele između problema iz algebarske geometrije i problema iz teorije brojeva. To je bila jedna od linija Langlandsova programa i matematičari su se nadali da bi se neriješeni problemi u teoriji brojeva mogli riješiti proučavanjem odgovarajućih problema u geometriji, koji su također ostali neriješeni. Takav program bio je poznat kao filozofija konkurentnosti. Oni algebarski geometri koji su pokušavali riješiti probleme u teoriji brojeva nazvani su "aritmetički algebarski geometri". Godine 1983. najavili su svoju prvu značajnu pobjedu kada je Gerd Faltings s Princetonskog instituta za napredne studije dao značajan doprinos razumijevanju Fermatovog teorema. Podsjetimo se da je, prema Fermatu, jednadžba
na n veći od 2 nema rješenja u cijelim brojevima. Faltings je mislio da je napravio napredak u dokazivanju posljednjeg Fermatovog teorema proučavanjem geometrijskih površina povezanih s različitim vrijednostima n. Površine pridružene Fermatovim jednadžbama za različite vrijednosti n, razlikuju se jedni od drugih, ali imaju jedno zajedničko svojstvo - svi imaju prolazne rupe, ili, jednostavno govoreći, rupe. Te su plohe četverodimenzionalne, kao i grafovi modularnih oblika. Dvodimenzionalni presjeci dviju površina prikazani su na sl. 23. Površine povezane s Fermatovom jednadžbom izgledaju slično. Što je vrijednost veća n u jednadžbi, što je više rupa na odgovarajućoj površini.
Riža. 23. Ove dvije površine dobivene su pomoću računalnog programa Mathematica. Svaka od njih predstavlja geometrijsko mjesto točaka koje zadovoljavaju jednadžbu x n + y n = z n(za površinu s lijeve strane n=3, za površinu s desne strane n=5). Varijable x I g smatraju se složenima.
Faltings je uspio dokazati da, budući da takve površine uvijek imaju nekoliko rupa, povezana Fermatova jednadžba može imati samo konačan skup rješenja u cijelim brojevima. Broj rješenja može biti bilo koji, od nule, kako je predložio Fermat, do milijun ili milijardu. Dakle, Faltings nije dokazao posljednji Fermatov teorem, ali je barem uspio odbaciti mogućnost da bi Fermatova jednadžba mogla imati beskonačno mnogo rješenja.
Pet godina kasnije, Miyaoka je izvijestio da je otišao korak dalje. Bio je tada u ranim dvadesetima. Miyaoka je formulirao pretpostavku o nekoj nejednakosti. Postalo je jasno da bi dokazivanje njegove geometrijske pretpostavke značilo dokazivanje da broj rješenja Fermatove jednadžbe nije samo konačan, već jednak nuli. Miyaokin pristup bio je sličan Wilesovom po tome što su obojica pokušali dokazati Fermatov posljednji teorem povezujući ga s temeljnom pretpostavkom u drugom području matematike. Za Miyaoku je to bila algebarska geometrija, za Wilesa je put do dokaza ležao kroz eliptične krivulje i modularne forme. Na veliku Wilesovu žalost, još uvijek se mučio s dokazom Taniyama-Shimura pretpostavke kada je Miyaoka tvrdio da ima potpuni dokaz svoje vlastite pretpostavke, a time i Fermatovog posljednjeg teorema.
Dva tjedna nakon svog govora u Bonnu, Miyaoka je objavio pet stranica izračuna koji su činili srž njegovog dokaza, te je započela temeljita provjera. Teoretičari brojeva i algebarske geometrije diljem svijeta proučavali su redak po redak, objavljivali izračune. Nekoliko dana kasnije, matematičari su otkrili jednu kontradikciju u dokazu, što nije moglo ne izazvati zabrinutost. Jedan dio Miyaokina rada doveo je do tvrdnje iz teorije brojeva, iz koje je, prevedeno na jezik algebarske geometrije, dobivena tvrdnja koja je u suprotnosti s rezultatom dobivenim nekoliko godina ranije. Iako ovo nije nužno poništilo cijeli Miyaokin dokaz, otkrivena razlika nije se uklapala u filozofiju paralelizma između teorije brojeva i geometrije.
Dva tjedna kasnije, Gerd Faltings, koji je otvorio put Miyaokeu, objavio je da je otkrio točan uzrok očitog kršenja paralelnosti - prazninu u razmišljanju. Japanski matematičar bio je geometar i nije bio apsolutno striktan u prevođenju svojih ideja na manje poznato područje teorije brojeva. Vojska teoretičara brojeva očajnički se trudila pokrpati rupu u Miyaokijevom dokazu, ali uzalud. Dva mjeseca nakon što je Miyaoka objavio da ima potpuni dokaz Fermatovog posljednjeg teorema, matematička zajednica došla je do jednoglasnog zaključka da je Miyaokin dokaz osuđen na neuspjeh.
Kao iu slučaju prethodnih neuspjelih dokaza, Miyaoka je uspio dobiti mnoge zanimljive rezultate. Dijelovi njegovih dokaza zaslužuju pozornost kao vrlo domišljate primjene geometrije na teoriju brojeva, a kasnijih godina i drugi su ih matematičari koristili za dokazivanje određenih teorema, ali nitko nije uspio na ovaj način dokazati Posljednji Fermatov teorem.
Pompa oko Fermatova posljednjeg teorema ubrzo je utihnula, a novine su prenijele kratke bilješke u kojima se govorilo da je tristo godina stara zagonetka još uvijek neriješena. Na zidu postaje njujorške podzemne željeznice u Osmoj ulici pojavio se sljedeći natpis, bez sumnje inspiriran tiskovnim objavama o Fermatovom posljednjem teoremu: "Jednadžba xn + god = zn nema rješenja. Našao sam zaista nevjerojatan dokaz za tu činjenicu, ali ne mogu ga ovdje zapisati jer je moj vlak stigao.
10. POGLAVLJE FARMA KROKODILA Vozili su se slikovitom cestom u starom Johnovom automobilu, sjedeći na stražnjim sjedalima. Za upravljačem je bio crni vozač u košulji jarkih boja s neobično ošišanom glavom. Grmovi crne kose, tvrdi poput žice, dizali su se na obrijanoj lubanji, logika
Priprema utrke. Alaska, Iditarod Farm Linde Pletner je godišnja utrka psećih zaprega na Aljasci. Dužina rute je 1150 milja (1800 km). Ovo je najduža utrka psećih zaprega na svijetu. Start (ceremonijalni) - 4. ožujka 2000. iz Anchoragea. Početak
Farma koza Ljeti ima puno posla u selu. Kada smo posjetili selo Khomutets, kosilo se sijeno i činilo se da mirisni valovi svježe pokošene trave natapaju sve okolo.Travu je potrebno kositi na vrijeme da ne prezre, tada će se u njoj sačuvati sve vrijedno i hranjivo. Ovaj
Ljetna farma Slama, kao ruka munje, u staklenu travu Drugi, potpisavši se na ogradi, zapali vatru zelene čaše Vode u koritu konja. U plavi sumrak Luta, njišući se, devet pataka po kolotečini duha paralelnih crta. Ovdje je kokoš koja sama gleda u ništa
Srušena farma Mirno sunce, kao cvijet tamnocrven, Spusti se na zemlju, raste u zalazak, Ali zavjesa noći u besposlenoj snazi Trzala je svijet, koji je smetao pogledu. Tišina vladala na imanju bez krova, Kao da joj je netko počupao kosu, Posvađali se oko kaktusa.
Farma ili dvorište? Dana 13. veljače 1958. sve središnje moskovske, a potom i regionalne novine objavile su odluku Centralnog komiteta Komunističke partije Ukrajine "O pogrešci pri kupnji krava od kolhoza u Zaporožskoj oblasti". Nije se radilo čak ni o cijeloj regiji, već o dva njezina okruga: Primorskom
Fermatov problem Godine 1963., kada je imao samo deset godina, Andrew Wiles je već bio fasciniran matematikom. “U školi sam volio rješavati zadatke, nosio sam ih kući i iz svakog problema smišljao nove. Ali najbolji problem na koji sam ikada naišao, pronašao sam u lokalu
Od Pitagorinog teorema do Fermatovog posljednjeg teorema O Pitagorinom teoremu i beskonačnom broju Pitagorinih trojki raspravljalo se u knjizi E.T. Bellov "The Great Problem" - ista knjiga iz knjižnice koja je privukla pozornost Andrewa Wilesa. I premda su pitagorejci dosegli gotovo potpunu
Matematika nakon dokaza Fermatovog posljednjeg teorema Čudno je da je i sam Wiles imao pomiješane osjećaje o svom izvješću: “Povod za govor bio je vrlo dobro odabran, ali je samo predavanje u meni pobudilo pomiješane osjećaje. Radite na dokazu
POGLAVLJE 63 Farma starog McLennona Otprilike mjesec i pol nakon povratka u New York jedne od "studenih večeri" zazvonio je telefon u stanu Lennonovih. Yoko je podigla slušalicu. Portorikanski muški glas upitao je Yoko Ono.
Pontryaginov teorem Istodobno s konzervatorijem, tata je studirao na Moskovskom državnom sveučilištu, na Mehanici i matematici. Uspješno ga je diplomirao i čak se neko vrijeme dvoumio oko izbora zanimanja. Pobijedila je muzikologija, zbog čega je imao koristi od svog matematičkog načina razmišljanja.Jedan od očevih kolega studenata
Teorem Teorem o pravu vjerske zajednice na izbor svećenika treba dokazati. Ona glasi ovako: "Pravoslavna zajednica se stvara... pod duhovnim vodstvom svećenika kojeg je zajednica izabrala i koji je dobio blagoslov eparhijskog episkopa."
I. Salaš (“Evo, od kokošjeg gnoja…”) Evo, od kokošjeg gnoja Jedan spas je metla. Ljubav - što se računa? - Odveli su me u kokošinjac. Kljuckaju zrno, kokoši kokodaču, pijetlovi važno marširaju. I bez veličine i cenzure Pjesme se slažu u mislima. O provansalskom poslijepodnevu
Pierre de Fermat, čitajući "Aritmetiku" Diofanta Aleksandrijskog i razmišljajući o njenim problemima, imao je naviku zapisati rezultate svojih razmišljanja u obliku kratkih napomena na marginama knjige. Protiv osmog Diofantovog problema na marginama knjige, Fermat je napisao: " Naprotiv, nemoguće je rastaviti ni kocku na dvije kocke, ni bikvadrat na dva bikvadrata, i općenito nijedan stupanj veći od kvadrata na dvije potencije s istim eksponentom. Otkrio sam doista čudesan dokaz za to, ali ove su margine preuske za to.» / E.T.Bell "Kreatori matematike". M., 1979, str.69/. Predstavljam vam elementarni dokaz teoreme o farmi, koji može razumjeti svaki srednjoškolac koji voli matematiku.
Usporedimo Fermatov komentar Diofantovog problema sa suvremenom formulacijom velikog Fermatovog teorema, koji ima oblik jednadžbe.
« Jednadžba
x n + y n = z n(gdje je n cijeli broj veći od dva)
nema rješenja u prirodnim brojevima»
Komentar je u logičkoj vezi sa zadatkom, slično logičkoj vezi predikata sa subjektom. Ono što potvrđuje Diofantov problem, naprotiv, potvrđuje Fermatov komentar.
Fermatov komentar može se protumačiti na sljedeći način: ako kvadratna jednadžba s tri nepoznanice ima beskonačan broj rješenja na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva, tada, naprotiv, jednadžba s tri nepoznanice u stupnju većem od kvadrata
U jednadžbi nema čak ni naznake njegove povezanosti s Diofantovim problemom. Njegova tvrdnja zahtijeva dokaz, ali nema uvjet iz kojeg slijedi da nema rješenja u prirodnim brojevima.
Meni poznate varijante dokaza jednadžbe svode se na sljedeći algoritam.
- Kao njegov zaključak uzima se jednadžba Fermatovog teorema čija se valjanost provjerava uz pomoć dokaza.
- Ista se jednadžba zove izvornik jednadžba iz koje mora poći njegov dokaz.
Rezultat je tautologija: Ako jednadžba nema rješenja u prirodnim brojevima, onda nema rješenja u prirodnim brojevima.". Dokaz tautologije očito je pogrešan i lišen svakog smisla. Ali to je dokazano kontradikcijom.
- Napravljena je pretpostavka koja je suprotna od one navedene u jednadžbi koju treba dokazati. Ne bi trebalo proturječiti izvornoj jednadžbi, ali jest. Dokazivati ono što je prihvaćeno bez dokaza, i prihvatiti bez dokaza ono što se traži da se dokaže, nema smisla.
- Na temelju prihvaćene pretpostavke izvode se apsolutno ispravne matematičke operacije i radnje kako bi se dokazalo da je proturječna izvornoj jednadžbi i da je netočna.
Stoga je već 370 godina dokaz jednadžbe Posljednjeg Fermatovog teorema ostao neostvariv san stručnjaka i zaljubljenika u matematiku.
Jednadžbu sam uzeo kao zaključak teoreme, a Diofantov osmi problem i njegovu jednadžbu kao uvjet teoreme.
„Ako jednadžba x2 + y2 = z2
(1) ima beskonačan skup rješenja na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva, tada, obrnuto, jednadžba x n + y n = z n
, Gdje n > 2
(2) nema rješenja na skupu pozitivnih cijelih brojeva."
Dokaz.
A) Svi znaju da jednadžba (1) ima beskonačan broj rješenja na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva. Dokažimo da nijedna trojka Pitagorinih brojeva, koja je rješenje jednadžbe (1), nije rješenje jednadžbe (2).
Na temelju zakona reverzibilnosti jednakosti strane jednadžbe (1) su zamijenjene. Pitagorini brojevi (z, x, y) mogu se tumačiti kao duljine stranica pravokutnog trokuta, a kvadrati (x2, y2, z2) može se tumačiti kao površine kvadrata izgrađenih na njegovoj hipotenuzi i katetama.
Množimo kvadrate jednadžbe (1) s proizvoljnom visinom h :
z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)
Jednadžbu (3) možemo protumačiti kao jednakost obujma paralelopipeda zbroju obujma dvaju paralelopipeda.
Neka je visina tri paralelopipeda h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
Volumen kocke rastavljen je na dva volumena dva paralelopipeda. Volumen kocke ostavljamo nepromijenjen, a visinu prvog paralelopipeda smanjujemo na x a visina drugog paralelopipeda smanjit će se na g . Volumen kocke je veći od zbroja volumena dviju kocki:
z 3 > x 3 + y 3 (5)
Na skupu trojki Pitagorinih brojeva ( x, y, z ) na n=3 ne može postojati rješenje jednadžbe (2). Posljedično, na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva nemoguće je kocku rastaviti na dvije kocke.
Neka je u jednadžbi (3) visina triju paralelopipeda h = z2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Volumen paralelopipeda rastavlja se na zbroj volumena dvaju paralelopipeda.
Lijevu stranu jednadžbe (6) ostavljamo nepromijenjenom. S njegove desne strane vis z2
smanjiti na x
u prvom mandatu i do u 2
u drugom mandatu.
Jednadžba (6) se pretvorila u nejednadžbu:
Volumen paralelopipeda rastavljamo na dva volumena dva paralelopipeda.
Lijevu stranu jednadžbe (8) ostavljamo nepromijenjenom.
Na desnoj strani vis zn-2
smanjiti na xn-2
u prvom članu i svesti na y n-2
u drugom mandatu. Jednadžba (8) prelazi u nejednadžbu:
| z n > x n + y n | (9) |
Na skupu trojki Pitagorinih brojeva ne može postojati jedno rješenje jednadžbe (2).
Posljedično, na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva za sve n > 2 jednadžba (2) nema rješenja.
Dobiven "post miraculous proof", ali samo za trojke Pitagorini brojevi. Ovo je nedostatak dokaza i razlog odbijanja P. Fermata od njega.
b) Dokažimo da jednadžba (2) nema rješenja na skupu trojki nepitagorinih brojeva, koji je obitelj proizvoljno uzete trojke pitagorinih brojeva z=13, x=12, y=5 i obitelji proizvoljne trojke pozitivnih cijelih brojeva z=21, x=19, y=16
Obje trojke brojeva članovi su svojih obitelji:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Broj članova obitelji (10) i (11) jednak je polovici umnoška 13 sa 12 i 21 sa 20, tj. 78 i 210.
Svaki član obitelji (10) sadrži z = 13 i varijable x I na 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1
Svaki član obitelji (11) sadrži z = 21 i varijable x I na , koji uzimaju cjelobrojne vrijednosti 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Varijable se sekvencijalno smanjuju za 1 .
Trojke brojeva niza (10) i (11) mogu se prikazati kao niz nejednakosti trećeg stupnja:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
i to u obliku nejednakosti četvrtog stupnja:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Točnost svake nejednakosti provjerava se dizanjem brojeva na treću i četvrtu potenciju.
Kocka većeg broja ne može se rastaviti na dva kocka manjih brojeva. On je manji ili veći od zbroja kubova dvaju manjih brojeva.
Bikvadrat većeg broja ne može se rastaviti na dva bikvadrata manjih brojeva. Ili je manji ili veći od zbroja bi-kvadrata manjih brojeva.
Kako eksponent raste, sve nejednakosti, osim krajnje lijeve nejednakosti, imaju isto značenje:
Nejednakosti, sve imaju isto značenje: stupanj većeg broja veći je od zbroja stupnjeva dvaju manjih brojeva s istim eksponentom:
| 13n > 12n + 12n ; 13n > 12n + 11n ;…; 13n > 7n + 4n ;…; 13n > 1n + 1n | (12) | |
| 21n > 20n + 20n ; 21n > 20n + 19n ;…; ;…; 21n > 1n + 1n | (13) |
Krajnji lijevi član nizova (12) (13) je najslabija nejednadžba. Njegova ispravnost određuje ispravnost svih sljedećih nejednakosti niza (12) za n > 8 i niz (13) za n > 14 .
Među njima ne može biti jednakosti. Proizvoljna trojka pozitivnih cijelih brojeva (21,19,16) nije rješenje jednadžbe (2) Fermatovog posljednjeg teorema. Ako proizvoljna trojka prirodnih brojeva nije rješenje jednadžbe, onda jednadžba nema rješenja na skupu prirodnih brojeva, što je trebalo i dokazati.
S) Fermatov komentar o Diofantovom problemu kaže da ga je nemoguće rastaviti " općenito, nema veće potencije od kvadrata, dvije potencije s istim eksponentom».
Poljubac potencija veća od kvadrata zapravo se ne može rastaviti na dvije potence s istim eksponentom. ne ljubim potenciju veću od kvadrata možemo rastaviti na dvije potencije s istim eksponentom.
Bilo koja nasumično odabrana trojka pozitivnih cijelih brojeva (z, x, y) mogu pripadati obitelji čiji se svaki član sastoji od stalnog broja z a dva broja manje od z . Svaki član obitelji može se prikazati u obliku nejednakosti, a sve nejednakosti koje iz toga proizlaze mogu se prikazati kao niz nejednakosti:
| z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1n + 1n | (14) |
Niz nejednadžbi (14) počinje nejednadžbama čija je lijeva strana manja od desne i završava nejednadžbama čija je desna strana manja od lijeve strane. Uz rastući eksponent n > 2 povećava se broj nejednakosti na desnoj strani niza (14). S eksponentom n=k sve nejednakosti s lijeve strane niza mijenjaju svoje značenje i poprimaju značenje nejednakosti s desne strane nejednakosti niza (14). Kao rezultat porasta eksponenta svih nejednakosti, lijeva strana je veća od desne strane:
| z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; zk > 2k + 1k ; zk > 1k + 1k | (15) |
Daljnjim povećanjem eksponenta n>k nijedna od nejednakosti ne mijenja svoje značenje i ne prelazi u jednakost. Na temelju toga može se tvrditi da svaka proizvoljno uzeta trojka pozitivnih cijelih brojeva (z, x, y) na n > 2 , z > x , z > y
U proizvoljnoj trojci prirodnih brojeva z može biti proizvoljno velik prirodan broj. Za sve prirodne brojeve koji nisu veći od z , Fermatov posljednji teorem je dokazan.
D) Bez obzira koliki je broj z , u prirodnom nizu brojeva prije njega postoji velik, ali konačan skup cijelih brojeva, a nakon njega postoji beskonačan skup cijelih brojeva.
Dokažimo da je cijeli beskonačni skup prirodnih brojeva veći od z tvore trojke brojeva koji nisu rješenja jednadžbe Fermatovog posljednjeg teorema, na primjer, proizvoljna trojka pozitivnih cijelih brojeva (z+1,x,y) , pri čemu z + 1 > x I z + 1 > y za sve vrijednosti eksponenta n > 2 nije rješenje jednadžbe Fermatovog posljednjeg teorema.
Nasumično odabrana trojka pozitivnih cijelih brojeva (z + 1, x, y) može pripadati obitelji trojki brojeva, čiji se svaki član sastoji od konstantnog broja z + 1 i dva broja x I na , uzimajući različite vrijednosti, manje z + 1 . Članovi obitelji mogu se predstaviti kao nejednakosti čija je konstantna lijeva strana manja ili veća od desne strane. Nejednadžbe se mogu poredati po redu kao niz nejednakosti:
Daljnjim povećanjem eksponenta n>k do beskonačnosti niti jedna nejednadžba u nizu (17) ne mijenja svoje značenje i ne postaje jednakost. U nizu (16) nejednadžba je nastala od proizvoljno uzete trojke prirodnih brojeva (z + 1, x, y) , može biti na desnoj strani u obliku (z + 1) n > x n + y n ili biti na njegovoj lijevoj strani u obliku (z+1)n< x n + y n .
U svakom slučaju, trojka pozitivnih cijelih brojeva (z + 1, x, y) na n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y u nizu (16) je nejednadžba i ne može biti jednakost, tj. ne može biti rješenje jednadžbe Fermatovog posljednjeg teorema.
Lako je i jednostavno razumjeti podrijetlo niza potencijskih nejednakosti (16) u kojem su zadnja nejednadžba lijeve strane i prva nejednadžba desne strane nejednadžbe suprotnog smisla. Naprotiv, školarcima, srednjoškolcima i srednjoškolcima nije lako i teško shvatiti kako od niza nejednakosti (16) nastaje niz nejednakosti (17) u kojem sve nejednakosti imaju isto značenje.
U nizu (16) povećavanje cjelobrojnog stupnja nejednakosti za 1 pretvara posljednju nejednadžbu na lijevoj strani u prvu nejednadžbu suprotnog značenja na desnoj strani. Tako se broj nejednakosti na devetoj strani niza smanjuje, a broj nejednakosti na desnoj strani raste. Između posljednje i prve nejednakosti snaga suprotnog značenja postoji neizostavna jednakost snaga. Njegov stupanj ne može biti cijeli broj, budući da između dva uzastopna prirodna broja postoje samo necijeli brojevi. Jednakost potencije necijelog stupnja, prema uvjetu teorema, ne može se smatrati rješenjem jednadžbe (1).
Ako u nizu (16) nastavimo povećavati stupanj za 1 jedinicu, tada će se posljednja nejednadžba njegove lijeve strane pretvoriti u prvu nejednadžbu suprotnog značenja desne strane. Kao rezultat toga, neće biti nejednakosti na lijevoj strani, a samo nejednakosti na desnoj strani, što će biti slijed rastućih nejednakosti snaga (17). Daljnji porast njihovog cijelog stupnja za 1 jedinicu samo pojačava njegove nejednakosti snaga i kategorički isključuje mogućnost pojave jednakosti u cijelom stupnju.
Stoga, općenito, nijedna cjelobrojna potencija prirodnog broja (z+1) niza potencijskih nejednadžbi (17) ne može se rastaviti na dvije cjelobrojne potence s istim eksponentom. Dakle, jednadžba (1) nema rješenja na beskonačnom skupu prirodnih brojeva, što je trebalo dokazati.
Stoga je posljednji Fermatov teorem dokazan u svoj općenitosti:
- u odjeljku A) za sve trojke (z, x, y) Pitagorini brojevi (Fermatovo otkriće je doista čudesan dokaz),
- u odjeljku C) za sve članove obitelji bilo kojeg trojca (z, x, y) pitagorini brojevi,
- u odjeljku C) za sve trojke brojeva (z, x, y) , ne velike brojke z
- u odjeljku D) za sve trojke brojeva (z, x, y) prirodni niz brojeva.
|
Izmjene su izvršene 05.09.2010 |
Koji se teoremi mogu, a koji ne mogu dokazati kontradikcijom
Objašnjeni rječnik matematičkih pojmova definira dokaz protuslovljem teorema koji je suprotan inverznom teoremu.
“Dokaz kontradikcijom je metoda dokazivanja teorema (rečenice), koja se sastoji u dokazivanju ne samog teorema, već njegovog ekvivalenta (ekvivalenta), suprotnog inverznog (obrnutog suprotnom) teorema. Dokaz kontradikcijom koristi se kad god je direktni teorem teško dokazati, ali je suprotni obrnuti teorem lakši. Pri dokazivanju kontradikcijom zaključak teorema zamjenjuje se njegovom negacijom, a obrazloženjem se dolazi do negacije uvjeta, tj. na kontradikciju, na suprotno (suprotno od onoga što je dano; ovo svođenje na apsurd dokazuje teorem.
Dokaz kontradikcijom vrlo se često koristi u matematici. Dokaz kontradikcijom temelji se na zakonu isključene sredine koji se sastoji u tome da je od dva iskaza (iskaza) A i A (negacija A) jedan od njih istinit, a drugi netočan./ Tumačni rječnik matematičkih pojmova: Vodič za nastavnike / O. V. Manturov [i drugi]; izd. V. A. Ditkina.- M.: Prosvjetljenje, 1965.- 539 str.: ilustr.-C.112/.
Ne bi bilo bolje otvoreno izjaviti da metoda dokaza kontradikcijom nije matematička metoda, iako se koristi u matematici, da je ona logična metoda i da pripada logici. Je li valjano reći da se dokaz kontradikcijom "koristi kad god je izravan teorem teško dokazati", kada se zapravo koristi ako, i samo ako, nema zamjene za njega.
Karakteristika odnosa između izravnog i inverznog teorema također zaslužuje posebnu pozornost. „Obrnuti teorem za dani teorem (ili za dani teorem) je teorem u kojem je uvjet zaključak, a zaključak je uvjet danog teorema. Ovaj teorem u odnosu na obrnuti teorem naziva se izravni teorem (početni). U isto vrijeme, obrnuti teorem obrnutom teoremu bit će dani teorem; stoga se direktni i inverzni teorem nazivaju međusobno inverznim. Ako je izravni (zadani) teorem istinit, onda obrnuti teorem nije uvijek istinit. Na primjer, ako je četverokut romb, onda su njegove dijagonale međusobno okomite (direktni teorem). Ako su dijagonale u četverokutu međusobno okomite, onda je četverokut romb - to nije točno, tj. obrnuti teorem nije istinit./ Tumačni rječnik matematičkih pojmova: Vodič za nastavnike / O. V. Manturov [i drugi]; izd. V. A. Ditkina.- M.: Prosvjetljenje, 1965.- 539 str.: ilustr.-C.261 /.
Ova karakterizacija odnosa između izravnih i inverznih teorema ne uzima u obzir činjenicu da se uvjet izravnog teorema uzima kao dan, bez dokaza, tako da njegova ispravnost nije zajamčena. Uvjet inverznog teorema ne uzima se kao zadan, jer je to zaključak dokazanog izravnog teorema. Njegovu ispravnost potvrđuje dokaz izravnog teorema. Ova bitna logička razlika između uvjeta izravnih i inverznih teorema pokazuje se odlučujućom u pitanju koji se teoremi mogu, a koji ne mogu dokazati logičkom metodom od suprotnog.
Pretpostavimo da je na umu izravan teorem, koji se može dokazati uobičajenom matematičkom metodom, ali to je teško. Formuliramo ga u općem obliku u kratkom obliku na sljedeći način: iz A trebao bi E . Simbol A ima vrijednost zadanog uvjeta teorema, prihvaćenog bez dokaza. Simbol E je zaključak teorema koji treba dokazati.
Dokazat ćemo izravni teorem kontradikcijom, logično metoda. Logička metoda dokazuje teorem koji ima ne matematički stanje, i logično stanje. Može se dobiti ako se matematički uvjet teorema iz A trebao bi E , dopuniti suprotnim uvjetom iz A nemoj to učiniti E .
Kao rezultat toga, dobiven je logički kontradiktorni uvjet novog teorema koji uključuje dva dijela: iz A trebao bi E I iz A nemoj to učiniti E . Rezultirajući uvjet novog teorema odgovara logičkom zakonu isključene sredine i odgovara dokazu teorema kontradikcijom.
Prema zakonu, jedan dio kontradiktornog uvjeta je neistinit, drugi dio je istinit, a treći je isključen. Dokaz kontradikcijom ima svoju zadaću i cilj da točno utvrdi koji je dio od dva dijela uvjeta teorema netočan. Čim se utvrdi lažni dio uvjeta, utvrdit će se da je drugi dio pravi, a treći je isključen.
Prema objašnjavajućem rječniku matematičkih pojmova, “dokaz je zaključivanje, tijekom kojeg se utvrđuje istinitost ili lažnost bilo koje tvrdnje (presude, izjave, teorema)”. Dokaz suprotno postoji rasprava u tijeku koje se utvrđuje lažnost(apsurdnost) zaključka koji proizlazi iz lažno uvjete teorema koji se dokazuje.
dano: iz A trebao bi E i od A nemoj to učiniti E .
Dokazati: iz A trebao bi E .
Dokaz: Logički uvjet teorema sadrži kontradikciju koja zahtijeva svoje rješenje. Proturječnost uvjeta mora pronaći svoje rješenje u dokazu i njegovom rezultatu. Rezultat se pokazuje lažnim ako je razmišljanje besprijekorno i nepogrešivo. Razlog pogrešnog zaključka s logički ispravnim zaključivanjem može biti samo kontradiktorni uvjet: iz A trebao bi E I iz A nemoj to učiniti E .
Nema ni sjene sumnje da je jedan dio uvjeta lažan, a drugi u ovom slučaju istinit. Oba dijela uvjeta imaju isto podrijetlo, prihvaćaju se kao dani, pretpostavljeni, jednako mogući, jednako dopušteni itd. U logičkom promišljanju nije pronađeno niti jedno logičko obilježje koje bi razlikovalo jedan dio uvjeta od drugo. Stoga, u istoj mjeri, iz A trebao bi E i možda iz A nemoj to učiniti E . Izjava iz A trebao bi E Može biti lažno, zatim izjavu iz A nemoj to učiniti E bit će istina. Izjava iz A nemoj to učiniti E može biti lažna, tada izjava iz A trebao bi E bit će istina.
Stoga je izravni teorem nemoguće dokazati metodom kontradikcije.
Sada ćemo dokazati isti izravni teorem uobičajenom matematičkom metodom.
dano: A .
Dokazati: iz A trebao bi E .
Dokaz.
1. Iz A trebao bi B
2. Iz B trebao bi U (prema prethodno dokazanom teoremu)).
3. Iz U trebao bi G (prema prethodno dokazanom teoremu).
4. Iz G trebao bi D (prema prethodno dokazanom teoremu).
5. Iz D trebao bi E (prema prethodno dokazanom teoremu).
Na temelju zakona tranzitivnosti, iz A trebao bi E . Izravni teorem dokazuje se uobičajenom metodom.
Neka dokazani izravni teorem ima točan obrnuti teorem: iz E trebao bi A .
Dokažimo to običnim matematički metoda. Dokaz obrnutog teorema može se izraziti u simboličkom obliku kao algoritam matematičkih operacija.
dano: E
Dokazati: iz E trebao bi A .
Dokaz.
1. Iz E trebao bi D
2. Iz D trebao bi G (prema prethodno dokazanom inverznom teoremu).
3. Iz G trebao bi U (prema prethodno dokazanom inverznom teoremu).
4. Iz U nemoj to učiniti B (obrnuto nije točno). Zato iz B nemoj to učiniti A .
U ovoj situaciji nema smisla nastavljati matematički dokaz inverznog teorema. Razlog za nastalu situaciju je logičan. Nemoguće je bilo čime zamijeniti netočan inverzni teorem. Stoga se ovaj inverzni teorem ne može dokazati uobičajenom matematičkom metodom. Sva je nada dokazati ovaj inverzni teorem kontradikcijom.
Da bi se to dokazalo kontradikcijom, potrebno je zamijeniti njegov matematički uvjet logičkim kontradiktornim uvjetom, koji u svom značenju sadrži dva dijela - lažni i istiniti.
Inverzni teorem zahtjevi: iz E nemoj to učiniti A . Njezino stanje E , iz čega slijedi zaključak A , rezultat je dokazivanja izravnog teorema uobičajenom matematičkom metodom. Ovaj uvjet treba zadržati i dopuniti izjavom iz E trebao bi A . Kao rezultat zbrajanja dobiva se kontradiktorni uvjet novog inverznog teorema: iz E trebao bi A I iz E nemoj to učiniti A . Na temelju ovoga logički kontradiktorni uvjet, obrnuti teorem može se dokazati točnim logično samo rasuđivanje, i samo, logično suprotna metoda. U dokazu kontradikcijom sve matematičke radnje i operacije su podređene logičkim i stoga se ne računaju.
U prvom dijelu kontradiktorne izjave iz E trebao bi A stanje E dokazano je dokazom izravnog teorema. U drugom dijelu iz E nemoj to učiniti A stanje E je pretpostavljeno i prihvaćeno bez dokaza. Jedna od njih je lažna, a druga istinita. Potrebno je dokazati koji je od njih lažan.
Dokazujemo točnim logično razmišljanje i ustanoviti da je njegov rezultat pogrešan, apsurdan zaključak. Razlog pogrešnog logičkog zaključka je kontradiktorni logički uvjet teorema koji sadrži dva dijela - netočan i istinit. Lažni dio može biti samo izjava iz E nemoj to učiniti A , u kojem E prihvaćeno bez dokaza. To je ono što ga razlikuje od E izjave iz E trebao bi A , što je dokazano dokazom izravnog teorema.
Stoga je izjava istinita: iz E trebao bi A , što je trebalo dokazati.
Zaključak: samo onaj suprotni teorem dokazuje se logičkom metodom od suprotnog, koji ima izravni teorem dokazan matematičkom metodom i koji se ne može dokazati matematičkom metodom.
Dobiveni zaključak dobiva iznimnu važnost u odnosu na metodu dokazivanja kontradikcijom velikog Fermatovog teorema. Ogromna većina pokušaja da se to dokaže ne temelji se na uobičajenoj matematičkoj metodi, već na logičkoj metodi dokazivanja kontradikcijom. Dokaz Velikog teorema Fermata Wilesa nije iznimka.
Dmitrij Abrarov u članku "Fermatov teorem: fenomen Wilesovih dokaza" objavio je komentar na Wilesov dokaz Fermatovog posljednjeg teorema. Prema Abrarovu, Wiles dokazuje Fermatov posljednji teorem uz pomoć izvanrednog otkrića njemačkog matematičara Gerharda Freya (r. 1944.) koji povezuje potencijalno rješenje Fermatove jednadžbe x n + y n = z n
, Gdje n > 2
, s drugom potpuno drugačijom jednadžbom. Ova nova jednadžba dana je posebnom krivuljom (zvanom Freyeva eliptična krivulja). Freyeva krivulja dana je vrlo jednostavnom jednadžbom:
.
“Upravo je Frey uspoređivao svako rješenje (a, b, c) Fermatova jednadžba, odnosno brojevi koji zadovoljavaju relaciju a n + b n = c n gornju krivulju. U ovom slučaju slijedi Fermatov posljednji teorem."(Citat iz: Abrarov D. "Fermatov teorem: fenomen Wilesovog dokaza")
Drugim riječima, Gerhard Frey je predložio da jednadžba Fermatovog posljednjeg teorema x n + y n = z n
, Gdje n > 2
, ima rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. Ista rješenja su, po Frey-ovoj pretpostavci, rješenja njegove jednadžbe
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0
, što je zadano njegovom eliptičnom krivuljom.
Andrew Wiles prihvatio je ovo izvanredno otkriće Freya i, uz njegovu pomoć, kroz matematički metodom je dokazano da ovaj nalaz, odnosno Freyeva eliptična krivulja, ne postoji. Dakle, ne postoji jednadžba i njezina rješenja koja su dana nepostojećom eliptičnom krivuljom, stoga je Wiles trebao zaključiti da ne postoji jednadžba Posljednjeg Fermatovog teorema i samog Fermatovog teorema. Međutim, on donosi skromniji zaključak da jednadžba Fermatovog posljednjeg teorema nema rješenja u prirodnim cijelim brojevima.
Možda je nepobitna činjenica da je Wiles prihvatio pretpostavku koja je po značenju izravno suprotna onome što navodi Fermatov posljednji teorem. Obvezuje Wilesa da dokaže Fermatov posljednji teorem kontradikcijom. Slijedimo njegov primjer i vidimo što će se dogoditi iz ovog primjera.
Fermatov posljednji teorem kaže da jednadžba x n + y n = z n , Gdje n > 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.
Prema logičkoj metodi dokaza kontradikcijom, ova se tvrdnja čuva, prihvaća kao dana bez dokaza, a zatim se nadopunjuje tvrdnjom suprotnog značenja: jednadžba x n + y n = z n , Gdje n > 2 , ima rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.
Hipotetizirana izjava također se prihvaća kao dana, bez dokaza. Oba iskaza, promatrana sa stajališta temeljnih zakona logike, jednako su dopuštena, jednakopravna i jednako moguća. Ispravnim zaključivanjem potrebno je utvrditi koja je od njih netočna, da bi se zatim utvrdilo da je druga tvrdnja istinita.
Ispravno razmišljanje završava lažnim, apsurdnim zaključkom, čiji logički uzrok može biti samo proturječan uvjet teorema koji se dokazuje, a koji sadrži dva dijela izravno suprotnog značenja. Oni su bili logičan uzrok apsurdnog zaključka, rezultat dokaza kontradikcijom.
Međutim, tijekom logički ispravnog razmišljanja nije pronađen niti jedan znak po kojem bi se moglo utvrditi koja je pojedina tvrdnja netočna. To može biti izjava: jednadžba x n + y n = z n , Gdje n > 2 , ima rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. Na istoj osnovi može biti iskaz: jednadžba x n + y n = z n , Gdje n > 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.
Kao rezultat obrazloženja može se izvesti samo jedan zaključak: Fermatov posljednji teorem ne može se dokazati kontradikcijom.
Bilo bi sasvim drugačije da je Fermatov posljednji teorem inverzni teorem koji ima izravan teorem dokazan uobičajenom matematičkom metodom. U ovom slučaju, to bi se moglo dokazati kontradikcijom. A budući da se radi o izravnom teoremu, njegov se dokaz ne mora temeljiti na logičkoj metodi dokazivanja kontradikcijom, već na uobičajenoj matematičkoj metodi.
Prema D. Abrarovu, akademik V. I. Arnold, najpoznatiji suvremeni ruski matematičar, reagirao je na Wilesov dokaz "aktivno skeptično". Akademik je izjavio: "Ovo nije prava matematika - prava matematika je geometrijska i ima jake veze s fizikom."
Suprotno tome, nemoguće je dokazati niti da jednadžba Fermatovog posljednjeg teorema nema rješenja, niti da ima rješenja. Wilesova pogreška nije matematička, već logična - korištenje dokaza kontradikcijom tamo gdje njegova upotreba nema smisla i ne dokazuje Fermatov posljednji teorem.
Fermatov posljednji teorem nije dokazan uz pomoć uobičajene matematičke metode, ako je dana: jednadžba x n + y n = z n , Gdje n > 2 , nema rješenja u prirodnim brojevima, a ako se u njemu traži dokazivanje: jednadžba x n + y n = z n , Gdje n > 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. U ovom obliku ne postoji teorem, već tautologija lišena smisla.
Bilješka. O mom BTF dokazu raspravljalo se na jednom od foruma. Jedan od sudionika Trotila, stručnjak za teoriju brojeva, dao je sljedeću mjerodavnu izjavu pod naslovom: "Kratko prepričavanje onoga što je učinio Mirgorodsky." Citiram doslovce:
« A. Dokazao je da ako z 2 \u003d x 2 + y , To z n > x n + y n . To je dobro poznata i sasvim očita činjenica.
U. Uzeo je dvije trojke - pitagorejsku i nepitagorinu i jednostavnim nabrajanjem pokazao da se za određenu, određenu familiju trojki (78 i 210 komada) izvodi (i samo za nju) BTF.
S. I tada je autor izostavio činjenicu da je iz < u naknadnom stupnju može biti = , ne samo > . Jednostavan protuprimjer je prijelaz n=1 V n=2 u Pitagorinoj trojki.
D. Ova točka ne doprinosi ničemu bitnom dokazu BTF-a. Zaključak: BTF nije dokazan.”
Razmotrit ću njegov zaključak točku po točku.
A. U njemu je BTF dokazan za cijeli beskonačni skup trojki Pitagorinih brojeva. Dokazano geometrijskom metodom, koju, kako vjerujem, nisam ja otkrio, već ponovno otkrio. A otvorio ju je, vjerujem, sam P. Fermat. Fermat je možda imao ovo na umu kada je napisao:
"Otkrio sam doista čudesan dokaz za to, ali ove su margine preuske za to." Ova moja pretpostavka temelji se na činjenici da se u Diofantskom problemu, protiv kojeg je, na marginama knjige, napisao Fermat, radi o rješenjima Diofantove jednadžbe, a to su trojke Pitagorinih brojeva.
Beskonačan skup trojki Pitagorinih brojeva rješenja su Diofatove jednadžbe, au Fermatovom teoremu, naprotiv, niti jedno rješenje ne može biti rješenje jednadžbe Fermatova teorema. A Fermatov doista čudesan dokaz ima izravnu vezu s tom činjenicom. Kasnije je Fermat mogao proširiti svoj teorem na skup svih prirodnih brojeva. Na skupu svih prirodnih brojeva BTF ne pripada "skupu iznimno lijepih teorema". To je moja pretpostavka, koja se ne može ni dokazati ni opovrgnuti. Može se i prihvatiti i odbaciti.
U. U ovom odlomku dokazujem da je zadovoljena i obitelj proizvoljno uzete Pitagorine trojke brojeva i obitelj proizvoljno uzete nepitagorine trojke brojeva BTF. Ovo je neophodna, ali nedovoljna i međukarika u mom dokazu BTF. Primjeri koje sam uzeo za obitelj trojke Pitagorinih brojeva i obitelj trojke nepitagorinih brojeva imaju značenje specifičnih primjera koji pretpostavljaju i ne isključuju postojanje sličnih drugih primjera.
Neutemeljena je Trotilova izjava da sam „jednostavnim nabrajanjem pokazao da je za konkretnu, konkretnu obitelj trojki (78 i 210 komada) BTF ispunjen (i samo za nju). On ne može opovrgnuti činjenicu da bih isto tako mogao uzeti druge primjere Pitagorinih i nepitagorinih trojki da dobijem specifičnu obitelj jedne i druge trojke.
Koji god par trojki uzeo, provjera njihove prikladnosti za rješavanje problema može se provesti, po mom mišljenju, samo metodom "jednostavnog nabrajanja". Bilo koja druga metoda mi nije poznata i nije potrebna. Ako mu se nije svidio Trotil, onda je trebao predložiti drugu metodu, što on ne čini. Ne nudeći ništa zauzvrat, nekorektno je osuđivati “prosto nabrajanje”, koje je u ovom slučaju nezamjenjivo.
S. Izostavio sam = između< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 \u003d x 2 + y (1), u kojem stupanj n > 2 — cijeli pozitivan broj. Iz jednakosti između nejednakosti slijedi obavezan razmatranje jednadžbe (1) s necijelobrojnom vrijednošću stupnja n > 2 . Trotilno brojanje obvezno razmatranje jednakosti između nejednakosti, zapravo razmatra potrebno u BTF dokazu, razmatranje jednadžbe (1) s necijeli broj vrijednost stupnja n > 2 . Učinio sam to za sebe i pronašao tu jednadžbu (1) sa necijeli broj vrijednost stupnja n > 2 ima rješenje tri broja: z, (z-1), (z-1) s eksponentom koji nije cijeli broj.
Za cijele brojeve n veće od 2, jednadžba x n + y n = z n nema rješenja koja nisu nula u prirodnim brojevima.
Vjerojatno se sjećate iz školskih dana Pitagorin teorem: kvadrat hipotenuze pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata kateta. Možda se sjećate i klasičnog pravokutnog trokuta sa stranicama čije su duljine u odnosu 3:4:5. Za njega Pitagorin teorem izgleda ovako:
Ovo je primjer rješavanja generalizirane Pitagorine jednadžbe u cijelim brojevima različitim od nule za n= 2. Fermatov posljednji teorem (također nazvan "Fermatov posljednji teorem" i "Fermatov posljednji teorem") je izjava da, za vrijednosti n> 2 jednadžbe oblika x n + y n = z n nemaju rješenja različita od nule u prirodnim brojevima.
Povijest Fermatovog posljednjeg teorema vrlo je zabavna i poučna, i to ne samo za matematičare. Pierre de Fermat pridonio je razvoju raznih područja matematike, ali je glavni dio njegove znanstvene baštine objavljen tek posthumno. Činjenica je da je matematika za Fermata bila nešto poput hobija, a ne profesionalnog zanimanja. Dopisivao se s vodećim matematičarima svoga vremena, ali nije nastojao objaviti svoj rad. Fermatovi znanstveni spisi uglavnom se nalaze u obliku privatne korespondencije i fragmentarnih bilježaka, često na marginama raznih knjiga. Nalazi se na marginama (drugog toma Diofantove starogrčke aritmetike. - Bilješka. prevoditelj) nedugo nakon smrti matematičara, potomci su otkrili formulaciju poznatog teorema i postskriptum:
« Našao sam doista prekrasan dokaz za to, ali ove su mu granice preuske.».
Nažalost, Fermat se očito nikada nije potrudio zapisati "čudesan dokaz" koji je pronašao, a potomci su ga bezuspješno tražili više od tri stoljeća. Od sve Fermatove raznolike znanstvene baštine, koja je sadržavala mnoge iznenađujuće izjave, Veliki teorem je bio taj koji se tvrdoglavo opirao rješenju.
Tko se nije latio dokaza Posljednjeg Fermatovog teorema - uzalud! Još jedan veliki francuski matematičar René Descartes (René Descartes, 1596-1650) nazvao je Fermata "hvalisavcem", a engleski matematičar John Wallis (John Wallis, 1616-1703) nazvao ga je "prokletim Francuzom". Međutim, sam Fermat ostavio je iza sebe dokaz svog teorema za ovaj slučaj n= 4. Uz dokaz za n= 3 riješio je veliki švicarsko-ruski matematičar iz 18. stoljeća Leonard Euler (1707–83), nakon čega, nakon što nije uspio naći dokaze za n> 4, u šali se ponudio pretražiti Fermatovu kuću kako bi pronašao ključ izgubljenog dokaza. U 19. stoljeću nove metode teorije brojeva omogućile su dokazivanje tvrdnje za mnoge cijele brojeve unutar 200, ali, opet, ne za sve.
Godine 1908. za ovaj je zadatak ustanovljena nagrada od 100.000 DM. Nagradni fond oporučno je ostavljen njemačkom industrijalcu Paulu Wolfskehlu, koji je, prema legendi, bio pred samoubojstvom, ali je bio toliko ponesen Fermatovim posljednjim teoremom da se predomislio umrijeti. Pojavom zbrojnih strojeva, a zatim i računala, traka vrijednosti n počeo rasti sve više i više - do 617 do početka Drugog svjetskog rata, do 4001 1954. godine, do 125 000 1976. godine. Krajem 20. stoljeća najjača računala vojnih laboratorija u Los Alamosu (New Mexico, SAD) bila su programirana da u pozadini (slično načinu rada čuvara zaslona osobnog računala) rješavaju Fermatov problem. Tako je bilo moguće pokazati da je teorem točan za nevjerojatno velike vrijednosti x, y, z I n, ali to ne može poslužiti kao rigorozan dokaz, budući da bilo koja od sljedećih vrijednosti n ili trostruki prirodni brojevi mogli bi opovrgnuti teorem u cjelini.
Konačno, 1994. godine engleski matematičar Andrew John Wiles (Andrew John Wiles, r. 1953.), dok je radio na Princetonu, objavio je dokaz Fermatovog posljednjeg teorema, koji je nakon nekih izmjena smatran iscrpnim. Dokaz je zauzeo više od sto stranica časopisa i temeljio se na korištenju modernog aparata više matematike, koji nije bio razvijen u Fermatovoj eri. Pa što je onda Fermat mislio ostavljajući poruku na marginama knjige da je pronašao dokaz? Većina matematičara s kojima sam razgovarao o ovoj temi istaknula je da je tijekom stoljeća bilo više nego dovoljno netočnih dokaza Fermatovog posljednjeg teorema i da je vjerojatno da je sam Fermat pronašao sličan dokaz, ali nije vidio pogrešku u to. Međutim, moguće je da još uvijek postoji neki kratki i elegantni dokaz Fermatovog posljednjeg teorema, koji još nitko nije pronašao. Sa sigurnošću se može reći samo jedno: danas pouzdano znamo da je teorem točan. Mislim da bi se većina matematičara bezrezervno složila s Andrewom Wilesom, koji je o svom dokazu rekao: "Sada je napokon moj um miran."
Prije mnogo godina primio sam pismo iz Taškenta od Valerija Muratova, sudeći po rukopisu, mladog čovjeka koji je tada živio u Kommunističkoj ulici u kući broj 31. Tip je bio odlučan: "Izravno na stvar. Koliko hoćete li mi platiti za dokazivanje Fermatovog teorema? Odgovara najmanje 500 rubalja. U drugom trenutku bih vam to dokazao besplatno, ali sada mi treba novac ... "
Nevjerojatan paradoks: malo ljudi zna tko je Fermat, kada je živio i što je radio. Još manje ljudi može uopće opisati njegov veliki teorem u najopćenitijim crtama. Ali svi znaju da postoji nekakav Fermatov teorem, oko čijeg se dokaza muče matematičari cijelog svijeta već više od 300 godina, ali ga ne mogu dokazati!
Mnogo je ambicioznih ljudi, a sama svijest da postoji nešto što drugi ne mogu dodatno potiče njihovu ambiciju. Stoga su tisuće (!) dokaza Velikog teorema dolazile i stizale na akademije, znanstvene institute, pa čak i novinske redakcije diljem svijeta – dosad neviđen i nikad oboren rekord pseudoznanstvenog amaterstva. Postoji čak i izraz: "fermatisti", odnosno ljudi opsjednuti željom da dokažu Veliki teorem, koji su profesionalne matematičare potpuno iscrpili zahtjevima za ocjenom njihova rada. Poznati njemački matematičar Edmund Landau čak je pripremio standard, prema kojem je odgovorio: "Postoji pogreška na stranici u vašem dokazu Fermatovog teorema ...", a njegovi diplomci upisali su broj stranice. A u ljeto 1994., novine diljem svijeta izvještavaju o nečem potpuno senzacionalnom: Veliki teorem je dokazan!
Dakle, tko je Fermat, u čemu je bit problema i je li on doista riješen? Pierre Fermat rođen je 1601. godine u obitelji kožara, bogatog i cijenjenog čovjeka - bio je drugi konzul u svom rodnom gradu Beaumontu - to je nešto poput pomoćnika gradonačelnika. Pierre je najprije studirao kod franjevačkih redovnika, zatim na Pravnom fakultetu u Toulouseu, gdje se zatim bavio odvjetništvom. Međutim, Fermatov raspon interesa daleko je nadilazio jurisprudenciju. Posebno ga je zanimala klasična filologija, poznati su njegovi komentari na tekstove antičkih autora. A druga strast je matematika.
U 17. stoljeću, kao, uostalom, i mnogo godina kasnije, nije postojalo takvo zanimanje: matematičar. Stoga su svi veliki matematičari toga doba bili matematičari "honorarno": Rene Descartes služio je vojsku, Francois Viet bio je odvjetnik, Francesco Cavalieri bio je redovnik. Tada još nije bilo znanstvenih časopisa, a klasik znanosti Pierre Fermat za života nije objavio niti jedno znanstveno djelo. Postojao je prilično uzak krug "amatera" koji su umjesto njih rješavali razne zanimljive probleme i pisali si pisma o tome, ponekad se i svađali (kao Fermat s Descartesom), ali su, u osnovi, ostali istomišljenici. Postali su utemeljitelji nove matematike, sijači briljantnog sjemena, iz kojeg je počelo rasti moćno stablo moderne matematičke spoznaje, jačajući i granajući se.
Dakle, Fermat je bio isti "amater". U Toulouseu, gdje je živio 34 godine, svi su ga poznavali, prije svega kao savjetnika Istražne komore i iskusnog odvjetnika. S 30 godina se oženio, dobio tri sina i dvije kćeri, ponekad je išao na poslovna putovanja, a na jednom od njih je iznenada umro u 63. godini. Svi! Život ovog čovjeka, suvremenika Tri mušketira, iznenađujuće je pun događaja i lišen pustolovina. Avanture su pripale njegovom Velikom teoremu. Nećemo govoriti o cjelokupnoj Fermatovoj matematičkoj baštini, a teško je o njemu govoriti popularno. Vjerujte mi na riječ: ovo je nasljeđe veliko i raznoliko. Tvrdnja da je Veliki teorem vrhunac njegova rada vrlo je diskutabilna. Samo što je sudbina Velikog teorema iznenađujuće zanimljiva, a golemi svijet ljudi neupućenih u misterije matematike oduvijek je zanimao ne sam teorem, već sve oko njega...
Korijene cijele ove priče treba tražiti u antici, toliko omiljenoj Fermatu. Otprilike u 3. stoljeću u Aleksandriji je živio grčki matematičar Diofant, znanstvenik koji je razmišljao na originalan način, razmišljao izvan okvira i izražavao svoje misli izvan okvira. Od 13 svezaka njegove Aritmetike do nas je došlo samo 6. Baš kad je Fermatu bilo 20 godina, izašao je novi prijevod njegovih djela. Fermat je jako volio Diofanta i ti su mu spisi bili referentna knjiga. Na njegovim je poljima Fermat zapisao svoj Veliki teorem koji u najjednostavnijem modernom obliku izgleda ovako: jednadžba Xn + Yn = Zn nema rješenja u cijelim brojevima za n - više od 2. (Za n = 2 rješenje je očito : Z2 + 42 = 52 ). Na istom mjestu, na marginama Diofantovog sveska, Fermat dodaje: "Otkrio sam ovaj doista prekrasan dokaz, ali ove su margine za njega preuske."
Na prvi pogled, sitnica je jednostavna, ali kada su drugi matematičari počeli dokazivati ovaj "jednostavni" teorem, nitko nije uspio sto godina. Napokon, veliki Leonhard Euler to je dokazao za n = 4, zatim nakon 20 (!) godina - za n = 3. I opet je posao zastao na mnogo godina. Sljedeća pobjeda pripada Nijemcu Peteru Dirichletu (1805. – 1859.) i Francuzu Andrienu Legendreu (1752. – 1833.), koji su priznali da je Fermat bio u pravu za n = 5. Zatim je to učinio Francuz Gabriel Lamet (1795. – 1870.) za n = 7. Konačno, sredinom prošlog stoljeća Nijemac Ernst Kummer (1810-1893) dokazao je Veliki teorem za sve vrijednosti n manje ili jednake 100. Štoviše, dokazao ga je koristeći metode koje su mogle nisu bili poznati Fermatu, što je dodatno ojačalo veo misterije oko Velikog teorema.
Tako je ispalo da Fermatov teorem dokazuju “dio po dio”, ali nitko nije uspio “u potpunosti”. Novi pokušaji dokaza doveli su samo do kvantitativnog povećanja vrijednosti n. Svi su shvatili da je, nakon što je potrošio bezdan rada, moguće dokazati Veliki teorem za proizvoljno veliki broj n, ali Fermat je govorio o bilo kojoj vrijednosti od toga veće od 2! Upravo je u toj razlici između "proizvoljno velikog" i "bilo kojeg" bilo koncentrirano cijelo značenje problema.
No, treba napomenuti da pokušaji dokazivanja Fermgovog teorema nisu bili samo nekakva matematička igra, rješenje složenog rebusa. Tijekom tih dokaza otvarali su se novi matematički horizonti, nastajali su i rješavali problemi koji su postajali nove grane matematičkog stabla. Veliki njemački matematičar David Hilbert (1862.-1943.) naveo je Veliki teorem kao primjer "kakav poticajni učinak poseban i naizgled beznačajan problem može imati na znanost". Isti Kummer, radeći na Fermatovom teoremu, sam je dokazao teoreme koji su činili temelje teorije brojeva, algebre i teorije funkcija. Dakle, dokazivanje Velikog teorema nije sport, već prava znanost.
Vrijeme je prolazilo, a elektronika je priskočila u pomoć profesionalnim "fsrmatntima". Elektronički mozgovi novih metoda nisu se mogli izmisliti, ali su uzeli brzinu. Otprilike početkom 80-ih Fermatov teorem dokazan je uz pomoć računala za n manje od ili jednako 5500. Postupno je ta brojka narasla na 100 000, no svi su shvaćali da je takvo "akumuliranje" stvar čiste tehnologije, dajući ništa pameti ni srcu . Nisu mogli zauzeti tvrđavu Velikog teorema "nasuprot" i počeli su tražiti zaobilazne manevre.
Sredinom 1980-ih mladi matematičar G. Filettings dokazao je takozvanu "Mordellovu pretpostavku", koja je, uzgred budi rečeno, također bila "nedohvatljiva" niti jednom od matematičara 61 godinu. Pojavila se nada da bi se sada, tako reći, "napadajući s boka", mogao riješiti i Fermatov teorem. Međutim, tada se ništa nije dogodilo. Godine 1986. njemački matematičar Gerhard Frei predložio je novu metodu dokazivanja u Essescheu. Ne navezujem se to striktno objašnjavati, ali ne matematičkim, nego općeljudskim jezikom, to zvuči otprilike ovako: ako smo uvjereni da je dokaz nekog drugog teorema posredni, na neki način transformirani dokaz Fermatova teorema, onda ćemo, dakle, dokazati Veliki teorem. Godinu dana kasnije Amerikanac Kenneth Ribet s Berkeleyja pokazao je da je Frey bio u pravu i da se, doista, jedan dokaz može svesti na drugi. Tim su putem krenuli mnogi matematičari diljem svijeta. Učinili smo mnogo da dokažemo Veliki teorem Viktora Aleksandroviča Kolyvanova. Zadrhtaše tri stotine godina stare zidine neosvojive tvrđave. Matematičari su shvatili da to neće dugo trajati.
U ljeto 1993. u drevnom Cambridgeu, na Institutu matematičkih znanosti Isaac Newton, okupilo se 75 najuglednijih svjetskih matematičara kako bi raspravljali o svojim problemima. Među njima je bio i američki profesor Andrew Wiles sa Sveučilišta Princeton, istaknuti stručnjak za teoriju brojeva. Svi su znali da je on godinama radio na Velikom teoremu. Wiles je održao tri prezentacije, a na zadnjoj, 23. lipnja 1993., na samom je kraju, okrećući se od ploče, sa smiješkom rekao:
valjda neću nastaviti...
Prvo je zavladala mrtva tišina, a zatim pljesak. Oni koji su sjedili u dvorani bili su dovoljno kvalificirani da shvate: Fermatov posljednji teorem je dokazan! U svakom slučaju, nitko od prisutnih nije našao greške u gornjem dokazu. Pomoćnik direktora Instituta Newton, Peter Goddard, rekao je novinarima:
“Većina stručnjaka nije mislila da će saznati do kraja života. Ovo je jedno od najvećih dostignuća matematike našeg stoljeća...
Prošlo je nekoliko mjeseci, a komentara i demantija nisu uslijedili. Istina, Wiles nije objavio svoj dokaz, već je samo poslao takozvane ispise svog rada vrlo uskom krugu svojih kolega, što, naravno, sprječava matematičare da komentiraju ovu znanstvenu senzaciju, a ja razumijem akademika Ludwiga Dmitrievicha Faddejeva, tko kaže:
- Mogu reći da se senzacija dogodila kada vidim dokaz svojim očima.
Faddeev vjeruje da je vjerojatnost pobjede Wilesa vrlo velika.
“Moj otac, poznati stručnjak za teoriju brojeva, bio je, primjerice, siguran da će teorem biti dokazan, ali ne elementarnim sredstvima”, dodao je.
Još jedan naš akademik, Viktor Pavlovič Maslov, bio je skeptičan oko ove vijesti, te smatra da dokaz Velikog teorema uopće nije stvarni matematički problem. Po znanstvenim interesima Maslov, predsjednik Vijeća za primijenjenu matematiku, daleko je od "fermatista", a kad kaže da je cjelovito rješenje Velikog teorema samo od sportskog interesa, može ga se razumjeti. Ipak, usuđujem se primijetiti da je pojam relevantnosti u svakoj znanosti varijabla. Prije 90 godina Rutherfordu je, vjerojatno, također rečeno: "Pa, dobro, dobro, teorija radioaktivnog raspada ... Pa što? Kakva je korist od toga? .."
Rad na dokazu Velikog teorema već je dao mnogo matematike, a može se nadati da će dati još više.
"Ono što je Wiles učinio pomaknut će matematičare u druga područja", rekao je Peter Goddard. - Dapače, time se ne zatvara jedan od tokova razmišljanja, već se otvaraju nova pitanja koja će zahtijevati odgovor...
Profesor Moskovskog državnog sveučilišta Mihail Iljič Zelikin ovako mi je objasnio trenutnu situaciju:
Nitko ne vidi greške u Wilesovom radu. No, da bi ovaj rad postao znanstvena činjenica, potrebno je da nekoliko uglednih matematičara neovisno o sebi ponove ovaj dokaz i potvrde njegovu točnost. Ovo je neizostavan uvjet da matematička zajednica prizna Wilesov rad...
Koliko će vremena trebati za ovo?
Ovo sam pitanje postavio jednom od naših vodećih stručnjaka u području teorije brojeva, doktoru fizikalnih i matematičkih znanosti Alekseju Nikolajeviču Paršinu.
Andrew Wiles ima puno vremena pred sobom...
Činjenica je da je 13. rujna 1907. godine njemački matematičar P. Wolfskel, koji je za razliku od velike većine matematičara bio bogat čovjek, oporučno ostavio 100 tisuća maraka onome tko će u idućih 100 godina dokazati Veliki teorem. Početkom stoljeća kamate od oporučenog iznosa išle su u blagajnu slavnog sveučilišta Getgangent. Tim novcem pozvani su vodeći matematičari da drže predavanja i znanstveni rad. U to je vrijeme David Hilbert, kojeg sam već spomenuo, bio predsjednik komisije za dodjelu nagrada. Nije htio platiti premiju.
“Na sreću,” rekao je veliki matematičar, “čini se da nemamo matematičara, osim mene, koji bi mogao obaviti ovaj zadatak, ali ja se nikada neću usuditi ubiti gusku koja nam nosi zlatna jaja. ”
Do roka - 2007. godine, koji je odredio Wolfskel, ostalo je još nekoliko godina, a čini mi se da se nad "Hilbertovim piletom" nadvija ozbiljna opasnost. Ali zapravo nije riječ o nagradi. Riječ je o radoznalosti misli i ljudskoj ustrajnosti. Borili su se više od tri stotine godina, ali su to ipak dokazali!
I dalje. Meni je u cijeloj ovoj priči najzanimljivije: kako je sam Fermat dokazao svoj Veliki teorem? Uostalom, svi današnji matematički trikovi bili su mu nepoznati. I je li to uopće dokazao? Uostalom, postoji verzija za koju se činilo da je dokazao, ali je sam pronašao grešku, pa stoga nije poslao dokaze drugim matematičarima, već je zaboravio prekrižiti unos na marginama Diofantovog sveska. Stoga mi se čini da se dokaz Velikog teorema, očito, dogodio, ali je tajna Fermatovog teorema ostala i teško da ćemo je ikada otkriti...
Možda je Fermat tada bio u zabludi, ali nije pogriješio kad je napisao: “Možda će mi potomstvo biti zahvalno što sam mu pokazao da stari nisu sve znali, a to može prodrijeti u svijest onih koji će doći poslije mene. buktinju svojim sinovima..."
Malo je ljudi na svijetu koji nikada nisu čuli za Fermatov posljednji teorem - možda je to jedini matematički problem koji je postao toliko poznat i postao prava legenda. Spominje se u mnogim knjigama i filmovima, a glavni kontekst gotovo svih spominjanja je nemogućnost dokazivanja teorema.
Da, ovaj teorem je vrlo poznat i u neku ruku je postao “idol” kojeg obožavaju matematičari i profesionalni matematičari, ali malo ljudi zna da je njegov dokaz pronađen, a to se dogodilo davne 1995. godine. Ali prvo o svemu.
Dakle, Fermatov posljednji teorem (često zvan Fermatov posljednji teorem), formuliran 1637. godine od strane briljantnog francuskog matematičara Pierrea Fermata, vrlo je jednostavan po prirodi i razumljiv svakoj osobi sa srednjim obrazovanjem. Kaže da formula a na n + b na n \u003d c na n nema prirodna (to jest, nefrakcijska) rješenja za n> 2. Čini se da je sve jednostavno i jasno , no najbolji matematičari i obični amateri borili su se u potrazi za rješenjem više od tri i pol stoljeća.
Zašto je tako poznata? Sada saznajmo...
Ima li malo dokazanih, nedokazanih, a opet nedokazanih teorema? Stvar je u tome što je Fermatov posljednji teorem najveći kontrast između jednostavnosti formulacije i složenosti dokaza. Posljednji Fermatov teorem nevjerojatno je težak zadatak, a ipak njegovu formulaciju može razumjeti svatko s 5 razreda srednje škole, no dokaz je daleko od svakog profesionalnog matematičara. Ni u fizici, ni u kemiji, ni u biologiji, ni u istoj matematici ne postoji niti jedan problem koji bi bio formuliran tako jednostavno, ali je tako dugo ostao neriješen. 2. Od čega se sastoji?
Počnimo s Pitagorinim hlačama Formulacija je doista jednostavna – na prvi pogled. Kao što znamo iz djetinjstva, "Pitagorejske hlače su jednake sa svih strana." Problem izgleda tako jednostavno jer se temeljio na matematičkoj tvrdnji koju svi znaju - Pitagorinom teoremu: u bilo kojem pravokutnom trokutu, kvadrat izgrađen na hipotenuzi jednak je zbroju kvadrata izgrađenih na katetama.
U 5. stoljeću pr. Pitagora je osnovao Pitagorejsko bratstvo. Pitagorejci su, između ostalog, proučavali cijele trojke koje su zadovoljavale jednadžbu x²+y²=z². Dokazali su da postoji beskonačno mnogo Pitagorinih trojki i dobili opće formule za njihovo pronalaženje. Vjerojatno su pokušali tražiti trojke i više stupnjeve. Uvjereni da to nije uspjelo, pitagorejci su odustali od svojih uzaludnih pokušaja. Članovi bratovštine bili su više filozofi i esteti nego matematičari.
To jest, lako je odabrati skup brojeva koji savršeno zadovoljavaju jednakost x² + y² = z²
Počevši od 3, 4, 5 - doduše, osnovnoškolac razumije da je 9 + 16 = 25.
Ili 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Sjajno.
Pa, pokazalo se da nemaju. Ovdje počinje trik. Jednostavnost je prividna, jer je teško dokazati ne prisutnost nečega, već, naprotiv, odsutnost. Kada je potrebno dokazati da rješenje postoji, to rješenje se može i treba jednostavno prikazati.
Odsutnost je teže dokazati: na primjer, netko kaže: ta i takva jednadžba nema rješenja. Staviti ga u lokvu? jednostavno: bam - i evo ga, rješenje! (dati rješenje). I to je to, protivnik je poražen. Kako dokazati odsutnost?
Reći: „Nisam našao takva rješenja“? Ili možda niste dobro tražili? A što ako su, samo vrlo velike, pa, takve da ni supermoćno računalo još nema dovoljno snage? To je ono što je teško.
Vizualno se to može prikazati na sljedeći način: ako uzmemo dva kvadrata odgovarajuće veličine i rastavimo ih na jedinične kvadrate, tada se iz ove gomile jediničnih kvadrata dobije treći kvadrat (slika 2): 
I učinimo isto s trećom dimenzijom (slika 3) – ne ide. Nema dovoljno kockica ili su ostale dodatne:
Ali matematičar iz 17. stoljeća, Francuz Pierre de Fermat, s entuzijazmom je proučavao opću jednadžbu x n + y n \u003d z n. I na kraju je zaključio: za n>2 cjelobrojna rješenja ne postoje. Fermatov dokaz je nepovratno izgubljen. Rukopisi gore! Ostala je samo njegova primjedba u Diofantovoj Aritmetici: "Pronašao sam doista nevjerojatan dokaz ove tvrdnje, ali su margine ovdje preuske da bi ih obuhvatile."
Zapravo, teorem bez dokaza naziva se hipoteza. Ali Fermat ima reputaciju da nikada ne griješi. Čak i ako nije ostavio dokaz za bilo kakvu izjavu, ona je naknadno potvrđena. Osim toga, Fermat je dokazao svoju tezu za n=4. Tako je hipoteza francuskog matematičara ušla u povijest kao Fermatov posljednji teorem.
Nakon Fermata, veliki umovi poput Leonharda Eulera radili su na potrazi za dokazom (1770. predložio je rješenje za n = 3),
Adrien Legendre i Johann Dirichlet (ovi znanstvenici zajedno su pronašli dokaz za n = 5 1825. godine), Gabriel Lame (koji je pronašao dokaz za n = 7) i mnogi drugi. Sredinom 80-ih godina prošlog stoljeća postalo je jasno da je znanstveni svijet na putu konačnog rješenja Fermatovog posljednjeg teorema, ali tek 1993. matematičari su uvidjeli i povjerovali da je trostoljetna saga o pronalaženju dokaza Fermatov posljednji teorem bio je skoro gotov.
Lako je pokazati da je dovoljno dokazati Fermatov teorem samo za prosti n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Za složeni n, dokaz ostaje valjan. Ali ima beskonačno mnogo prostih brojeva...
Godine 1825., koristeći metodu Sophie Germain, matematičarke Dirichlet i Legendre neovisno su dokazale teorem za n=5. Godine 1839. Francuz Gabriel Lame pokazao je istinitost teorema za n=7 koristeći istu metodu. Postupno je teorem dokazan za gotovo svih n manje od stotinu.
Konačno, njemački matematičar Ernst Kummer pokazao je u briljantnoj studiji da metode matematike u 19. stoljeću ne mogu dokazati teorem općenito. Nagrada Francuske akademije znanosti, ustanovljena 1847. za dokaz Fermatova teorema, ostala je nedodijeljena.
Godine 1907. bogati njemački industrijalac Paul Wolfskel odlučio si je oduzeti život zbog neuzvraćene ljubavi. Kao pravi Nijemac odredio je datum i vrijeme samoubojstva: točno u ponoć. Posljednjeg dana napravio je oporuku i napisao pisma prijateljima i rodbini. Posao je završio prije ponoći. Moram reći da je Paula zanimala matematika. Kako nije imao što raditi, otišao je u knjižnicu i počeo čitati poznati Kummerov članak. Odjednom mu se učini da je Kummer pogriješio u svom razmišljanju. Wolfskehl je s olovkom u ruci počeo analizirati ovaj dio članka. Prošla je ponoć, došlo je jutro. Praznina u dokazu je popunjena. A sam razlog samoubojstva sada je izgledao potpuno smiješan. Paul je poderao oproštajna pisma i ponovno napisao oporuku.
Ubrzo je umro prirodnom smrću. Nasljednici su bili nemalo iznenađeni: 100.000 maraka (više od 1.000.000 sadašnjih funti sterlinga) prebačeno je na račun Kraljevskog znanstvenog društva iz Göttingena, koje je iste godine raspisalo natječaj za nagradu Wolfskel. 100 000 maraka oslanjalo se na dokazivač Fermatova teorema. Za opovrgavanje teoreme nije trebao biti plaćen ni fening...
Većina profesionalnih matematičara smatrala je potragu za dokazom Fermatovog posljednjeg teorema izgubljenim slučajem i odlučno su odbijali gubiti vrijeme na tako uzaludnu vježbu. Ali amateri se vesele do slave. Nekoliko tjedana nakon objave, lavina "dokaza" obrušila se na Sveučilište u Göttingenu. Profesor E. M. Landau, čija je dužnost bila analizirati poslane dokaze, podijelio je svojim studentima kartice:
Dragi/e. . . . . . . .
Hvala vam na rukopisu koji ste poslali s dokazom Fermatovog posljednjeg teorema. Prva pogreška je na stranici ... u retku ... . Zbog toga cijeli dokaz gubi valjanost.
Profesor E. M. Landau
Godine 1963. Paul Cohen, oslanjajući se na Gödelova otkrića, dokazao je nerješivost jednog od Hilbertova dvadeset i tri problema, hipoteze o kontinuumu. Što ako je Fermatov posljednji teorem također nerješiv?! Ali pravi fanatici Velikog teorema nisu nimalo razočarali. Pojava računala neočekivano je matematičarima dala novu metodu dokazivanja. Nakon Drugog svjetskog rata, skupine programera i matematičara dokazale su Fermatov posljednji teorem za sve vrijednosti n do 500, zatim do 1000, a kasnije i do 10000.
U 80-ima je Samuel Wagstaff podigao granicu na 25 000, a u 90-ima su matematičari tvrdili da je Fermatov posljednji teorem istinit za sve vrijednosti n do 4 milijuna. Ali ako se čak i bilijun bilijuna oduzme od beskonačnosti, ne postaje manji. Statistika ne uvjerava matematičare. Dokazati Veliki teorem značilo je dokazati ga za SVE n idući u beskonačnost.
Godine 1954. dva mlada japanska prijatelja matematičara počela su proučavati modularne forme. Ovi oblici generiraju nizove brojeva, svaki - svoj niz. Taniyama je slučajno usporedio te nizove s nizovima generiranim eliptičnim jednadžbama. Poklopili su se! Ali modularni oblici su geometrijski objekti, dok su eliptičke jednadžbe algebarske. Između tako različitih objekata nikada nije pronađena veza.
Ipak, nakon pažljivog testiranja, prijatelji su iznijeli hipotezu: svaka eliptična jednadžba ima blizanku - modularni oblik, i obrnuto. Upravo je ta hipoteza postala temelj čitavog trenda u matematici, ali dok hipoteza Taniyama-Shimura nije dokazana, cijela se zgrada mogla srušiti u bilo kojem trenutku.
Godine 1984. Gerhard Frey pokazao je da se rješenje Fermatove jednadžbe, ako postoji, može uključiti u neku eliptičku jednadžbu. Dvije godine kasnije, profesor Ken Ribet dokazao je da ova hipotetska jednadžba ne može imati pandan u modularnom svijetu. Od tada je Fermatov posljednji teorem bio neraskidivo povezan s Taniyama-Shimura hipotezom. Nakon što smo dokazali da je svaka eliptična krivulja modularna, zaključujemo da ne postoji eliptična jednadžba s rješenjem Fermatove jednadžbe, a Fermatov posljednji teorem bi odmah bio dokazan. Ali trideset godina nije bilo moguće dokazati hipotezu Taniyama-Shimura, a nade za uspjeh bilo je sve manje.
Godine 1963., kada je imao samo deset godina, Andrew Wiles već je bio fasciniran matematikom. Kada je saznao za Veliki teorem, shvatio je da od njega ne može odstupiti. Kao školarac, student, apsolvent pripremao se za taj zadatak.
Nakon što je saznao za otkrića Kena Ribeta, Wiles se bacio na dokazivanje Taniyama-Shimurine pretpostavke. Odlučio je raditi u potpunoj izolaciji i tajnosti. “Shvatio sam da je sve što ima veze s Fermatovim posljednjim teoremom od prevelikog interesa... Previše gledatelja namjerno ometa postizanje cilja.” Sedam godina napornog rada isplatilo se, Wiles je konačno dovršio dokaz Taniyama-Shimurine pretpostavke.
Godine 1993. engleski matematičar Andrew Wiles predstavio je svijetu svoj dokaz Fermatovog posljednjeg teorema (Wiles je pročitao svoje senzacionalno izvješće na konferenciji na Institutu Sir Isaac Newton u Cambridgeu.), na kojem se radilo više od sedam godina.
Dok se pompa nastavljala u tisku, počeo je ozbiljan rad na provjeri dokaza. Svaki dokaz mora biti pažljivo ispitan prije nego što se dokaz može smatrati rigoroznim i točnim. Wiles je proveo naporno ljeto čekajući povratne informacije recenzenata, nadajući se da će moći dobiti njihovo odobrenje. Krajem kolovoza vještaci su utvrdili nedovoljno obrazloženu presudu.
Pokazalo se da ova odluka sadrži grubu pogrešku, iako je općenito točna. Wiles nije odustajao, pozvao je u pomoć poznatog stručnjaka za teoriju brojeva Richarda Taylora, te su već 1994. objavili ispravljeni i dopunjeni dokaz teorema. Najnevjerojatnije je da je ovaj rad zauzeo čak 130 (!) stranica u matematičkom časopisu Annals of Mathematics. No, ni tu priča nije završila - posljednja točka stavljena je tek sljedeće, 1995. godine, kada je objavljena konačna i “idealna”, s matematičke strane gledano, verzija dokaza.
“... pola minute nakon početka svečane večere povodom njezina rođendana, dao sam Nadii rukopis kompletnog dokaza” (Andrew Wales). Jesam li spomenuo da su matematičari čudni ljudi?
Ovaj put nije bilo sumnje u dokaz. Dva su članka podvrgnuta najpažljivijoj analizi iu svibnju 1995. objavljena u Annals of Mathematics.
Od tog trenutka prošlo je dosta vremena, ali u društvu još uvijek postoji mišljenje o nerješivosti Posljednjeg Fermatovog teorema. Ali čak i oni koji znaju za pronađeni dokaz nastavljaju raditi u tom smjeru - malo je ljudi zadovoljno što Veliki teorem zahtijeva rješenje od 130 stranica!
Stoga su sada snage tolikog broja matematičara (uglavnom amatera, a ne profesionalnih znanstvenika) bačene u potragu za jednostavnim i sažetim dokazom, ali taj put, najvjerojatnije, neće voditi nikamo ...
izvor