Jednadžba ravnine okomite na zadani vektor. Ravna crta
Ovaj članak daje ideju kako napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz danu točku u trodimenzionalnom prostoru okomito na danu liniju. Analizirajmo gornji algoritam na primjeru rješavanja tipičnih problema.
Pronalaženje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru okomito na zadani pravac
Neka je u njemu zadan trodimenzionalni prostor i pravokutni koordinatni sustav O x y z. Zadana je i točka M 1 (x 1, y 1, z 1), pravac a i ravnina α koja prolazi kroz točku M 1 okomito na pravac a. Potrebno je napisati jednadžbu ravnine α.
Prije nego što prijeđemo na rješavanje ovog problema, prisjetimo se geometrijskog teorema iz programa za 10. – 11. razred koji glasi:
Definicija 1
Jedna ravnina prolazi kroz danu točku u trodimenzionalnom prostoru i okomita je na danu liniju.
Sada razmislite kako pronaći jednadžbu ove jedne ravnine koja prolazi kroz početnu točku i okomita je na dani pravac.
Opću jednadžbu ravnine moguće je napisati ako su poznate koordinate točke koja pripada toj ravnini, kao i koordinate vektora normale ravnine.
Uvjetom zadatka zadane su koordinate x 1, y 1, z 1 točke M 1 kroz koju prolazi ravnina α. Odredimo li koordinate vektora normale ravnine α, tada ćemo moći napisati željenu jednadžbu.
Vektor normale ravnine α, budući da je različit od nule i leži na pravcu a, okomitom na ravninu α, bit će svaki usmjerivač pravca a. Dakle, problem određivanja koordinata vektora normale ravnine α pretvara se u problem određivanja koordinata vektora usmjerivača pravca a .
Određivanje koordinata vektora usmjeravanja ravne crte a može se provesti različitim metodama: to ovisi o varijanti postavljanja ravne crte a u početnim uvjetima. Na primjer, ako je pravac a u uvjetu problema dan kanonskim jednadžbama oblika
x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z
ili parametarske jednadžbe oblika:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ
tada će vektor usmjeravanja pravca imati koordinate a x, a y i a z. U slučaju kada je pravac a prikazan s dvije točke M 2 (x 2, y 2, z 2) i M 3 (x 3, y 3, z 3), tada će koordinate vektora pravca biti određene kao (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2).
Definicija 2
Algoritam za pronalaženje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani pravac:
Odredite koordinate vektora usmjeravanja pravca a: a → = (a x, a y, a z) ;
Koordinate vektora normale ravnine α definiramo kao koordinate vektora usmjerivača pravca a:
n → = (A , B , C) , gdje je A = a x, B = a y, C = a z;
Napišemo jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M 1 (x 1, y 1, z 1) i ima normalni vektor n→=(A, B, C) u obliku A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. To će biti tražena jednadžba ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru i okomita je na zadani pravac.
Rezultirajuća opća jednadžba ravnine: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 omogućuje dobivanje jednadžbe ravnine u segmentima ili normalne jednadžbe ravnine.
Riješimo neke primjere koristeći gore dobiveni algoritam.
Primjer 1
Zadana je točka M 1 (3, - 4, 5) kroz koju prolazi ravnina, a ta je ravnina okomita na koordinatni pravac O z.
Riješenje
vektor smjera koordinatne linije O z bit će koordinatni vektor k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Dakle, vektor normale ravnine ima koordinate (0 , 0 , 1) . Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadanu točku M 1 (3, - 4, 5) čiji normalni vektor ima koordinate (0, 0, 1):
A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0
Odgovor: z - 5 = 0 .
Razmotrite drugi način rješavanja ovog problema:
Primjer 2
Ravnina koja je okomita na pravac O z bit će dana nepotpunom općom jednadžbom ravnine oblika S z + D = 0 , C ≠ 0 . Definirajmo vrijednosti C i D: one za koje ravnina prolazi kroz datu točku. Zamijenimo koordinate ove točke u jednadžbi C z + D = 0 , dobivamo: C · 5 + D = 0 . Oni. brojevi, C i D su povezani sa - D C = 5 . Uzimajući C \u003d 1, dobivamo D \u003d - 5.
Zamijenite ove vrijednosti u jednadžbu C z + D = 0 i dobijete traženu jednadžbu za ravninu okomitu na liniju O z i koja prolazi kroz točku M 1 (3, - 4, 5) .
To će izgledati kao: z - 5 = 0.
Odgovor: z - 5 = 0 .
Primjer 3
Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz ishodište i okomita je na pravac x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2
Riješenje
Na temelju uvjeta problema može se tvrditi da se vodeći vektor zadane ravne crte može uzeti kao normalni vektor n → zadane ravnine. Dakle: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točku O (0, 0, 0) i ima normalni vektor n → \u003d (- 3, - 7, 2) :
3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0
Dobili smo traženu jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz ishodište okomito na zadani pravac.
Odgovor:- 3x - 7y + 2z = 0
Primjer 4
Zadan je pravokutni koordinatni sustav O x y z u trodimenzionalnom prostoru, on sadrži dvije točke A (2 , - 1 , - 2) i B (3 , - 2 , 4) . Ravnina α prolazi točkom A okomito na pravac AB.Potrebno je sastaviti jednadžbu ravnine α u segmentima.
Riješenje
Ravnina α je okomita na pravac A B, tada će vektor A B → biti vektor normale ravnine α. Koordinate ovog vektora određene su kao razlika odgovarajućih koordinata točaka B (3, - 2, 4) i A (2, - 1, - 2):
A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)
Opća jednadžba ravnine bit će zapisana u sljedećem obliku:
1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0
Sada sastavljamo željenu jednadžbu ravnine u segmentima:
x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1
Odgovor:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1
Također treba napomenuti da postoje problemi čiji je zahtjev da se napiše jednadžba za ravninu koja prolazi kroz zadanu točku i okomita je na dvije zadane ravnine. Općenito, rješenje ovog problema je napisati jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz danu točku okomito na danu liniju, jer dvije ravnine koje se sijeku određuju ravnu liniju.
Primjer 5
Zadan je pravokutni koordinatni sustav O x y z u kojem je točka M 1 (2, 0, - 5) . Zadane su i jednadžbe dviju ravnina 3 x + 2 y + 1 = 0 i x + 2 z - 1 = 0 koje se sijeku po ravnoj liniji a . Potrebno je sastaviti jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M 1 okomito na pravac a.
Riješenje
Odredimo koordinate vektora usmjerivača pravca a . Okomit je i na vektor normale n 1 → (3 , 2 , 0) ravnine n → (1 , 0 , 2) i na vektor normale 3 x + 2 y + 1 = 0 ravnine x + 2 z - 1 = 0.
Zatim vektor usmjerivač α → pravac a uzimamo vektorski produkt vektora n 1 → i n 2 → :
a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )
Dakle, vektor n → = (4, - 6, - 2) bit će vektor normale ravnine okomite na pravac a. Zapisujemo željenu jednadžbu ravnine:
4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0
Odgovor: 2 x - 3 y - z - 9 = 0
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Da bi se kroz bilo koje tri točke u prostoru povukla jedna ravnina, potrebno je da te točke ne leže na jednoj ravnoj liniji.
Promotrimo točke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) u zajedničkom Kartezijevom koordinatnom sustavu.
Da bi proizvoljna točka M(x, y, z) ležala u istoj ravnini s točkama M 1 , M 2 , M 3 , vektori moraju biti komplanarni.
(
)
= 0
Tako, 
Jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri točke:
Jednadžba ravnine s obzirom na dvije točke i vektor kolinearan na ravninu.
Neka su točke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) i vektor 
.
Sastavimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadane točke M 1 i M 2 i proizvoljnu točku M (x, y, z) paralelnu s vektorom 
.
Vektori 
i vektor 
mora biti komplanarna, tj.
(
)
= 0
Jednadžba ravnine:
Jednadžba ravnine s obzirom na jednu točku i dva vektora,
kolinearna ravnina.
Neka su dana dva vektora 
I 
, kolinearne ravnine. Tada za proizvoljnu točku M(x, y, z) koja pripada ravnini vektori 
mora biti komplanarna.
Jednadžba ravnine:
Jednadžba ravnine s točkom i vektorom normale .
Teorema.
Ako je u prostoru dana točka M 0
(X 0
, g 0
,
z 0
), zatim jednadžba ravnine koja prolazi točkom M 0
okomito na vektor normale
(A,
B,
C) izgleda kao:
A(x – x 0 ) + B(g – g 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.
Dokaz.
Za proizvoljnu točku M(x, y, z) koja pripada ravnini sastavljamo vektor . Jer vektor
- normalni vektor, onda je okomit na ravninu, a time i okomit na vektor 
. Zatim skalarni produkt
=
0
Tako dobivamo jednadžbu ravnine
Teorem je dokazan.
Jednadžba ravnine u segmentima.
Ako je u općoj jednadžbi Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, podijelite oba dijela s (-D)
,
zamjenjujući 
, dobivamo jednadžbu ravnine u segmentima:
Brojevi a, b, c su sjecišne točke ravnine s osima x, y, z.
Jednadžba ravnine u vektorskom obliku.
Gdje
- radijus-vektor trenutne točke M(x, y, z),
Jedinični vektor koji ima smjer okomice spuštene na ravninu iz ishodišta.
, i su kutovi koje tvori ovaj vektor s osima x, y, z.
p je duljina ove okomice.
U koordinatama ova jednadžba ima oblik:
xcos + ycos + zcos - p = 0.
Udaljenost od točke do ravnine.
Udaljenost od proizvoljne točke M 0 (x 0, y 0, z 0) do ravnine Ax + Vu + Cz + D \u003d 0 je:
Primjer. Nađite jednadžbu ravnine znajući da je točka P (4; -3; 12) osnovica okomice spuštene iz ishodišta na tu ravninu.
Dakle, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, koristite formulu:
A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.
Primjer. Nađite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz dvije točke P(2; 0; -1) i
Q(1; -1; 3) je okomit na ravninu 3x + 2y - z + 5 = 0.
Vektor normale na ravninu 3x + 2y - z + 5 = 0 
paralelno sa željenom ravninom.
Dobivamo:
Primjer. Nađite jednadžbu ravnine koja prolazi točkama A(2, -1, 4) i
V(3, 2, -1) okomito na ravninu x + na + 2z – 3 = 0.
Tražena jednadžba ravnine ima oblik: A x+ B g+ C z+ D = 0, vektor normale na ovu ravninu 
(A, B, C). Vektor 
(1, 3, -5) pripada ravnini. Zadana nam ravnina, okomita na željenu, ima normalni vektor 
(1, 1, 2). Jer točke A i B pripadaju objema ravninama, a ravnine su međusobno okomite, dakle
Dakle normalni vektor 
(11, -7, -2). Jer točka A pripada željenoj ravnini, tada njezine koordinate moraju zadovoljavati jednadžbu te ravnine, tj. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.
Ukupno, dobivamo jednadžbu ravnine: 11 x - 7g – 2z – 21 = 0.
Primjer. Nađite jednadžbu ravnine znajući da je točka P(4, -3, 12) osnovica okomice spuštene iz ishodišta na tu ravninu.
Određivanje koordinata vektora normale 
= (4, -3, 12). Tražena jednadžba ravnine ima oblik: 4 x
– 3g
+ 12z+ D = 0. Da bismo pronašli koeficijent D, zamijenimo koordinate točke R u jednadžbu:
16 + 9 + 144 + D = 0
Ukupno dobivamo željenu jednadžbu: 4 x – 3g + 12z – 169 = 0
Primjer. Date su koordinate vrhova piramide A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),
Nađi duljinu brida A 1 A 2 .
Odredi kut između bridova A 1 A 2 i A 1 A 4.
Odredi kut između brida A 1 A 4 i plohe A 1 A 2 A 3 .
Najprije pronađite vektor normale na plohu A 1 A 2 A 3 
kao umnožak vektora 
I 
.
=
(2-1;
1-0; 1-3) = (1; 1; -2);
Nađi kut između vektora normale i vektora 
.
-4
– 4 = -8.
Željeni kut između vektora i ravnine bit će jednak = 90 0 - .
Nađi površinu lica A 1 A 2 A 3 .
Nađi obujam piramide.
Nađi jednadžbu ravnine A 1 A 2 A 3 .
Koristimo formulu za jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri točke.
2x + 2y + 2z - 8 = 0
x + y + z - 4 = 0;
Kada koristite PC verziju " Tečaj više matematike” možete pokrenuti program koji će riješiti gornji primjer za bilo koje koordinate vrhova piramide.
Dvaput kliknite na ikonu za pokretanje programa:
U prozoru programa koji se otvori unesite koordinate vrhova piramide i pritisnite Enter. Tako se sve točke odluke mogu dobiti jedna po jedna.
Napomena: Da biste pokrenuli program, morate imati Maple ( Waterloo Maple Inc.) instaliran na vašem računalu, bilo koju verziju počevši od MapleV Release 4.
Da bismo dobili opću jednadžbu ravnine, analiziramo ravninu koja prolazi kroz datu točku.
Neka postoje tri koordinatne osi koje su nam već poznate u prostoru - Vol, Joj I Oz. Držite list papira tako da ostane ravan. Ravnina će biti sam list i njegov nastavak u svim smjerovima.
Neka P proizvoljna ravnina u prostoru. Svaki vektor okomit na njega naziva se normalni vektor na ovaj avion. Naravno, govorimo o vektoru različitom od nule.
Ako je poznata bilo koja točka ravnine P i neki vektor normale na nju, onda je ta dva uvjeta ravnina u prostoru potpuno određena(kroz zadanu točku prolazi samo jedna ravnina okomita na zadani vektor). Opća jednadžba ravnine će izgledati ovako:
Dakle, postoje uvjeti koji postavljaju jednadžbu ravnine. Da to sam dobijem jednadžba ravnine, koji ima gornji oblik, uzimamo u avion P proizvoljan točka M s promjenjivim koordinatama x, g, z. Ova točka pripada ravnini samo ako vektor okomito na vektor(Sl. 1). Za to je, prema uvjetu okomitosti vektora, potrebno i dovoljno da skalarni produkt tih vektora bude jednak nuli, tj.
Vektor je zadan uvjetom. Koordinate vektora nalazimo po formuli 
:
.
Sada, koristeći formulu točkastog produkta vektora 
, izražavamo skalarni produkt u koordinatnom obliku:
Od točke M(x; y; z) odabran proizvoljno na ravnini, tada posljednju jednadžbu zadovoljavaju koordinate bilo koje točke koja leži na ravnini P. Za točku N, ne leži na datoj ravnini, , tj. jednakost (1) je povrijeđena.
Primjer 1 Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi točkom i okomita je na vektor.
Riješenje. Koristimo formulu (1), pogledajte je ponovno:
U ovoj formuli brojevi A , B I C vektorske koordinate i brojeve x0 , g0 I z0 - koordinate točke.
Izračuni su vrlo jednostavni: te brojeve zamijenimo formulom i dobijemo
Množimo sve što treba pomnožiti i zbrajamo samo brojeve (koji su bez slova). Proizlaziti:
.
Pokazalo se da je tražena jednadžba ravnine u ovom primjeru izražena općom jednadžbom prvog stupnja s obzirom na promjenjive koordinate x, y, z proizvoljna točka ravnine.
Dakle, jednadžba oblika
nazvao opća jednadžba ravnine .
Primjer 2 Konstruirajte u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu ravninu zadanu jednadžbom 
.
Riješenje. Za konstrukciju ravnine potrebno je i dovoljno poznavati bilo koje tri njezine točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji, npr. točke presjeka ravnine s koordinatnim osima.
Kako pronaći te točke? Da biste pronašli točku sjecišta s osi Oz, trebate zamijeniti nule umjesto x i y u jednadžbi danoj u izjavi problema: x = g= 0 . Stoga, dobivamo z= 6 . Dakle, data ravnina siječe os Oz u točki A(0; 0; 6) .
Na isti način nalazimo točku presjeka ravnine s osi Joj. Na x = z= 0 dobivamo g= −3 , odnosno točku B(0; −3; 0) .
I konačno, nalazimo točku presjeka naše ravnine s osi Vol. Na g = z= 0 dobivamo x= 2 , odnosno točku C(2; 0; 0) . Prema dobivenim trima točkama u našem rješenju A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) i C(2; 0; 0) gradimo zadanu ravninu.
Razmislite sada posebni slučajevi opće jednadžbe ravnine. To su slučajevi kada neki koeficijenti jednadžbe (2) nestaju.
1. Kada D= 0 jednadžba 
definira ravninu koja prolazi kroz ishodište, budući da su koordinate točke 0
(0; 0; 0) zadovoljavaju ovu jednadžbu.
2. Kada A= 0 jednadžba 
definira ravninu paralelnu s osi Vol, budući da je vektor normale ove ravnine okomit na os Vol(njegova projekcija na os Vol jednaka nuli). Slično tome, kada B= 0 avion 
paralelna os Joj, i kada C= 0 avion 
paralelno s osi Oz.
3. Kada A=D= 0 jednadžba definira ravninu koja prolazi kroz os Vol jer je paralelna s osi Vol (A=D= 0). Slično, ravnina prolazi kroz os Joj, a ravnina kroz os Oz.
4. Kada A=B= 0 jednadžba definira ravninu paralelnu s koordinatnom ravninom xOy jer je paralelan s osima Vol (A= 0) i Joj (B= 0). Isto tako, ravnina je paralelna s ravninom yOz, a avion - avion xOz.
5. Kada A=B=D= 0 jednadžba (ili z= 0) definira koordinatnu ravninu xOy, budući da je paralelna s ravninom xOy (A=B= 0) i prolazi kroz ishodište ( D= 0). Slično, jednadžba y= 0 u prostoru definira koordinatnu ravninu xOz, i jednadžba x= 0 - koordinatna ravnina yOz.
Primjer 3 Sastavite jednadžbu ravnine P prolazeći kroz os Joj i točka .
Riješenje. Dakle, ravnina prolazi kroz os Joj. Dakle, u njezinoj jednadžbi g= 0 i ova jednadžba ima oblik . Za određivanje koeficijenata A I C koristimo činjenicu da točka pripada ravnini P .
Stoga među njegovim koordinatama postoje one koje se mogu zamijeniti u jednadžbu ravnine, koju smo već izveli (). Pogledajmo ponovno koordinate točke:
M0 (2; −4; 3) .
Među njima x = 2 , z= 3. Zamjenjujemo ih u opću jednadžbu i dobivamo jednadžbu za naš poseban slučaj:
2A + 3C = 0 .
Ostavljamo 2 A na lijevu stranu jednadžbe prenosimo 3 C na desnu stranu i dobivamo
A = −1,5C .
Zamjena pronađene vrijednosti A u jednadžbu, dobivamo
ili .
Ovo je jednadžba potrebna u uvjetu primjera.
Riješite sami zadatak na jednadžbama ravnine, a zatim pogledajte rješenje
Primjer 4 Odredite ravninu (ili ravnine ako ih je više) u odnosu na koordinatne osi ili koordinatne ravnine ako je ravnina(e) dana jednadžbom .
Rješenja tipičnih zadataka koji se javljaju u testovima - u priručniku "Zadaci na ravnini: paralelnost, okomitost, presjek triju ravnina u jednoj točki" .
Jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri točke
Kao što je već rečeno, nužan i dovoljan uvjet za konstruiranje ravnine, osim jedne točke i vektora normale, jesu i tri točke koje ne leže na jednoj pravoj liniji.
Neka se daju tri različite točke , I , Ne leže na istoj ravnoj liniji. Budući da te tri točke ne leže na jednoj ravnoj liniji, vektori i nisu kolinearni, pa stoga bilo koja točka ravnine leži u istoj ravnini s točkama , i ako i samo ako su vektori , i 
komplanaran, tj. ako i samo ako mješoviti proizvod ovih vektora jednaka nuli.
Koristeći izraz mješovitog produkta u koordinatama, dobivamo jednadžbu ravnine
(3)
Proširivanjem determinante ova jednadžba postaje jednadžba oblika (2), tj. opća jednadžba ravnine.
Primjer 5 Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz tri zadane točke koje ne leže na ravnoj liniji:
te odrediti pojedini slučaj opće jednadžbe pravca, ako postoji.
Riješenje. Prema formuli (3) imamo:
Normalna jednadžba ravnine. Udaljenost od točke do ravnine
Normalna jednadžba ravnine je njezina jednadžba, zapisana u obliku