Pateiktas atsitiktinio dydžio x pasiskirstymo tankis. Ištisinio atsitiktinio dydžio lūkestis

………………………………………………………

Аn - atsitiktinis kintamasis X įgavo reikšmę An.

Akivaizdu, kad įvykių suma A1 A2, . , An yra patikimas įvykis, nes atsitiktinis dydis turi turėti bent vieną iš reikšmių x1, x2, xn.

Todėl P (A1 È A2 È . È An) = 1.

Be to, įvykiai A1, A2, ., An yra nenuoseklūs, nes atsitiktinis kintamasis vieno eksperimento metu gali turėti tik vieną iš reikšmių x1, x2, ., xn. Naudodami nesuderinamų įvykių sudėjimo teoremą, gauname

P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,

y. p1+p2+ . +pn = 1 arba trumpai tariant,

Todėl visų skaičių, esančių antroje 1 lentelės eilutėje, kuri pateikia atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį, suma turi būti lygi vienetui.

1 PAVYZDYS. Tegul atsitiktinis dydis X yra taškų, gautų metant kauliuką, skaičius. Raskite paskirstymo dėsnį (lentelės pavidalu).

Atsitiktinis dydis X įgyja reikšmes

x1=1, x2=2, … , x6=6

su tikimybėmis

р1 = р2 = … = р6 =

Paskirstymo dėsnis pateikiamas lentelėje:

2 lentelė

2 PAVYZDYS. Binominis skirstinys. Panagrinėkime atsitiktinį dydį X – įvykio A atvejų skaičių nepriklausomų eksperimentų serijoje, kurių kiekviename A įvyksta su tikimybe p.

Atsitiktinis kintamasis X gali turėti vieną iš šių reikšmių:

0, 1, 2, ., k, ., n.

Tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X įgis k reikšmę, nustatoma pagal Bernulio formulę:

Рn(k)= kur q=1- р.

Šis atsitiktinio dydžio skirstinys vadinamas dvejetainiu arba Bernulio skirstiniu. Bernoulli skirstinys yra visiškai apibrėžtas dviem parametrais: visų eksperimentų skaičiumi n ir tikimybe p, su kuria įvykis įvyks kiekviename atskirame eksperimente.

Binominio skirstinio sąlyga yra tokia:

Šios lygybės pagrįstumui įrodyti pakanka tapatybės

(q+px)n=

įdėti x=1.

3 PAVYZDYS. Puasono pasiskirstymas. Tai yra formos tikimybių skirstinio pavadinimas:

Р(k)= .

Jį lemia vienas (teigiamas) parametras a. Jei ξ yra atsitiktinis dydis su Puasono skirstiniu, tai atitinkamas parametras a yra šio atsitiktinio dydžio vidutinė vertė:

a=Mξ=, kur M yra matematinis lūkestis.

Atsitiktinis dydis yra:

4 PAVYZDYS. Eksponentinis pasiskirstymas.

Jei laikas yra atsitiktinis dydis, pažymėkime jį τ, kad

kur 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.

Vidutinė atsitiktinio dydžio t reikšmė yra:

Paskirstymo tankis turi tokią formą:

4) Normalus pasiskirstymas

Tegul yra nepriklausomi, identiškai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai ir tegul Jei terminai yra pakankamai maži, o skaičius n yra pakankamai didelis, jei n à ∞ atsitiktinio dydžio Mξ matematinė tikėtis ir dispersija Dξ, lygi Dξ=M(ξ–Mξ)2, yra tokios, kad Mξ~a, Dξ ~σ2, tada

- normalusis arba Gauso skirstinys

.

5) Geometrinis skirstinys. Pažymėkime ξ bandymų skaičių iki pirmosios „sėkmės“ pradžios. Jei darysime prielaidą, kad kiekvienas bandymas trunka tam tikrą laiko vienetą, tada ξ galime laikyti laukimo laiką iki pirmosios „sėkmės“. Paskirstymas atrodo taip:

Р(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0

6) Hipergeometrinis skirstinys.

Yra N objektų, tarp kurių n yra „ypatingi objektai“. Tarp visų objektų atsitiktinai atrenkami k objektai. Raskite tikimybę, kad tarp pasirinktų objektų yra lygus r - „ypatingi objektai“. Paskirstymas atrodo taip:

7) Paskalio skirstinys.

Tegu x yra bendras „nesėkmės“ skaičius iki r-osios „sėkmės“. Paskirstymas atrodo taip:

Paskirstymo funkcija yra tokia:

Lygiosios tikimybės skirstinys reiškia, kad atsitiktinis kintamasis x gali turėti bet kokią intervalo reikšmę su tokia pačia tikimybe. Pasiskirstymo tankis apskaičiuojamas kaip

Toliau pateikiami pasiskirstymo tankio grafikai ir pasiskirstymo funkcija.

Prieš aiškinant „baltojo triukšmo“ sąvoką, būtina pateikti keletą apibrėžimų.

Atsitiktinė funkcija yra neatsitiktinio argumento t funkcija, kuri kiekvienai fiksuotai argumento reikšmei yra atsitiktinis kintamasis. Pavyzdžiui, jei U yra atsitiktinis dydis, tai funkcija X(t)=t2U yra atsitiktinė.

Atsitiktinės funkcijos skerspjūvis yra atsitiktinis dydis, atitinkantis fiksuotą atsitiktinės funkcijos argumento reikšmę. Taigi atsitiktinė funkcija gali būti laikoma atsitiktinių dydžių aibe (X(t)), priklausomai nuo parametro t.

Atsitiktinis kintamasis yra kintamasis, kuris, priklausomai nuo įvairių aplinkybių, gali įgyti tam tikras reikšmes ir atsitiktinis kintamasis vadinamas nuolatiniu , jei jis gali gauti bet kokią reikšmę iš bet kurio riboto ar neriboto intervalo. Nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui neįmanoma nurodyti visų galimų reikšmių, todėl nurodome šių reikšmių intervalus, susietus su tam tikromis tikimybėmis.

Ištisinių atsitiktinių dydžių pavyzdžiai: iki tam tikro dydžio šlifuojamos dalies skersmuo, žmogaus ūgis, sviedinio skrydžio nuotolis ir kt.

Kadangi nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams funkcija F(x), Skirtingai nei diskretieji atsitiktiniai dydžiai, niekur neturi šuolių, tada bet kurios ištisinio atsitiktinio dydžio individualios reikšmės tikimybė yra lygi nuliui.

Tai reiškia, kad nenutrūkstamam atsitiktiniam dydžiui kalbėti apie tikimybių pasiskirstymą tarp jo reikšmių nėra prasmės: kiekvienas iš jų turi nulinę tikimybę. Tačiau tam tikra prasme tarp nuolatinio atsitiktinio dydžio verčių yra „daugiau ir mažiau tikėtinų“. Pavyzdžiui, vargu ar kas nors suabejotų, kad atsitiktinio dydžio reikšmė – atsitiktinai sutikto žmogaus ūgis – 170 cm – yra labiau tikėtina nei 220 cm, nors praktikoje gali pasitaikyti abi vertės.

Ištisinio atsitiktinio dydžio ir tikimybių tankio pasiskirstymo funkcija

Kaip pasiskirstymo dėsnis, prasmingas tik nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams, įvedama pasiskirstymo tankio arba tikimybių tankio sąvoka. Priartėkime prie to, palygindami pasiskirstymo funkcijos reikšmę nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui ir diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui.

Taigi, atsitiktinio dydžio (ir diskrečiojo, ir tolydžio) pasiskirstymo funkcija arba integrali funkcija vadinama funkcija, kuri nustato tikimybę, kad atsitiktinio dydžio reikšmė X mažesnė arba lygi ribinei vertei X.

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui jo reikšmių taškuose x1 , x 2 , ..., x aš,... koncentruojamos tikimybių masės p1 , p 2 , ..., p aš,..., o visų masių suma lygi 1. Perkelkime šią interpretaciją į nuolatinio atsitiktinio dydžio atvejį. Įsivaizduokime, kad masė, lygi 1, nėra sutelkta atskiruose taškuose, o nuolat „tepama“ išilgai abscisių ašies Oi su tam tikru netolygiu tankiu. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis pateks į bet kurią sritį Δ x bus interpretuojama kaip pjūvio masė, o vidutinis tankis toje atkarpoje kaip masės ir ilgio santykis. Mes ką tik pristatėme svarbią tikimybių teorijos sąvoką: pasiskirstymo tankį.

Tikimybių tankis f(x) nuolatinio atsitiktinio dydžio yra jo pasiskirstymo funkcijos išvestinė:

.

Žinodami tankio funkciją, galite rasti tikimybę, kad nuolatinio atsitiktinio dydžio reikšmė priklauso uždaram intervalui [ a; b]:

tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis X ims bet kokią reikšmę iš intervalo [ a; b], yra lygus tam tikram jo tikimybės tankio integralui, svyruojančiam nuo a prieš b:

.

Šiuo atveju bendroji funkcijos formulė F(x) ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybės skirstinys, kurį galima naudoti, jei žinoma tankio funkcija f(x) :

.

Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybės tankio grafikas vadinamas jo pasiskirstymo kreive (paveikslas žemiau).

Figūros plotas (paveikslėlyje tamsintas), apribotas kreivės, tiesios linijos, nubrėžtos iš taškų a Ir b statmenai x ašiai ir ašiai Oi, grafiškai rodo tikimybę, kad nuolatinio atsitiktinio dydžio reikšmė X yra diapazone a prieš b.

Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių tankio funkcijos savybės

1. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis paims bet kokią reikšmę iš intervalo (ir figūros ploto, kurį riboja funkcijos grafikas f(x) ir ašis Oi) yra lygus vienetui:

2. Tikimybių tankio funkcija negali turėti neigiamų verčių:

o už skirstinio egzistavimo ribų jo reikšmė lygi nuliui

Pasiskirstymo tankis f(x), taip pat paskirstymo funkcija F(x), yra viena iš skirstinio dėsnio formų, tačiau, skirtingai nei pasiskirstymo funkcija, ji nėra universali: pasiskirstymo tankis egzistuoja tik nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams.

Paminėsime du praktikoje svarbiausius nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tipus.

Jei pasiskirstymo tankio funkcija f(x) nuolatinis atsitiktinis kintamasis tam tikrame baigtiniame intervale [ a; b] įgauna pastovią reikšmę C, o už intervalo ribų įgauna reikšmę, lygią nuliui, tada tai pasiskirstymas vadinamas vienodu .

Jei pasiskirstymo tankio funkcijos grafikas yra simetriškas centrui, vidutinės reikšmės koncentruojamos šalia centro, o tolstant nuo centro renkamos tos, kurios labiau skiriasi nuo vidurkio (funkcijos grafikas primena pjūvį varpelio), tada tai pasiskirstymas vadinamas normaliu .

1 pavyzdys. Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybės pasiskirstymo funkcija yra žinoma:

Rasti funkciją f(x) ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybės tankis. Sukurkite abiejų funkcijų grafikus. Raskite tikimybę, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis įgis bet kokią reikšmę intervale nuo 4 iki 8: .

Sprendimas. Tikimybių tankio funkciją gauname radę tikimybių pasiskirstymo funkcijos išvestinę:

Funkcijos grafikas F(x) – parabolė:

Funkcijos grafikas f(x) – tiesiai:

Raskime tikimybę, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis įgis bet kokią reikšmę intervale nuo 4 iki 8:

2 pavyzdys. Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybės tankio funkcija pateikiama taip:

Apskaičiuokite koeficientą C. Rasti funkciją F(x) ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys. Sukurkite abiejų funkcijų grafikus. Raskite tikimybę, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis įgis bet kokią reikšmę diapazone nuo 0 iki 5: .

Sprendimas. Koeficientas C naudodamiesi tikimybės tankio funkcijos savybe 1 randame:

Taigi ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybės tankio funkcija yra:

Integruodami randame funkciją F(x) tikimybių skirstiniai. Jeigu x < 0 , то F(x) = 0. Jei 0< x < 10 , то

.

x> 10, tada F(x) = 1 .

Taigi visas tikimybių pasiskirstymo funkcijos įrašas yra:

Funkcijos grafikas f(x) :

Funkcijos grafikas F(x) :

Raskime tikimybę, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis įgis bet kokią reikšmę diapazone nuo 0 iki 5:

3 pavyzdys. Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių tankis X yra pateikta lygybė , ir . Rasti koeficientą A, tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis X ims bet kokią reikšmę iš intervalo ]0, 5[, ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos X.

Sprendimas. Pagal sąlygą pasiekiame lygybę

Todėl, iš kur. Taigi,

.

Dabar randame tikimybę, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis X paims bet kokią reikšmę iš intervalo ]0, 5[:

Dabar gauname šio atsitiktinio dydžio paskirstymo funkciją:

4 pavyzdys. Raskite ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių tankį X, kuris ima tik neneigiamas reikšmes, ir jo paskirstymo funkciją .

1 pratimas. Ištisinio atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo tankis yra toks:
Rasti:
a) parametras A;
b) pasiskirstymo funkcija F(x) ;
c) tikimybė, kad atsitiktinis dydis X pateks į intervalą;
d) matematinis lūkestis MX ir dispersija DX.
Nubraižykite funkcijų f(x) ir F(x) grafiką.

2 užduotis. Raskite integralinės funkcijos pateiktą atsitiktinio dydžio X dispersiją.

3 užduotis. Raskite atsitiktinio dydžio X matematinį tikėjimą, atsižvelgiant į pasiskirstymo funkciją.

4 užduotis. Kai kurių atsitiktinių dydžių tikimybės tankis pateikiamas taip: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Raskite koeficientą A, pasiskirstymo funkciją F(x), matematinį lūkestį ir dispersiją, taip pat tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę intervale. Nubraižykite grafikus f(x) ir F(x).

Užduotis. Kai kurių nuolatinių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo funkcija pateikiama taip:

Nustatykite parametrus a ir b, raskite tikimybės tankio f(x), matematinio lūkesčio ir dispersijos išraišką, taip pat tikimybę, kad atsitiktinis dydis intervale įgis reikšmę. Nubraižykite f(x) ir F(x) grafikus.

Raskime pasiskirstymo tankio funkciją kaip pasiskirstymo funkcijos išvestinę.
F′=f(x)=a
Žinodami, kad rasime parametrą a:

arba 3a = 1, iš kur a = 1/3
Parametrą b randame iš šių savybių:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1, iš kur b = -1/3
Todėl paskirstymo funkcija turi tokią formą: F(x) = (x-1)/3

Tikėtina vertė.


Sklaida.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Raskime tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę intervale
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

1 pavyzdys. Pateiktas ištisinio atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymo tankis f(x). Reikalinga:

1. Nustatykite koeficientą A.
2. raskite skirstinio funkciją F(x) .
3. Schematiškai sukonstruokite F(x) ir f(x) grafikus.
4. Raskite X matematinę lūkesčius ir dispersiją.
5. raskite tikimybę, kad X paims reikšmę iš intervalo (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Sprendimas:

Atsitiktinis dydis X nurodomas pasiskirstymo tankiu f(x):

Raskime parametrą A iš sąlygos:



arba
14/3*A-1 = 0
kur,
A = 3/14

Paskirstymo funkciją galima rasti naudojant formulę.

ATSITIKTINIAI KINTAMAI

2.1 pavyzdys. Atsitiktinė vertė X duota paskirstymo funkcijos

Raskite tikimybę, kad atlikus testą X imsis intervale esančias vertes (2,5; 3,6).

Sprendimas: X intervale (2.5; 3.6) galima nustatyti dviem būdais:

2.2 pavyzdys. Kokiomis parametrų reikšmėmis A Ir IN funkcija F(x) = A + Be - x gali būti neneigiamų atsitiktinio dydžio reikšmių pasiskirstymo funkcija X.

Sprendimas: Kadangi visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės X priklauso intervalui , tada, kad funkcija būtų paskirstymo funkcija X, turtas turi būti patenkintas:

.

Atsakymas: .

2.3 pavyzdys. Atsitiktinis dydis X nurodomas paskirstymo funkcija

Raskite tikimybę, kad, atlikus keturis nepriklausomus testus, vertė X lygiai 3 kartus užims intervalui priklausančią reikšmę (0,25;0,75).

Sprendimas: Tikimybė pasiekti vertę X intervale (0,25; 0,75) randame naudodami formulę:

2.4 pavyzdys. Tikimybė, kad kamuolys vienu smūgiu pataikys į krepšį, yra 0,3. Sudarykite pataikymo trimis metimais skaičiaus paskirstymo dėsnį.

Sprendimas: Atsitiktinė vertė X– pataikimų į krepšį skaičius trimis metimais – gali įgauti tokias reikšmes: 0, 1, 2, 3. Tikimybės, kad X

X:

2.5 pavyzdys. Du šauliai paleidžia po vieną šūvį į taikinį. Tikimybė, kad pirmasis šaulys jį pataikys yra 0,5, antrasis – 0,4. Sudarykite pataikymo į taikinį skaičiaus paskirstymo dėsnį.

Sprendimas: Raskime diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį X– smūgių į taikinį skaičius. Tegul įvykis yra pirmasis šaulys, pataikęs į taikinį, o antrasis šaulys pataiko į taikinį ir atitinkamai jų nepataikė.

Sudarykime SV tikimybių skirstinio dėsnį X:

2.6 pavyzdys. Testuojami trys elementai, veikiantys vienas nuo kito nepriklausomai. Elementų veikimo be gedimų trukmė (valandomis) turi pasiskirstymo tankio funkciją: pirmiausia: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, antram: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, trečiam: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Raskite tikimybę, kad laiko intervale nuo 0 iki 5 valandų: suges tik vienas elementas; tik du elementai suges; visi trys elementai žlugs.

Sprendimas: Naudokime tikimybę generuojančios funkcijos apibrėžimą:

Tikimybė, kad nepriklausomi bandymai, kurių pirmame – įvykio tikimybė A lygus , antrame ir t. t. įvykiui A pasirodo lygiai vieną kartą, lygus generuojančios funkcijos išplėtimo koeficientui laipsniais. Raskime pirmojo, antrojo ir trečiojo elemento gedimo ir nesugedimo tikimybes laiko intervale nuo 0 iki 5 valandų:

Sukurkime generavimo funkciją:

Koeficientas at yra lygus tikimybei, kad įvykis A pasirodys lygiai tris kartus, tai yra visų trijų elementų gedimo tikimybė; koeficientas at lygus tikimybei, kad nepavyks tiksliai dviejų elementų; koeficientas at yra lygus tikimybei, kad suges tik vienas elementas.

2.7 pavyzdys. Atsižvelgiant į tikimybių tankį f(x)atsitiktinis kintamasis X:

Raskite skirstymo funkciją F(x).

Sprendimas: Mes naudojame formulę:

.

Taigi paskirstymo funkcija atrodo taip:

2.8 pavyzdys. Prietaisas susideda iš trijų nepriklausomai veikiančių elementų. Kiekvieno elemento gedimo tikimybė viename eksperimente yra 0,1. Sudarykite nesėkmingų elementų skaičiaus paskirstymo dėsnį viename eksperimente.

Sprendimas: Atsitiktinė vertė X– elementų, kuriems nepavyko atlikti vieno eksperimento, skaičius – gali būti tokios reikšmės: 0, 1, 2, 3. Tikimybės, kad X paima šias reikšmes, randame naudodami Bernulio formulę:

Taigi gauname tokį atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo dėsnį X:

2.9 pavyzdys. 6 dalių partijoje yra 4 standartinės. Atsitiktinai atrinktos 3 dalys. Sudarykite standartinių dalių paskirstymo tarp pasirinktų dalių dėsnį.

Sprendimas: Atsitiktinė vertė X– standartinių dalių skaičius tarp pasirinktų – gali turėti šias reikšmes: 1, 2, 3 ir turi hipergeometrinį pasiskirstymą. Tikimybės, kad X

Kur -- partijos dalių skaičius;

-- standartinių dalių skaičius partijoje;

– pasirinktų dalių skaičius;

-- standartinių dalių skaičius tarp pasirinktų.

.

.

.

2.10 pavyzdys. Atsitiktinis dydis turi pasiskirstymo tankį

ir nėra žinomi, bet , a ir . Rasti ir.

Sprendimas:Šiuo atveju atsitiktinis dydis X turi trikampį pasiskirstymą (Simpsono skirstinys) intervale [ a, b]. Skaitmeninės charakteristikos X:

Vadinasi, . Išspręsdami šią sistemą, gauname dvi reikšmių poras: . Kadangi pagal problemos sąlygas pagaliau turime: .

Atsakymas: .

2.11 pavyzdys. Vidutiniškai mažiau nei 10% sutarčių draudimo bendrovė sumoka draudimo sumas, susijusias su įvykusiu draudiminiu įvykiu. Apskaičiuokite tokių sutarčių skaičiaus matematinį tikėjimą ir sklaidą tarp keturių atsitiktinai atrinktų sutarčių.

Sprendimas: Matematinį lūkestį ir dispersiją galima rasti naudojant formules:

.

Galimos SV reikšmės (sutarčių skaičius (iš keturių) su įvykusiu draudiminiu įvykiu): 0, 1, 2, 3, 4.

Skirtingo skaičiaus sutarčių (iš keturių), už kurias buvo sumokėtos draudimo sumos, tikimybes apskaičiuoti naudojame Bernoulli formulę:

.

IC paskirstymo serija (sutarčių, įvykus draudžiamajam įvykiui, skaičius) yra tokia:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Atsakymas: ,.

2.12 pavyzdys. Iš penkių rožių dvi yra baltos. Sudarykite atsitiktinio dydžio, išreiškiančio baltųjų rožių skaičių tarp dviejų vienu metu paimtų, pasiskirstymo dėsnį.

Sprendimas: Pasirinkus dvi rožes, baltos rožės gali nebūti arba gali būti viena ar dvi baltos rožės. Todėl atsitiktinis dydis X gali įgauti reikšmes: 0, 1, 2. Tikimybės, kad X paima šias reikšmes, randame jas naudodami formulę:

Kur -- rožių skaičius;

-- baltų rožių skaičius;

– vienu metu paimtų rožių skaičius;

-- baltų rožių skaičius tarp paimtųjų.

.

.

.

Tada atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis bus toks:

2.13 pavyzdys. Iš 15 surinktų agregatų 6 reikia papildomai sutepti. Sudarykite vienetų, kuriuos reikia papildomai sutepti, paskirstymo dėsnį tarp penkių atsitiktinai atrinktų iš bendro skaičiaus.

Sprendimas: Atsitiktinė vertė X– vienetų, kuriems reikia papildomo tepimo, skaičius tarp penkių pasirinktų – gali turėti šias reikšmes: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ir turi hipergeometrinį pasiskirstymą. Tikimybės, kad X paima šias reikšmes, randame jas naudodami formulę:

Kur -- surinktų vienetų skaičius;

-- vienetų, kuriems reikia papildomo tepimo, skaičius;

– pasirinktų vienetų skaičius;

-- vienetų, kuriems reikia papildomo tepimo, skaičius tarp pasirinktų.

.

.

.

.

.

.

Tada atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis bus toks:

2.14 pavyzdys. Iš 10 remontui gautų laikrodžių 7 reikalauja generalinio mechanizmo valymo. Laikrodžiai nerūšiuojami pagal remonto tipą. Meistras, norėdamas rasti laikrodžius, kuriuos reikia valyti, apžiūri juos po vieną ir, radęs tokius laikrodžius, nustoja toliau žiūrėti. Raskite matematinį lūkesčius ir žiūrėtų valandų skaičiaus dispersiją.

Sprendimas: Atsitiktinė vertė X– vienetų, kuriems reikia papildomo tepimo, skaičius tarp penkių pasirinktų – gali būti tokios reikšmės: 1, 2, 3, 4. Tikimybės, kad X paima šias reikšmes, randame jas naudodami formulę:

.

.

.

.

Tada atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis bus toks:

Dabar apskaičiuokime skaitines kiekio charakteristikas:

Atsakymas: ,.

2.15 pavyzdys. Abonentas pamiršo paskutinį jam reikalingo telefono numerio skaitmenį, bet prisimena, kad jis yra nelyginis. Raskite matematinį lūkestį ir dispersiją, kiek kartų jis surenka telefono numerį prieš pasiekdamas norimą numerį, jei paskutinį skaitmenį renka atsitiktinai, o vėliau nesurenka rinkto skaitmens.

Sprendimas: Atsitiktinis dydis gali turėti šias reikšmes: . Kadangi abonentas ateityje nesurenka rinkto skaitmens, šių reikšmių tikimybė yra vienoda.

Sudarykime atsitiktinio dydžio pasiskirstymo eilutę:

	0,2

Apskaičiuokime matematinius lūkesčius ir bandymų rinkti skaičių dispersiją:

Atsakymas: ,.

2.16 pavyzdys. Kiekvieno serijos įrenginio gedimo tikimybė tikrinant patikimumą yra lygi p. Nustatykite matematinį tikėtiną įrenginių, kurie sugedo, jei jie buvo išbandyti, skaičiaus N prietaisai.

Sprendimas: Diskretusis atsitiktinis kintamasis X yra sugedusių įrenginių skaičius N nepriklausomi testai, kurių kiekvieno gedimo tikimybė yra lygi p, paskirstytas pagal dvinario dėsnį. Matematinė dvinario skirstinio prognozė yra lygi bandymų skaičiui, padaugintam iš įvykio, kuris įvyks viename bandyme, tikimybės:

2.17 pavyzdys. Diskretus atsitiktinis dydis X ima 3 galimas reikšmes: su tikimybe ; su tikimybe ir su tikimybe. Raskite ir žinodami, kad M( X) = 8.

Sprendimas: Mes naudojame matematinio lūkesčio apibrėžimus ir diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnį:

Mes randame: .

2.18 pavyzdys. Techninės kontrolės skyrius tikrina gaminių standartiškumą. Tikimybė, kad produktas yra standartinis, yra 0,9. Kiekvienoje partijoje yra 5 produktai. Raskite atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą X– partijų, kurių kiekvienoje yra lygiai 4 standartiniai gaminiai, skaičius, jei tikrinama 50 partijų.

Sprendimas:Šiuo atveju visi atlikti eksperimentai yra nepriklausomi, o tikimybė, kad kiekvienoje partijoje yra lygiai 4 standartiniai produktai, yra vienoda, todėl matematinį lūkestį galima nustatyti pagal formulę:

,

kur yra partijų skaičius;

Tikimybė, kad partijoje yra lygiai 4 standartiniai produktai.

Tikimybę randame naudodami Bernulio formulę:

Atsakymas: .

2.19 pavyzdys. Raskite atsitiktinio dydžio dispersiją X– įvykio atvejų skaičius A dviejuose nepriklausomuose bandymuose, jei įvykio tikimybė šiuose bandymuose yra vienoda ir žinoma, kad M(X) = 0,9.

Sprendimas: Problemą galima išspręsti dviem būdais.

1) Galimos SV reikšmės X: 0, 1, 2. Naudodami Bernulio formulę nustatome šių įvykių tikimybes:

, , .

Tada platinimo įstatymas X turi formą:

Iš matematinio lūkesčio apibrėžimo nustatome tikimybę:

Raskime SV sklaidą X:

.

2) Galite naudoti formulę:

.

Atsakymas: .

2.20 pavyzdys. Normalaus paskirstymo atsitiktinio dydžio lūkestis ir standartinis nuokrypis X atitinkamai lygus 20 ir 5. Raskite tikimybę, kad kaip testo rezultatas X ims reikšmę, esančią intervale (15; 25).

Sprendimas: Tikimybė pataikyti į normalų atsitiktinį kintamąjį X atkarpoje nuo iki išreiškiama Laplaso funkcija:

2.21 pavyzdys. Suteikta funkcija:

Esant kokiai parametro vertei Cši funkcija yra tam tikro nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis X? Raskite atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius ir dispersiją X.

Sprendimas: Kad funkcija būtų kokio nors atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis, ji turi būti neneigiama ir turi atitikti savybę:

.

Taigi:

Apskaičiuokime matematinį lūkestį naudodami formulę:

.

Apskaičiuokime dispersiją naudodami formulę:

T lygus p. Būtina rasti šio atsitiktinio dydžio matematinį lūkestį ir dispersiją.

Sprendimas: Diskretiškojo atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnis – įvykio įvykių skaičius nepriklausomuose bandymuose, kurių kiekviename įvykio įvykimo tikimybė yra lygi , vadinamas dvejetainiu. Matematinė dvinario skirstinio lūkesčiai yra lygūs bandymų skaičiaus ir įvykio A pasireiškimo tikimybės sandaugai viename bandyme:

.

2.25 pavyzdys.Į taikinį paleidžiami trys nepriklausomi šūviai. Kiekvieno šūvio pataikymo tikimybė yra 0,25. Nustatykite standartinį smūgių skaičiaus nuokrypį trimis šūviais.

Sprendimas: Kadangi atliekami trys nepriklausomi bandymai, o įvykio A (attikimo) tikimybė kiekviename bandyme yra vienoda, manysime, kad diskretinis atsitiktinis kintamasis X – pataikymų į taikinį skaičius – pasiskirsto pagal dvinario dėsnis.

Binominio skirstinio dispersija yra lygi bandymų skaičiaus ir įvykio atsiradimo ir neįvykimo tikimybės sandaugai viename bandyme:

2.26 pavyzdys. Vidutinis klientų skaičius draudimo bendrovėje per 10 minučių apsilanko trys. Raskite tikimybę, kad per ateinančias 5 minutes atvyks bent vienas klientas.

Vidutinis klientų, atvykstančių per 5 minutes, skaičius: . .

2.29 pavyzdys. Programos laukimo laikas procesoriaus eilėje atitinka eksponentinį paskirstymo dėsnį, kurio vidutinė reikšmė yra 20 sekundžių. Raskite tikimybę, kad kita (atsitiktinė) užklausa lauks procesoriaus ilgiau nei 35 sekundes.

Sprendimas:Šiame pavyzdyje matematinis lūkestis , o gedimo dažnis yra lygus .

Tada norima tikimybė:

2.30 pavyzdys. 15 mokinių grupė posėdžiauja salėje, kurioje yra 20 eilių po 10 sėdimų vietų. Kiekvienas mokinys salėje užima vietą atsitiktinai. Kokia tikimybė, kad septintoje eilės vietoje atsidurs ne daugiau kaip trys žmonės?

Sprendimas:

2.31 pavyzdys.

Tada pagal klasikinį tikimybės apibrėžimą:

Kur -- partijos dalių skaičius;

-- nestandartinių dalių skaičius partijoje;

– pasirinktų dalių skaičius;

-- nestandartinių dalių skaičius tarp pasirinktų.

Tada atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis bus toks.

Matematinis lūkestis Diskretusis atsitiktinis dydis vadinamas:

Jei yra begalinis reikšmių rinkinys, dešinėje (4.4) pusėje yra eilutė, ir mes atsižvelgsime tik į tas X reikšmes, kurioms ši eilutė yra absoliučiai konvergentiška.

M(X) reiškia vidutinę tikėtiną atsitiktinio dydžio reikšmę. Jis turi šias savybes:

1) M(C)=C, kur C=konst

2) M (CX) = CM (X) (4,5)

3) M (X+Y)=M(X)+M(Y), bet kokiems X ir Y.

4) M (XY) = M (X) M(Y), jei X ir Y yra nepriklausomi.

Įvertinti atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidos laipsnį aplink jo vidutinę vertę M(X)= A pristatomos sąvokos dispersijosD(X) ir vidutinis kvadratinis (standartinis) nuokrypis. Dispersija vadinamas skirtumo kvadratu matematiniu lūkesčiu (X-), tie. :

D(X)=M(X-) 2 = p i ,

Kur =M(X); apibrėžiamas kaip dispersijos kvadratinė šaknis, t.y. .

Norėdami apskaičiuoti dispersiją, naudokite formulę:

(4.6)

Sklaidos ir standartinio nuokrypio savybės:

1) D(C)=0, kur C=konst

2) D(CX) = C 2 D(X), (CX) = çCç (X) (4.7)

3) D(X+Y) =D(X)+D(Y),

jei X ir Y yra nepriklausomi.

Dydžių matmuo ir sutampa su paties atsitiktinio dydžio X matmeniu, o D(X) matmuo yra lygus atsitiktinio dydžio X matmens kvadratui.

4.3. Matematinės operacijos su atsitiktiniais dydžiais.

Tegul atsitiktinis dydis X įgauna reikšmes su tikimybėmis, o atsitiktinis dydis Y – su tikimybėmis. Atsitiktinio dydžio X sandauga KX ir pastovioji reikšmė K yra naujas atsitiktinis dydis, kuris su tokiomis pat tikimybėmis kaip ir atsitiktinis kintamasis X, įgyja reikšmes, lygias atsitiktinio dydžio X K reikšmių sandaugoms. Todėl jo pasiskirstymo dėsnis yra 4.2 lentelė:

4.2 lentelė

			...
			...

Kvadratas atsitiktinis dydis X, t.y. , yra naujas atsitiktinis kintamasis, kuris su tokiomis pačiomis tikimybėmis kaip ir atsitiktinis kintamasis X ima reikšmes, lygias jo reikšmių kvadratams.

Suma atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra naujas atsitiktinis kintamasis, kuris įgauna visas formos reikšmes su tikimybėmis, išreiškiančiomis tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmę, o Y yra reikšmė, tai yra

(4.8)

Jei atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, tada:

Atsitiktinių dydžių X ir Y skirtumas ir sandauga nustatomi panašiai.

Skirtumas atsitiktiniai dydžiai X ir Y - tai naujas atsitiktinis kintamasis, kuris įgauna visas ir formos reikšmes dirbti- visos formos reikšmės su tikimybėmis, nustatytomis pagal (4.8) formulę, o jei atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, tada pagal (4.9) formulę.

4.4. Bernulli ir Puasono skirstiniai.

Apsvarstykite n identiškų pakartotinių bandymų seką, atitinkančią šias sąlygas:

1. Kiekvienas testas turi du rezultatus, vadinamus sėkme ir nesėkme.

Šie du rezultatai yra tarpusavyje nesuderinami ir priešingi įvykiai.

2. Sėkmės tikimybė, žymima p, išlieka pastovi nuo bandymo iki bandymo. Gedimo tikimybė žymima q.

3. Visi n testų yra nepriklausomi. Tai reiškia, kad įvykio tikimybė bet kuriame iš n kartotinių bandymų nepriklauso nuo kitų bandymų rezultatų.

Tikimybė, kad n nepriklausomų pakartotinių bandymų, kurių kiekviename įvykio tikimybė yra lygi , įvykis įvyks lygiai m kartų (bet kokia seka), yra lygi

(4.10)

Išraiška (4.10) vadinama Bernulio formule.

Tikimybės, kad įvykis įvyks:

a) mažiau nei m kartų,

b) daugiau nei m kartų,

c) bent m kartų,

d) ne daugiau kaip m kartų - randami atitinkamai pagal formules:

Dvejetainis yra diskretinio atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnis – įvykio įvykių skaičius n nepriklausomų bandymų, kurių kiekviename įvykio įvykimo tikimybė yra lygi p; galimų reikšmių X = 0,1,2,..., m,...,n tikimybės apskaičiuojamos pagal Bernulio formulę (4.3 lentelė).

4.3 lentelė

Sėkmių skaičius X=m				...	m	...	n
Tikimybė P				...		...

Kadangi (4.10) formulės dešinė pusė reiškia bendrąjį dvinario plėtimosi terminą, šis skirstymo dėsnis vadinamas dvinario. Atsitiktiniam dydžiui X, paskirstytam pagal dvinarį dėsnį, turime.