Historyczny rozwój systemów liczbowych. Starożytne systemy liczbowe

Historia rozwoju systemów liczbowych . 2

Binarne systemy liczbowe 6

Arytmetyka binarna 10

Formy reprezentacji liczb stałymi i zmiennoprzecinkowymi. 13

Dodawanie liczb stałych. 16

Dodawanie liczb zmiennoprzecinkowych. 16

Mnożenie liczb stałoprzecinkowych. 17

Mnożenie liczb zmiennoprzecinkowych. 18

9. Kody bezpośrednie, zwrotne i dodatkowe. Zmodyfikowany kod. 20

Historia rozwoju systemów liczbowych.

Rachunek różniczkowy, numeracja, to zestaw technik przedstawiania liczb naturalnych. W dowolnym systemie liczbowym do oznaczenia pewnych liczb stosuje się pewne symbole (słowa lub znaki), zwane numerami węzłów, pozostałe liczby (algorytmiczne) uzyskuje się w wyniku pewnych operacji na numerach węzłów. Systemy liczbowe różnią się doborem liczb kluczowych i sposobami generowania liczb algorytmicznych, a wraz z pojawieniem się pisanych zapisów symboli numerycznych systemy liczbowe zaczęły różnić się charakterem znaków numerycznych i zasadami ich zapisywania.

Najdoskonalszą zasadą przedstawiania liczb jest zasada pozycyjna, zgodnie z którą ten sam znak numeryczny (cyfra) ma różne znaczenia w zależności od miejsca, w którym się znajduje. Taki system liczbowy polega na tym, że pewną liczbę n jednostek (podstawę systemu liczbowego) łączy się w jedną jednostkę drugiej cyfry, n jednostek drugiej cyfry łączy się w jedną jednostkę trzeciej cyfry itd. Podstawą systemu liczbowego może być dowolna liczba większa niż jeden. Do takich systemów należy nowoczesny system liczb dziesiętnych (o podstawie n=10). W nim cyfry 0,1,...,9 służą do wskazania pierwszych dziesięciu liczb.

Mimo pozornej naturalności takiego układu, był on wynikiem długiego rozwoju historycznego. Pojawienie się systemu dziesiętnego wiąże się z liczeniem na palcach. Istniały systemy liczbowe z inną podstawą: 5,12 (liczenie w dziesiątkach), 20 (ślady takiego systemu zachowały się w języku francuskim, np. quatre – vingts, czyli dosłownie cztery – dwadzieścia, czyli 80), 40, 60 itd. Podczas obliczeń komputery często używają systemu liczbowego o podstawie 2.

Ludy prymitywne nie miały rozwiniętego systemu liczbowego. W XIX wieku wiele plemion w Australii i Polinezji miało tylko dwie cyfry: jedną i dwie; ich kombinacje utworzyły liczby: 3 - dwa - jeden, 4 - dwa - dwa, 5 - dwa - dwa - jeden i 6 - dwa - dwa - dwa. O wszystkich liczbach większych niż 6 mówiono „dużo”, bez ich indywidualizowania. Wraz z rozwojem życia społecznego i gospodarczego pojawiła się potrzeba tworzenia systemów liczbowych, które umożliwiłyby oznaczenie coraz większych zbiorów obiektów. Jednym z najstarszych systemów liczbowych jest egipska numeracja hieroglificzna, która powstała już w latach 2500–3000 p.n.e. mi. Był to dziesiętny niepozycyjny system liczbowy, w którym do zapisywania liczb stosowano jedynie zasadę dodawania (liczby wyrażone przez sąsiednie cyfry sumują się). Dla jednostki były specjalne znaki ▯ , dziesięć ⋓, sto i inne miejsca po przecinku do . Liczba 343 została zapisana w ten sposób:

Podobnymi systemami liczbowymi były grecki Herodian, rzymski, syryjski itp.

Cyfry rzymskie to tradycyjna nazwa systemu znaków do oznaczania liczb, oparta na użyciu specjalnych symboli miejsc dziesiętnych:

1 5 10 50 100 500 1000

Powstał około 500 roku p.n.e. mi. wśród Etrusków i był używany w starożytnym Rzymie; czasami nadal używany. W tym systemie liczbowym liczby naturalne zapisuje się poprzez powtarzanie tych cyfr. Co więcej, jeśli przed mniejszą liczbą jest większa, to się je dodaje (zasada dodawania), natomiast jeśli mniejsza jest przed większą, to mniejszą odejmuje się od większej (zasada dodawania) zasada odejmowania). Ostatnia zasada dotyczy tylko unikania czterokrotnego powtarzania tej samej liczby. Na przykład I, X, C są umieszczone odpowiednio przed X, C, M, aby wskazać 9, 90, 900 lub przed V, L, D, aby wskazać 4, 40, 400.

Przykładowo VI=5+1=6, IV=5-1=4 (zamiast IIII), XIX=10+10-1=19 (zamiast XVIIII), XL=50-10=40 (zamiast XXXX ), XXXIII= 10+10+10+1+1+1=33 itd. Wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach wielocyfrowych w tym systemie jest bardzo niewygodne.

Bardziej zaawansowane systemy liczbowe to alfabet: joński, słowiański, hebrajski, arabski, a także gruziński i ormiański. Pierwszym alfabetycznym systemem liczbowym był najwyraźniej joński, który powstał w greckich koloniach w Azji Mniejszej w połowie V wieku p.n.e. mi. W alfabetycznych systemach liczbowych liczby od 1 do 9, a także wszystkie dziesiątki i setki są zwykle oznaczane kolejnymi literami alfabetu (nad którymi umieszczane są myślniki, aby odróżnić wpisy liczb od słów). Liczba 343 w systemie jońskim została zapisana w następujący sposób:
(Tutaj - 300, - 40, - 3).

Cyfrowe znaczenie alfabetu słowiańskiego. Zatem dla cyrylicy:

Aby wskazać cyfry nad literami, specjalnym znakiem jest tytuł (czasami nad każdą literą, czasem tylko nad pierwszą lub nad całą liczbą).W przypadku pisania liczb większych niż 10, liczby pisano od lewej do prawej w kolejności malejącej miejsca po przecinku (jednak czasami dla liczb od 11 do 19 jednostek zapisywano wcześniej niż dziesięć). Aby oznaczyć tysiące, przed ich liczbą umieszczono specjalny znak (na dole po lewej). Na przykład:

Aby wyznaczyć i nazwać wyższe miejsca po przecinku (więcej
) istniały dwa systemy: „mała liczba” i „wielka liczba”; ten ostatni system obejmował liczby do
lub nawet
(„Umysł ludzki nie jest w stanie pojąć nic więcej”):

Liczby słowiańskie były głównym oznaczeniem cyfrowym w Rosji aż do XVIII wieku.

W alfabetycznych systemach liczbowych liczby są zapisywane znacznie krócej niż w poprzednich; ponadto znacznie łatwiej jest wykonywać operacje arytmetyczne na liczbach zapisanych w numeracji alfabetycznej. Jednak w systemach liczb alfabetycznych nie można pisać dowolnie dużych liczb. Grecy rozszerzyli numerację jońską: liczby 1000, 2000,...,9000 oznaczyli tymi samymi literami co 1,2,...,9, ale postawili kreskę w lewym dolnym rogu: a więc,
oznaczało 1000, - 2000 itd. Wprowadzono nowy znak za 10 000. Niemniej jednak joński system liczbowy okazał się nieodpowiedni do obliczeń astronomicznych epoki hellenistycznej, a ówcześni astronomowie greccy zaczęli łączyć system alfabetyczny z babilońskim sześćdziesiątkowym - pierwszym znanym nam systemem liczbowym opartym na zasadzie pozycyjnej. W systemie liczbowym starożytnych Babilończyków, który powstał około 2000 roku p.n.e. mi. wszystkie liczby zapisano przy użyciu dwóch znaków: (dla jednego) i (dla dziesięciu). Liczby do 60 zapisano jako kombinację tych dwóch znaków, stosując zasadę dodawania. Liczba 60 została ponownie oznaczona znakiem, będąc jednostką najwyższej kategorii. Do zapisania liczb od 60 do 3600 ponownie zastosowano zasadę dodawania, a liczbę 36 000 oznaczono tym samym znakiem co jeden itd. Liczbę 343 = 5*60+4*10+3 w tym systemie zapisano jako następująco:

Jednakże ze względu na brak znaku zera, którym można by było zaznaczyć brakujące cyfry, zapis liczb w tym systemie liczbowym nie był jednoznaczny. Osobliwością babilońskiego systemu liczbowego było to, że wartość bezwzględna liczb pozostawała niepewna.

Inny system liczbowy oparty na zasadzie pozycyjnej powstał wśród Indian Majów, mieszkańców Półwyspu Jukatan (Ameryka Środkowa) w połowie I tysiąclecia naszej ery. mi. Majowie mieli dwa systemy liczbowe: jeden, przypominający egipski, był używany w życiu codziennym, drugi - pozycyjny, o podstawie 20 i specjalnym znaku zera, był używany w obliczeniach kalendarzowych. Nagranie w tym systemie, podobnie jak w naszym współczesnym, było absolutne.

Współczesny dziesiętny system liczb pozycyjnych powstał na podstawie numeracji, która powstała nie później niż w V wieku. w Indiach. Wcześniej w Indiach istniały systemy liczbowe, które stosowały nie tylko zasadę dodawania, ale także zasadę mnożenia (jednostkę jakiejś cyfry mnoży się przez liczbę po lewej stronie). Stary chiński system liczbowy i niektóre inne zostały zbudowane w podobny sposób. Jeśli np. umownie oznaczymy liczbę 3 jako symbol III, a liczbę 10 jako symbol X, to liczba 30 zostanie zapisana jako IIIX (trzy dziesiątki). Takie systemy liczbowe mogłyby służyć jako podejście do tworzenia dziesiętnej numeracji pozycyjnej.

Dziesiętny system pozycyjny umożliwia w zasadzie zapisywanie dowolnie dużych liczb. Zapisywanie w nim liczb jest zwarte i wygodne do wykonywania operacji arytmetycznych. Dlatego wkrótce po powstaniu dziesiętny system liczb pozycyjnych zaczyna rozprzestrzeniać się z Indii na Zachód i Wschód. W IX wieku pojawiły się rękopisy w języku arabskim, które określały ten system liczbowy, w X wieku dziesiętna numeracja pozycyjna dotarła do Hiszpanii, na początku XII wieku pojawiła się w innych krajach europejskich. Nowy system liczbowy nazwano arabskim, ponieważ w Europie został po raz pierwszy wprowadzony do niego poprzez łacińskie tłumaczenia z języka arabskiego. Dopiero w XVI wieku nowa numeracja upowszechniła się w nauce i życiu codziennym. W Rosji zaczyna się rozprzestrzeniać w XVII i na początku XVIII wieku. zastępuje alfabetyczny. Wraz z wprowadzeniem ułamków dziesiętnych dziesiętny system liczb pozycyjnych stał się uniwersalnym sposobem zapisywania wszystkich liczb rzeczywistych.

Wykład 1. Systemy liczbowe

1. Historia powstania systemów liczbowych.

2. Pozycyjne i niepozycyjne systemy liczbowe.

3. System dziesiętny, zapisywanie w nim liczb.

4. Ranga

Osoba stale ma do czynienia z liczbami, dlatego musisz umieć poprawnie nazwać i zapisać dowolną liczbę oraz wykonywać operacje na liczbach. Z reguły każdy radzi sobie z tym pomyślnie. Pomaga w tym stosowana obecnie wszędzie metoda zapisywania liczb, nazywana systemem liczb dziesiętnych.

Nauka tego systemu rozpoczyna się w klasach podstawowych i oczywiście nauczyciel potrzebuje pewnej wiedzy w tej dziedzinie. Musi znać różne sposoby zapisywania liczb, algorytmy działań arytmetycznych i ich uzasadnienie. Materiał zawarty w tym wykładzie zapewnia minimum, bez którego nie da się zrozumieć różnych podejść metodologicznych do nauczania uczniów szkół podstawowych, jak pisać liczby i wykonywać na nich operacje.

Historia powstania systemów liczbowych.

Pojęcie liczby pojawiło się już w starożytności. Potem pojawiła się potrzeba nazywania i zapisywania liczb. Nazywa się językiem nadawania nazw, zapisywania liczb i wykonywania na nich operacji systemu liczbowego.

Najprostszy system zapisywania liczb naturalnych wymaga tylko jednej cyfry, na przykład „kija” (lub nacięcia na drzewie, jak u prymitywnego człowieka, lub węzła na linie, jak u Indian amerykańskich), który ją reprezentuje. Powtarzając ten znak, możesz zapisać dowolną liczbę: każdą liczbę N po prostu napisane N„patyki”. W takim systemie liczbowym wygodnie jest wykonywać operacje arytmetyczne. Jednak ta metoda rejestracji jest bardzo nieekonomiczna i w przypadku dużych liczb nieuchronnie prowadzi do błędów w liczeniu.

Dlatego z biegiem czasu pojawiły się inne, bardziej ekonomiczne i wygodne sposoby zapisywania liczb. Przyjrzyjmy się niektórym z nich.

W starożytnej Grecji tzw numeracja poddaszy. Liczby 1, 2, 3, 4 oznaczono myślnikami:

Liczba 5 została zapisana znakiem G (starożytna forma litery „pi”, od której zaczyna się słowo „pente” - pięć). Liczby 6, 7, 8, 9 oznaczono następująco:

Liczba 10 została oznaczona przez Δ (początkowa litera słowa „deca” to dziesięć). Liczby 100, 1000 i 10 000 oznaczono jako H, X, M - początkowe litery odpowiednich słów.

Inne liczby zapisano różnymi kombinacjami tych znaków.

W III wieku p.n.e. numeracja poddaszy została wyparta przez tzw układ joński. W nim cyfry 1 – 9 są oznaczone pierwszymi dziewięcioma literami alfabetu: α (alfa), β (beta), γ (gamma), δ (delta), ε (epsilon), ς (Wow) ζ (zeta),
η (eta), (teta).

Liczby 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 – w następujących dziewięciu literach: I(odrobina),
κ (kappa), λ (lambda), μ (mu), ν (nagi), ξ (xi), ο (omikron), π (Liczba Pi), Z(policjant).

Liczby 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 to ostatnie dziewięć liter alfabetu greckiego.

W starożytności Żydzi, Arabowie i wiele innych ludów Bliskiego Wschodu miało numerację alfabetyczną podobną do starożytnej Grecji. Nie wiadomo, wśród jakich osób pojawił się po raz pierwszy.

W starożytnym Rzymie„kluczowymi” liczbami były 1, 5, 10, 50, 100, 500 i 1000. Oznaczono je odpowiednio literami I, V, X, L, C, D i M.

Wszystkie liczby całkowite (do 5000) zapisano powtarzając powyższe liczby. Jednocześnie, jeśli większa liczba znajduje się przed mniejszą, to są one dodawane, ale jeśli mniejsza znajduje się przed większą (w tym przypadku nie można tego powtórzyć), wówczas mniejsza jest odejmowana od większego: VI = 6, tj. 5 + 1; IV = 4, tj. 5 – 1;
XL = 40, tj. 50 – 10; LX = 60, tj. 50 + 10. Tę samą liczbę umieszcza się nie więcej niż trzy razy z rzędu: LXX = 70, LXXX = 80, liczbę 90 zapisuje się jako XC (a nie LXXXX).

Na przykład: XXVIII = 28, XXXIX = 39, CCCXCVII = 397, MDCCCXVIII = 1818.

Wykonywanie działań arytmetycznych na liczbach wielocyfrowych w tym zapisie jest bardzo trudne. Jednak numeracja rzymska przetrwała do dziś. Służy do oznaczania rocznic, nazw konferencji, rozdziałów w książkach itp.

W starożytności w języku ruskim liczby oznaczano literami. Aby wskazać, że znak nie jest literą, a cyfrą, umieszczono nad nimi specjalny znak zwany „titlo”. Pierwsze dziewięć cyfr zostało zapisanych w następujący sposób:

Dziesiątki są oznaczone w następujący sposób:

Setki są oznaczone w następujący sposób:

Tysiące zostały oznaczone tymi samymi literami z „tytułami” co pierwsze dziewięć cyfr, ale miały po lewej stronie znak „≠”: ≠ A = 1000, ≠ B = 2000, ≠ E = 5000.

Dziesiątki tysięcy nazywali się „ ciemny„, oznaczono je poprzez zakreślenie znaków jednostkowych:

10 000, = 20 000, = 80 000.

Stąd właśnie wzięło się określenie „ciemność ludu”, tj. tam jest dużo ludzi.

Setki tysięcy nazywali się „ legiony", oznaczono je poprzez zakreślenie znaków jednostek okręgami kropek:

100 000, = 200 000, = 800 000.

Miliony nazywali się „ leodras" Wyznaczono je poprzez zakreślenie znaków jednostek okręgami promieni lub przecinkami:

1 000 000, = 2 000 000.

Dziesiątki milionów nazywali się „ wrony„lub „krukowate” i oznaczano je poprzez okrążenie znaków jednostek okręgami krzyżyków lub umieszczenie po obu stronach litery K:

Setki milionów nazywali się „ pokłady" „Pokład” miał specjalne oznaczenie - nad i pod literą umieszczono nawiasy kwadratowe:

Hieroglify mieszkańców Starożytny Babilon składały się z wąskich pionowych i poziomych klinów; te dwie ikony służyły także do zapisywania liczb. Jeden pionowy klin oznaczał jeden, a poziomy dziesięć. W starożytnym Babilonie liczyli się w grupach po 60 jednostek. Na przykład liczbę 185 przedstawiono jako 3 razy 60 i więcej 5. Liczbę taką zapisano tylko przy użyciu dwóch znaków, z których jeden wskazywał, ile razy wzięto 60, a drugi - ile jednostek wzięto.

Istnieje wiele hipotez na temat tego, kiedy i jak powstał system sześćdziesiętny wśród Babilończyków, ale żadna nie została jeszcze udowodniona. Jedna z hipotez głosi, że istniała mieszanka dwóch plemion, z których jedno posługiwało się systemem sześciokrotnym, a drugie systemem dziesiętnym. System sześćdziesiętny powstał jako kompromis pomiędzy tymi dwoma systemami. Inna hipoteza głosi, że Babilończycy uważali, że długość roku wynosi 360 dni, co w naturalny sposób wiąże się z liczbą 60.

System sześćdziesiętny w pewnym stopniu przetrwał do dziś, np. dzieląc godzinę na 60 minut, a minutę na 60 sekund i w podobnym systemie pomiaru kątów: 1 stopień równa się 60 minutom, 1 minuta to 60 sekund.

System binarny Notację stosowały przy liczeniu niektóre prymitywne plemiona, znali ją starożytni matematycy chińscy, ale prawdziwym rozwinięciem i zbudowaniem systemu binarnego był wielki niemiecki matematyk Leibniz, który widział w nim uosobienie głębokiej prawdy metafizycznej.

System liczb binarnych jest używany w niektórych (lokalnych) kulturach Afryki, Australii i Ameryki Południowej.

Do przedstawienia liczb w systemie liczb binarnych potrzebne są tylko dwie cyfry: 0 i 1. Z tego powodu binarny zapis liczby można łatwo przedstawić za pomocą elementów fizycznych, które mają dwa różne stany stabilne. Właśnie to było jednym z ważnych powodów powszechnego stosowania systemu binarnego w nowoczesnych komputerach elektronicznych.

Najbardziej ekonomiczny ze wszystkich systemów liczbowych jest potrójny. System binarny i system czwartorzędowy, który jest mu równoważny pod względem wydajności, są pod tym względem nieco gorsze od systemu trójskładnikowego, ale przewyższają wszystkie główne możliwe systemy. Jeśli do zapisania liczb od 1 do 10 w systemie dziesiętnym potrzeba 90 różnych stanów, a w systemie dwójkowym – 60, to w systemie trójskładnikowym wystarczy 57 stanów.

Najczęstszą sytuacją, w której objawia się potrzeba analizy trójskładnikowej, jest być może ważenie na skali kubkowej. Mogą tu wystąpić trzy różne przypadki: albo jedna z misek będzie przeważać nad drugą, albo odwrotnie, albo miseczki będą się równoważyć.

Czwartorzędowy system liczbowy używane głównie przez plemiona indiańskie Ameryki Południowej i Indian Yucca z Kalifornii, którzy liczą na przestrzeniach między palcami.

Pięciokrotny system liczbowy był znacznie bardziej rozpowszechniony niż wszystkie inne. Indianie Tamanacos z Ameryki Południowej używają tego samego słowa na określenie liczby 5, co na określenie „całej ręki”. Słowo „sześć” w języku tamanackim oznacza „jeden palec drugiej strony”, siedem oznacza „dwa palce drugiej ręki” itd. na osiem i dziewięć. Dziesięć nazywa się „dwiema rękami”. Chcąc podać liczbę od 11 do 14, Tamanako wyciągają obie ręce do przodu i liczą: „jedna na nodze, dwie na nodze” itp. aż osiągną 15 lat - „całą nogę”. Następnie następuje „jeden na drugiej nodze” (numer 16) itd. do 19. Liczba 20 w języku tamanak oznacza „jeden Hindus”, 21 oznacza „jeden na ręce innego Hindusa”. „Dwóch Hindusów” oznacza 40, „trzech Hindusów” oznacza 60.

Mieszkańcy starożytnej Jawy i Azteków tydzień miał 5 dni.

Niektórzy historycy uważają, że rzymska cyfra X (dziesięć) składała się z dwóch rzymskich 5s V (jedna z nich odwrócona), a cyfra V powstała z kolei ze stylizowanego wizerunku ludzkiej dłoni.

Był szeroko rozpowszechniony w starożytności dwunastkowy system liczbowy. Jego pochodzenie wiąże się także z liczeniem na palcach. Mianowicie, ponieważ cztery palce ręki (z wyjątkiem kciuka) mają w sumie 12 paliczków, to wzdłuż tych paliczków, obracając je kolejno kciukiem, liczymy od 1 do 12. Następnie 12 przyjmuje się jako jednostkę następna cyfra.

Główną zaletą systemu dwunastkowego jest to, że jego podstawa jest podzielna przez 2, 3 i 4. Zwolennicy systemu dwunastkowego pojawili się w XVI wieku. W późniejszych czasach byli wśród nich tak wybitni ludzie, jak Herbert Spencer, John Quincy Adams i George Bernard Shaw. Istnieje nawet Amerykańskie Towarzystwo Duodecimal, które wydaje dwa czasopisma: Duodecimal Bulletin i Duodecimal System Manual. Towarzystwo wyposaża wszystkie „dwunastnice” w specjalną linijkę liczącą, w której za podstawę przyjmuje się 12.

W mowie ustnej pozostałości systemu dwunastkowego przetrwały do ​​dziś: zamiast mówić „dwanaście”, niektórzy mówią „tuzin”. Zachował się zwyczaj liczenia wielu przedmiotów nie na dziesiątki, ale na dziesiątki, np. sztućce w serwisie (zestaw na 12 osób) czy krzesła w zestawie mebli.

Nazwa jednostki trzeciej cyfry w systemie dwunastkowym to brutto- obecnie jest rzadkie, ale w praktyce handlowej na początku XX wieku istniało i jeszcze sto lat temu było łatwo spotykane. Na przykład w wierszu „Plyushkin” napisanym w 1928 r. Przez V.V. Majakowski, ośmieszając mieszczan, którzy kupują wszystko, czego potrzebują i czego nie potrzebują, napisał:

Rozglądać się

rozproszenie towaru,

Wyślij swoją dobrą pracę do bazy wiedzy jest prosta. Skorzystaj z poniższego formularza

Studenci, doktoranci, młodzi naukowcy, którzy wykorzystują bazę wiedzy w swoich studiach i pracy, będą Państwu bardzo wdzięczni.

Wysłany dnia http://www.allbest.ru/

MINISTERSTWO EDUKACJI I NAUKI FEDERACJI ROSYJSKIEJ

PAŃSTWOWA FEDERALNA INSTYTUCJA EDUKACYJNA BUDŻETOWA ŚREDNICH SZKOLNICTWA ZAWODOWEGO

„Uniwersytet Stanu Tiumeń”

SURGUT INSTYTUT EKONOMIKI, ZARZĄDZANIA I PRAWA (ODDZIAŁ) Uniwersytet Państwowy w Tiumeniu

Temat: „Historia systemów liczbowych”

Wykonane:

Student pierwszego roku BD-154-O

Kutova A. A.

Sprawdzony:

Volkova T.G.

Surgut 2015

1. Historia systemów liczbowych

2. Dziesiętny system liczbowy

Literatura

1. Historia systemów liczbowych

Notacja to zbiór technik i zasad oznaczania i nazywania liczb.

Współczesny człowiek w życiu codziennym nieustannie spotyka się z liczbami: zapamiętujemy numery autobusów i telefonów, obliczamy koszty zakupów w sklepie, zarządzamy rodzinnym budżetem w rublach i kopiejek (setnych rubla) itp. Liczby, cyfry... są z nami wszędzie. Co ludzie wiedzieli o liczbach kilka tysięcy lat temu? Pytanie nie jest łatwe, ale bardzo interesujące. Historycy udowodnili, że już pięć tysięcy lat temu ludzie potrafili zapisywać liczby i wykonywać na nich operacje arytmetyczne. Oczywiście zasady nagrywania były zupełnie inne niż obecnie. Ale w każdym razie liczba została przedstawiona za pomocą jednego lub więcej symboli.

Te symbole używane do zapisywania liczb nazywane są liczbami w matematyce i informatyce.

Ale co ludzie rozumieją pod słowem „liczba”?

Początkowo nie istniało pojęcie liczby abstrakcyjnej, liczbę „powiązano” z konkretnymi przedmiotami, które były liczone. Abstrakcyjne pojęcie liczby naturalnej pojawiło się wraz z rozwojem pisma. Liczby ułamkowe zostały wynalezione, gdy pojawiła się potrzeba dokonywania pomiarów. Jak wiadomo, pomiar polega na porównaniu z inną wielkością tego samego rodzaju, wybraną jako wzorzec.

Norma nazywana jest także jednostką miary. Oczywiste jest, że jednostka miary nie zawsze mieściła się w mierzonej wartości liczbą całkowitą. Stąd pojawiła się praktyczna potrzeba wprowadzenia liczb „mniejszych” od naturalnych. Dalszy rozwój pojęcia liczby został zdeterminowany rozwojem matematyki.

Pojęcie liczby jest pojęciem podstawowym zarówno w matematyce, jak i informatyce. W przyszłości przedstawiając materiał, poprzez liczbę będziemy rozumieć jego wartość, a nie symbolikę.

Dzisiaj, pod koniec XX wieku, ludzkość do zapisywania liczb używa głównie systemu dziesiętnego. Co to jest system liczbowy?

Notacja to sposób zapisywania (reprezentowania) liczb.

Różne systemy liczbowe, które istniały w przeszłości i są obecnie w użyciu, dzielą się na dwie grupy: pozycyjne i niepozycyjne.

Najbardziej zaawansowane są systemy liczb pozycyjnych, czyli tzw. systemy zapisu liczb, w których udział każdej cyfry w wartości liczby zależy od jej pozycji (pozycji) w ciągu cyfr reprezentujących liczbę. Na przykład nasz zwykły system dziesiętny jest pozycyjny: w liczbie 34 cyfra 3 oznacza liczbę dziesiątek i „wnosi” wartość liczby 30, a w liczbie 304 ta sama cyfra 3 oznacza liczbę setek i „przyczynia się” do wartości liczby 300.

Systemy liczbowe, w których każda cyfra odpowiada wartości niezależnej od jej miejsca w liczbie, nazywane są niepozycyjnymi.

Pozycyjne systemy liczbowe są wynikiem długiego historycznego rozwoju niepozycyjnych systemów liczbowych.

System jednostkowy

Konieczność zapisywania liczb pojawiła się już w czasach bardzo starożytnych, gdy tylko ludzie zaczęli liczyć. Liczbę przedmiotów, np. owiec, przedstawiano poprzez rysowanie linii lub szeryfów na jakiejś twardej powierzchni: kamieniu, glinie, drewnie (wynalezienie papieru było jeszcze bardzo, bardzo odległe). Każda owca w takim zapisie odpowiadała jednej linii. Na takie „zapisy” archeolodzy natrafili podczas wykopalisk warstw kulturowych sięgających okresu paleolitu (10 – 11 tys. lat p.n.e.).

Naukowcy nazwali tę metodę zapisywania liczb systemem liczb jednostkowych („stick”). Do rejestrowania liczb użyto tylko jednego rodzaju znaku - „kija”. Każda liczba w takim systemie liczbowym została oznaczona za pomocą linii utworzonej z patyków, których liczba była równa wyznaczonej liczbie.

Niedogodności takiego systemu zapisywania liczb i ograniczenia jego zastosowania są oczywiste: im większa liczba do zapisania, tym dłuższy sznur pałeczek. A zapisując dużą liczbę, łatwo popełnić błąd, dodając dodatkową liczbę pałeczek lub odwrotnie, nie zapisując ich.

Można zasugerować, że aby ułatwić liczenie, ludzie zaczęli grupować przedmioty w 3, 5, 10 sztuk. A podczas nagrywania używali znaków odpowiadających grupie kilku obiektów. Naturalnie do liczenia używano palców, dlatego najpierw pojawiły się znaki oznaczające grupę przedmiotów po 5 i 10 sztuk (jednostek). W ten sposób powstały wygodniejsze systemy rejestrowania liczb.

Starożytny egipski dziesiętny system niepozycyjny

Starożytny egipski system liczbowy, który powstał w drugiej połowie trzeciego tysiąclecia p.n.e., używał specjalnych liczb do oznaczania liczb 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. Liczby w egipskim systemie liczbowym zapisano jako kombinację tych cyfr, przy czym każda z nich powtarzała się nie więcej niż dziewięć razy.

Przykład. Starożytni Egipcjanie zapisali liczbę 345 w następujący sposób:

Jednostki Dziesiątki Setek

Zarówno kij, jak i starożytny egipski system liczbowy opierały się na prostej zasadzie dodawania, zgodnie z którą wartość liczby jest równa sumie wartości cyfr biorących udział w jej zapisie. Naukowcy klasyfikują starożytny egipski system liczbowy jako niepozycyjny system dziesiętny.

Babiloński system sześćdziesiętny

Również daleko od naszych czasów, dwa tysiące lat przed naszą erą, w innej wielkiej cywilizacji – babilońskiej – ludzie zapisywali liczby inaczej.

Liczby w tym systemie liczbowym składały się z dwóch rodzajów znaków: klina prostego służącego do oznaczania jednostek i klina leżącego - do oznaczania dziesiątek.

Aby określić wartość liczby, konieczne było podzielenie obrazu liczby na cyfry od prawej do lewej. Nowe wyładowanie rozpoczęło się od pojawienia się prostego klina po leżącym, jeśli weźmiemy pod uwagę liczbę od prawej do lewej.

Na przykład: Liczba 32 została zapisana w ten sposób:

Znaki klin prosty i klin leżący pełniły w tym systemie rolę liczb. Liczbę 60 ponownie oznaczono tym samym klinem prostym co 1, ten sam znak oznaczono liczbami 3600 = 60 2, 216000 = 60 3 i wszystkimi innymi potęgami liczby 60. Dlatego też babiloński system liczbowy nazwano sześćdziesiętny.

Wartość liczby ustalano na podstawie wartości jej cyfr składowych, biorąc jednak pod uwagę fakt, że cyfry w każdej kolejnej cyfrze oznaczały 60 razy więcej niż te same cyfry w cyfrze poprzedniej.

Przykład. Liczbę 92=60+32 zapisano w następujący sposób:

a liczba 444 w tym systemie zapisu liczb miała postać

ponieważ 444=7*60+24.

Dla przejrzystości cyfra starsza (po lewej) i cyfra mniejsza są oddzielone spacją (której Babilończycy nie mieli).

Babilończycy zapisali wszystkie liczby od 1 do 59 w dziesiętnym systemie niepozycyjnym, a liczbę jako całość - w systemie pozycyjnym o podstawie 60. jednostka liczbowa sześćdziesiętna

Zapis liczby wśród Babilończyków był niejednoznaczny, ponieważ nie było liczby reprezentującej zero. Podany powyżej zapis liczby 92 może oznaczać nie tylko 92=60+32, ale także np. 3632=3600+32. Aby określić wartość bezwzględną liczby, wymagane były dodatkowe informacje. Następnie Babilończycy wprowadzili specjalny symbol wskazujący brakującą cyfrę sześćdziesiątkową

co odpowiada pojawieniu się cyfry 0 w liczbie dziesiętnej.

Przykład. Liczbę 3632 należało teraz zapisać w ten sposób:

Ale tego symbolu zwykle nie umieszczano na końcu liczby, tj. symbol ten nadal nie był liczbą „zero” w naszym rozumieniu i znowu potrzebne były dodatkowe informacje, aby odróżnić 1 od 60, od 3600 itd.

Babilończycy nigdy nie nauczyli się tabliczki mnożenia na pamięć, ponieważ... było to praktycznie niemożliwe. Do obliczeń wykorzystano gotowe tabliczki mnożenia.

Babiloński sześćdziesiętny system liczbowy jest pierwszym znanym nam systemem liczbowym, opartym częściowo na zasadzie pozycyjnej.

System babiloński odegrał ogromną rolę w rozwoju matematyki i astronomii, a jego ślady przetrwały do ​​dziś. Zatem nadal dzielimy godzinę na 60 minut, a minutę na 60 sekund. Idąc za przykładem Babilończyków, dzielimy okrąg na 360 części (stopni).

System rzymski

Nam znane rzymski system ten nie różni się zbytnio od egipskiego. W nim, aby wskazać liczby 1, 5, 10, 50, 100, I 1000 używane są wielkie litery łacińskie I, V, X, C, D I M odpowiednio będące cyframi tego systemu liczbowego.

Liczba w systemie liczb rzymskich jest oznaczona ciągiem kolejnych cyfr. Wartość liczby to:

1. suma wartości kilku identycznych liczb z rzędu (nazwijmy je grupą pierwszego typu);

2. różnica wartości dwóch cyfr, jeżeli na lewo od większej cyfry znajduje się mniejsza. W tym przypadku wartość mniejszej cyfry jest odejmowana od wartości większej cyfry. Razem tworzą grupę drugiego typu. Należy pamiętać, że lewa cyfra może być mniejsza od prawej najwyżej o jeden rząd wielkości: zatem tylko X(10) może pojawić się przed L(50) i C(100) wśród „najniższych”, a tylko przed D (500) i M(1000) C(100), przed V(5) - tylko I(1);

3. suma wartości grup i liczb nieuwzględnionych w grupach pierwszego lub drugiego typu.

Przykład 1. Liczba 32 w systemie rzymskim ma postać XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (dwie grupy pierwszego typu).

Przykład 2. Liczba 444, która ma 3 identyczne cyfry w zapisie dziesiętnym, zostanie zapisana w rzymskim systemie liczbowym jako CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (trzy grupy cyfr drugi typ).

Przykład 3. Liczba 1974 w rzymskim systemie liczbowym będzie miała postać MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (wraz z grupami obu typów, indywidualne „liczby”).

2. Dziesiętny system liczbowy

Siostra dziesiętnatemat numer- jest to znany i dobrze znany nam wszystkim system liczb pozycyjnych, ale zaczniemy od niego nasze badania i rozważymy go od pozycji, które pomogą nam zrozumieć inne nietypowe dla nas systemy liczbowe.

Zatem podstawą systemu jest liczba dziesięć (10), co oznacza, że ​​do przedstawienia liczb używa się dziesięciu cyfr (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Po prostu policzmy w tym systemie, policzmy i napiszmy liczby z liczb, którymi dysponujemy:

Zero - 0 ;

Jeden - 1 ;

Osiem - 8 ;

Dziewięć - 9 ;

Co zrobic nastepnie? Wszystkie numery zniknęły. Jak przedstawić liczbę dziesięć? Aby wyjść z tej sytuacji, wprowadźmy nowe pojęcie - „dziesięć” i powiedzmy, że dziesięć to jeden dziesięć i zero jednostek. I to można już zapisać - „10”.

Więc, Dziesięć - 10 (jeden dziesięć, zero jedynek)

Jedenaście - 11 (jedna dziesiątka, jedna jednostka)

20 - 20 (dwie dziesiątki, zero jedynek)

Dziewięćdziesiąt dziewięć - 99 (dziewięć dziesiątek, dziewięć jedności)

Sto - 100 (sto, zero dziesiątek, zero jedności)

I tak zawsze, gdy nie starczy nam już cyfr do wyświetlenia kolejnej liczby, powiększamy jednostki liczenia (czyli liczymy w dziesiątkach, setkach itp.) i zapisujemy liczbę wydłużoną o jedną cyfrę.

Rozważ liczbę 4329 zapisane w systemie dziesiętnym. Można o nim powiedzieć, że zawiera: cztery tysiące, trzysta, dwie dziesiątki i dziewięć jedności. Możesz uzyskać jego wartość poprzez liczby zawarte w nim w następujący sposób.

4329 = 4 *1000+3 *100+2 *10+9 *1, tutaj i poniżej znak * (gwiazdka) oznacza mnożenie.

Ale ciąg liczb 1000, 100, 10, 1 to nic innego jak potęgi liczby całkowitej liczby 10 (podstawa systemu liczbowego) i dlatego można go zapisać:

4329 = 4 *10 3 +3 *10 2 +2 *10 1 +9 *10 0

Podobnie dla liczby ułamkowej (dziesiętnej), na przykład: 0.235 (przecinek zerowy dwieście trzydzieści pięć tysięcznych), możemy o nim powiedzieć, że zawiera: dwie dziesiąte, trzy setne i pięć tysięcznych. A jego wartość można obliczyć w następujący sposób:

0.235 = 2 *0.1 + 3 *0.01 + 5 *0.001

I tutaj ciąg liczb 0,1 0,01 0,001 1 to nic innego jak potęgi liczby całkowitej liczby 10 i możemy też napisać:

0.235 = 2 *10 -1 + 3 *10 -2 + 5 *10 -3

Dla liczby mieszanej 752.159 możemy zapisać w ten sam sposób:

752.369 = 7 *10 2 +5 *10 1 +2 *10 0 +3 *10 -1 +6 *10 -2 +9 *10 -3

Teraz, jeśli numerujemy cyfry części całkowitej dowolnej liczby, od prawej do lewej, jako 0,1,2...n (numeracja zaczyna się od zera!). A cyfry części ułamkowej, od lewej do prawej, np. -1,-2,-3...-m, wówczas wartość dowolnej liczby dziesiętnej można obliczyć za pomocą wzoru:

N= D N10 N +d n-110 n-1 +…+d 1 10 1 +d 0 10 0 +d -1 10 -1 +d -2 10 -2 +…+d -(m-1)10 -(m-1) +d -M10 -M

Gdzie: N- liczba cyfr części całkowitej liczby minus jeden;

M- liczba cyfr części ułamkowej liczby

D I- cyfra stojąca I-ta pozycja

Wzór ten nazywany jest wzorem na rozwinięcie bitowe liczby dziesiętnej, tj. liczba zapisana w systemie dziesiętnym. Ale jeśli w tym wzorze liczba dziesięć zostanie zastąpiona jakąś liczbą naturalną Q, wówczas otrzymujemy wzór na rozkład liczby wyrażonej w systemie liczbowym o podstawie Q:

N= D NQN +d n-1Qn-1 +…+d 1 Q 1 +d 0 Q 0 +d -1 Q -1 +d -2 Q -2 +…+d -(m-1)Q-(m-1) +d -MQ-M

Korzystając z ostatniego wzoru, zawsze możemy uzyskać wartość liczby zapisanej w dowolnym systemie liczb pozycyjnych.

Wniosek

Dziś jesteśmy przyzwyczajeni do używania systemu dziesiętnego w życiu codziennym. Cyfry dziesiętne wyrażają czas, numery domów i telefonów, ceny, budżety i na nich opiera się metryczny system miar.

Operacje arytmetyczne na liczbach dziesiętnych wykonuje się za pomocą dość prostych operacji, które opierają się na znanych każdemu uczniowi tabliczce mnożenia i dodawania. Zasady te, wyuczone już w bardzo młodym wieku, nabywamy tak mocno w wyniku codziennej praktyki, że operujemy nimi podświadomie. Z tego powodu wiele osób nie jest dziś nawet świadomych istnienia innych systemów liczbowych.

Literatura

1. http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/system.html

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%81%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0 %D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0 %BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

3. http://comp-science.narod.ru/Demenev/files/history.htm

4. Bosova L.L. Informatyka i ICT: Podręcznik dla klasy 6. - M.: BINOM. Laboratorium Wiedzy, 2012

5. http://www.reshinfo.com/desytichnajnaja_systema.php

Opublikowano na Allbest.ru

Podobne dokumenty

Badanie historii systemów liczbowych. Opis systemów liczb jednostkowych i binarnych, numeracja miejsc w starożytnej Grecji, Słowiańszczyźnie, Rzymie i Babilonie. Analiza kodowania binarnego w komputerze. Konwersja liczb z jednego systemu liczbowego na inny.

test, dodano 11.04.2013


Pojęcie systemu liczbowego. Historia rozwoju systemów liczbowych. Pojęcie liczby naturalnej, relacje porządkowe. Cechy dziesiętnego systemu liczbowego. Ogólne zagadnienia badania numeracji liczb całkowitych nieujemnych w początkowym toku matematyki.

praca na kursie, dodano 29.04.2017


Zestaw technik i zasad pisania i czytania liczb. Definicja pojęć: system liczbowy, cyfra, liczba, cyfra. Klasyfikacja i wyznaczanie podstawy systemów liczbowych. Różnica między liczbą a cyfrą, pozycyjnym i niepozycyjnym systemem liczbowym.

prezentacja, dodano 15.04.2015


Pojęcie i treść matematyczna systemów liczbowych, ich odmiany i zakres stosowania. Charakterystyczne cechy i cechy pozycyjnych i niepozycyjnych systemów liczbowych, binarnych i dziesiętnych. Procedura konwersji liczb z jednego systemu na inny.

prezentacja, dodano 11.10.2010


System liczbowy stosowany we współczesnej matematyce, stosowany w komputerach. Zapisywanie liczb za pomocą cyfr rzymskich. Konwersja liczb dziesiętnych na inne systemy liczbowe. Konwersja liczb ułamkowych i mieszanych w formacie binarnym. Arytmetyka w pozycyjnych systemach liczbowych.

streszczenie, dodano 09.07.2009


Wynalezienie systemu dziesiętnego jest jednym z głównych osiągnięć myśli ludzkiej. Bez tego nowoczesna technologia i nauka w ogóle nie mogłyby istnieć, a tym bardziej nie mogłyby powstać. Historia liczb. Liczby i liczenie. Sposoby zapamiętywania liczb.

streszczenie, dodano 13.04.2008


Matematyczna teoria liczb. Pojęcie systemów liczbowych. Zastosowania binarnego systemu liczbowego. Technologia komputerowa i technologia informacyjna. Alfabetyczne niejednolite kodowanie binarne. Zalety i wady binarnego systemu liczbowego.

streszczenie, dodano 25.12.2014


Definicje systemu liczbowego, liczby, cyfry, alfabet. Rodzaje systemów liczbowych. Plusy i minusy kodów binarnych. Konwersja systemu szesnastkowego na ósemkowy i podzielenie go na tetrady i triady. Rozwiązanie problemu Bacheta metodą układu trójskładnikowego.

prezentacja, dodano 20.06.2011


Historia rozwoju systemów liczbowych. Systemy liczb niepozycyjnych, pozycyjnych i dziesiętnych. Zastosowanie systemów liczbowych w informatyce i informatyce. Kodowanie binarne informacji w komputerze. Budowa kodów binarnych.

praca na kursie, dodano 21.06.2010


Istota systemów liczb binarnych, ósemkowych i szesnastkowych, ich cechy charakterystyczne i zależności. Przykład algorytmów konwersji liczb z jednego systemu na drugi. Sporządzenie tabeli prawdy i diagramu logicznego dla zadanych funkcji logicznych.

Najdoskonalszą zasadą przedstawiania liczb jest: pozycyjny(lokalny) zasada, zgodnie z którym ten sam znak numeryczny (cyfra) ma różne znaczenia w zależności od miejsca, w którym się znajduje.

Ten system liczbowy opiera się na fakcie, że pewną liczbę N jednostek (podstawowych SS) łączy się w jedną jednostkę drugiej cyfry, N jednostek drugiej cyfry łączy się w jedną jednostkę trzeciej cyfry itd.

Podstawą systemów liczbowych może być dowolna liczba większa niż jeden. Do takich systemów należy nowoczesny system liczb dziesiętnych (o podstawie N = 10). W nim cyfry 0,..., 9 służą do wskazania pierwszych dziesięciu liczb.

Mimo pozornej naturalności takiego układu, był on wynikiem długiego rozwoju historycznego.

Powstanie dziesiętny system liczbowy związane z liczeniem na palcach. Istniały systemy liczbowe o innych podstawach: 5, 6, 12 (licząc w dziesiątkach), 20 (ślady takiego systemu zachowały się w języku francuskim, np. quatre – vingts, czyli dosłownie cztery – dwadzieścia, czyli 80), 40, 60 itd.

Podczas wykonywania obliczeń na komputerze używany jest system liczbowy o podstawie 2. Reprezentacja informacji w systemie binarnym była stosowana przez ludzi od czasów starożytnych. W ten sposób mieszkańcy wysp polinezyjskich przekazywali niezbędne informacje za pomocą bębnów: naprzemiennego dzwonienia i tępych uderzeń. Dźwięk nad powierzchnią wody rozchodził się na dość dużą odległość, tak właśnie „działał” polinezyjski telegraf. W telegrafie XIX-XX w. informacja została przekazana za pomocą Kod Morse'a- w formie ciągu kropek i kresek. Często zgadzamy się na otwarcie drzwi wejściowych jedynie na „sygnał konwencjonalny” – kombinację krótkich i długich dzwonków. W niektórych grach do rozwiązywania zagadek i konstruowania zwycięskich strategii używany jest system binarny.

Nowoczesny pozycja dziesiętna System liczbowy powstał na podstawie numeracji, która powstała nie później niż w V wieku. V Indie. Wcześniej w Indiach istniały systemy liczbowe, które stosowały nie tylko zasadę dodawania, ale także zasadę mnożenia (jednostkę jakiejś cyfry mnoży się przez liczbę po lewej stronie).

W tamtym czasie w różnych obszarach Indii istniało wiele różnych systemów numeracji, z których jeden rozprzestrzenił się na cały świat i jest obecnie powszechnie akceptowany. Liczby wyglądały w nim jak początkowe litery odpowiednich cyfr w starożytnym języku indyjskim - sanskryt(Alfabet devangari).

Początkowo znaki te reprezentowały liczby 1, 2, 3 ... 9, 10, 20, 30 ... 90, 100, 1000; za ich pomocą opisano inne liczby. Następnie wprowadzono specjalny znak (pogrubiona kropka, kółko) wskazujący pustą cyfrę; znaki dla liczb większych niż 9 wypadły z użycia, a system numeracji Devangari zamienił się w system miejsc dziesiętnych. Jak i kiedy nastąpiło to przejście, nadal nie wiadomo. W połowie VIII wieku system numeracji pozycyjnej był szeroko stosowany w Indie.

Mniej więcej w tym samym czasie przedostał się do innych krajów ( Indochiny, Chiny, Tybet, na terytorium naszego Republiki środkowoazjatyckie, V Iran itd.). Decydującą rolę w rozpowszechnieniu numeracji indyjskiej w krajach arabskich odegrał podręcznik opracowany na początku IX wieku. Muhammad z Khorezm(obecnie region Khorezm w Uzbekistanie). Zostało przetłumaczone na łacinę w Europie Zachodniej w XII wieku. W XIII wieku Numeracja indyjska ma pierwszeństwo w Włochy. W innych krajach Zachodnia Europa powstała w XVI wieku. Nazwali to Europejczycy, którzy zapożyczyli numerację indyjską od Arabów arabski(historycznie niepoprawna nazwa jest nadal używana).

Zapożyczone z języka i warstwy arabskiej ” numer(po arabsku „syfr”), co dosłownie oznacza „puste miejsce” (od sanskryckiego słowa „sunya”, które ma to samo znaczenie). Słowo to było pierwotnie używane do określenia znaku pustej cyfry i zachowało to znaczenie już w XVIII wieku, choć już w XV wieku. termin łaciński” zero" Forma cyfr indyjskich uległa różnym zmianom. Forma, w jakiej je piszemy, powstała w XVI wieku.

W IX wieku Rękopisy, które określały ten system liczbowy, pojawiły się w języku arabskim w X wieku. dziesiętna numeracja pozycyjna wzrasta do Hiszpania, na początku XII w. pojawia się także w innych krajach Europy. Nazywa się nowy system liczbowy arabski, ponieważ w Europie po raz pierwszy zetknęli się z nim poprzez łacińskie tłumaczenia z arabskiego. Dopiero w XVI w. nowa numeracja stała się powszechna w nauce i życiu codziennym. W Rosji zaczyna się rozprzestrzeniać w XVII wieku. i już na początku XVIII w. zastępuje numerację alfabetyczną. Wraz z wprowadzeniem ułamków dziesiętnych system dziesiętny stał się uniwersalnym sposobem zapisywania wszystkich liczb rzeczywistych. Umożliwia w zasadzie zapisywanie dowolnie dużych liczb. Zapisywanie w nim liczb jest zwarte i wygodne do wykonywania operacji arytmetycznych. Dlatego system ten zaczyna szybko rozprzestrzeniać się z Indii na Zachód i Wschód.

Język liczb ma swój własny alfabet. W tym języku liczb alfabet składa się z dziesięciu cyfr od 0 do 9. Jest to dziesiętny system liczbowy.

System liczbowy to sposób przedstawiania liczby za pomocą symboli jakiegoś alfabetu, zwanych cyframi. Starożytny obraz cyfr dziesiętnych nie jest przypadkowy: każda cyfra reprezentuje liczbę na podstawie liczby znajdujących się w niej kątów. Na przykład 0 - brak narożników, 1 - jeden róg, 2 - dwa narożniki itp. Zapisywanie liczb dziesiętnych uległo znaczącym zmianom. Forma, której używamy, powstała w XVI wieku.

Zbudowano je podobnie stary chiński system liczbowy i kilka innych.

Według słynnego afrykańskiego odkrywcy Stanleya istniało wiele afrykańskich plemion pięciokrotny SS. Przez długi czas używali pięciokrotnego systemu liczbowego i Chiny. Związek pomiędzy tym systemem liczbowym a budową ludzkiej ręki jest oczywisty. Tak więc osoba ma pięć palców na dłoni, które są wygodne w użyciu do liczenia wizualnego.

Aztekowie i Majowie, ludy, które przez wiele stuleci zamieszkiwały rozległe obszary kontynentu amerykańskiego i stworzyły tam najwyższą kulturę, w tym matematykę, przyjęły dwudziesty SS. Ten system liczbowy przejęli także Celtowie, którzy zamieszkiwali Europę Zachodnią od II tysiąclecia p.n.e. Podstawą liczenia są palce u rąk i nóg. Niektóre ślady tego systemu we francuskim systemie monetarnym: podstawowa jednostka monetarna, frank, jest dzielona przez 20

(1 frank = 20 su).

Było powszechne dwunastkowy notacja. Jego pochodzenie wiąże się także z liczeniem na palcach. Policzyli kciuk i paliczki pozostałych czterech palców: jest ich w sumie 12. Elementy dwunastkowego systemu liczbowego zachowały się w systemie miar (1 stopa = 12 cali) i w systemie monetarnym

(1 szyling = 12 pensów). W życiu codziennym często spotykamy się z dwunastkowym SS: komplety herbaciane i stołowe na 12 osób, komplet chusteczek - 12 sztuk.

Ludy słowiańskie z południa i wschodu stosowały numerację alfabetyczną do rejestrowania liczb. Wśród niektórych ludów słowiańskich wartości liczbowe liter ustalono w kolejności alfabetu słowiańskiego, podczas gdy dla innych (w tym Rosjan) nie wszystkie litery odgrywały rolę cyfr, ale tylko te, które są w alfabecie greckim. Jednocześnie wartości liczbowe liter wzrosły w tej samej kolejności, co litery alfabetu greckiego (kolejność liter alfabetu słowiańskiego była nieco inna)

Liczby słowiańskie do XVIII wieku były głównym oznaczeniem cyfrowym w Rosji. Numeracja słowiańska zachowała się w Rosji do końca XVII wieku. Za Piotra I dominowała tzw. numeracja arabska. Numeracja słowiańska zachowała się jedynie w księgach liturgicznych. Ormianie stosowali zasadę numeracji alfabetycznej. Ale starożytne alfabety ormiański i starożytny gruziński miały o wiele więcej liter niż starożytny grecki. Umożliwiło to wprowadzenie specjalnych oznaczeń dla liczb 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000. Wartości liczbowe były zgodne z kolejnością liter alfabetu ormiańskiego i gruzińskiego.

Historia rozwoju systemów liczbowych.

W życiu codziennym współcześni ludzie otoczeni są ogromną ilością różnorodnych informacji, z których spora część to informacje liczbowe. Rzeczywiście zapamiętujemy numery telefonów, obliczamy koszty zakupów, śledzimy lekcje szkolne i czas ich trwania itp. Historycy udowodnili, że nawet w starożytności ludzie mogli zapisywać liczby, wykonywać na nich różne operacje arytmetyczne, ale liczby były zapisywane w zupełnie inny sposób niż robimy to dzisiaj.

Co to jest liczba? Początkowo pojęcie liczby było „powiązane” z liczonymi przedmiotami. Wraz z rozwojem pisma pojawia się abstrakcyjne pojęcie liczby naturalnej. Konieczność wykonania pomiarów tj. porównanie z inną wielkością tego samego rodzaju, wybraną jako standard, doprowadziło do pojawienia się liczb ułamkowych. Dalszy rozwój pojęcia liczby był bezpośrednio związany z rozwojem matematyki. Liczba jest dziś podstawowym pojęciem matematyki i informatyki, rozumianym jako jej wartość, a nie jako zapis symboliczny. Konwencjonalne znaki używane do oznaczania liczb nazywane są liczbami.

Zbiór technik nazywania i zapisywania liczb nazywa się notacją.

System liczbowy to sposób zapisywania liczb i zasady obsługi liczb.

Pierwsze wzmianki o systemach liczbowych można datować na X – XI tysiąclecie p.n.e. Podczas odkopywania warstw kulturowych pochodzących z tego okresu archeolodzy odkryli zapisy w postaci ciągu kresek – patyków. Naukowcy uważają, że w ten sposób zapisano liczby, a liczba pałeczek zapisanych w linii jest równa wartości liczby. Nazywano ten system liczbowy pojedynczy (kij) . Dalszy rozwój liczenia doprowadził do udoskonalenia i rozwoju systemów liczbowych. Ludzkość na przestrzeni swojej historii posługiwała się różnymi systemami liczbowymi i wiele dowodów na to przetrwało do dziś. Na przykład fakt, że godzina ma 60 minut i 60 sekund, oznacza, że ​​dawno temu ludzie używali sześćdziesiętny systemu liczbowego. Rzeczywiście, archeolodzy odkryli podczas wykopalisk na terenie starożytnej cywilizacji babilońskiej ślady stosowania takiego systemu liczbowego. Dwanaście miesięcy w roku i dwanaście podziałek na tarczy zegara wskazują, że najprawdopodobniej był on kiedyś używany dwunastkowy systemu liczbowego.

W starożytnej Rusi tzw alfabetyczny system liczbowy, w którym liczby oznaczano literami cyrylicy ze specjalnym znakiem tzw tytuł i służył do odróżniania cyfr od liter.

Współczesny system liczb dziesiętnych powstał w Indiach około V wieku. AD pojawienie się tego systemu stało się możliwe po tym, jak zaczęto używać liczby „0” do oznaczania brakującej wartości.

Pozycyjne i niepozycyjne systemy liczbowe.

Systemy liczbowe, w których liczby zapisywane są w postaci ciągu cyfr, można podzielić na dwie klasy: pozycyjne i niepozycyjne. W systemach niepozycyjnych znaczenie cyfr nie zmienia się wraz ze zmianą ich pozycji w ciągu. Jako przykład systemu niepozycyjnego podamy dobrze znany rzymski system liczbowy. W rzymskim systemie liczbowym symbol X w dowolnym miejscu jest równy 10, ale we wpisie na lewo od znaku większego (na przykład XC) symbol x jest równy –10, a w kombinacji przed małą jeden (na przykład XV) jest równy +10. W niepozycyjnych systemach liczbowych operacje na liczbach są bardzo trudne i nie mają żadnych reguł. W tych systemach nie można wyrazić liczb ujemnych ani ułamkowych, więc systemy niepozycyjne mają ograniczone zastosowanie. Stosowane są głównie do oznaczania dat, tomów, rozdziałów itp.

I odwrotnie, w systemach liczb pozycyjnych wartość ilościowa cyfry w liczbie zależy od jej położenia.

Podajmy definicje podstawowych, najważniejszych pojęć pozycyjnych systemów liczbowych, do których zaliczamy podstawę, alfabet i podstawę systemów liczbowych

Baza System liczbowy pokazuje, ile razy zmienia się wartość ilościowa cyfry podczas przesuwania się na sąsiednią pozycję oraz jaka liczba różnych znaków (cyfr) wchodzi w skład tzw. Alfabetu systemu liczbowego.

Alfabet System liczbowy to zbiór symboli (cyfr) używanych w pozycyjnym systemie liczbowym do zapisywania liczb. Zatem alfabety systemów liczbowych rozważanych poniżej są następujące:

Binarny: 0,1.

Oktal: 0,1,2,3,4,5,6,7.

Dziesiętne: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Szesnastkowe: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

Podstawa System liczb pozycyjnych to ciąg liczb, z których każda określa wartość cyfry według pozycji. Innymi słowy, możemy powiedzieć, że podstawa systemu liczbowego składa się z liczb będących kolejnymi potęgami podstawy systemu liczbowego.

Podstawą systemu liczbowego może być dowolna liczba naturalna ≥ 2. Jednym z przykładów pozycyjnego systemu liczbowego jest system dziesiętny, który jest szeroko stosowany w życiu. Cyfry arabskie 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 są używane jako cyfry dziesiętne - które są alfabetem systemu liczb dziesiętnych. Podstawą systemu liczbowego jest liczba 10, co oznacza, że ​​znaczenie cyfr znajdujących się na sąsiednich pozycjach różni się dziesięciokrotnie, a także, że w alfabecie jest 10 cyfr. Podstawą systemu dziesiętnego są liczby: 1, 10, 100, 1000, 10000... 10 n, oznacza to, że cyfra na pozycji zerowej wnosi jednostki, cyfra na pierwszej pozycji wnosi dziesiątki, cyfra na drugim miejscu wnosi wkład – setki itp.

Jako przykład rozważ liczbę 5555 zapisaną w zwykłym systemie liczbowym z podstawą 10.

5 3 5 2 5 1 5 0 = 5000+500+50+5

Jak widać z przykładu 5, stojąc na 0 miejscu wpłacamy wkład równy 5 jednostek, 5 stojąc na 1 miejscu wpłacamy wkład równy 5 dziesiątek, 5 stojąc na 2 miejscu wpłacamy wkład równy 5 setek, 5 stojący na III miejscu wnosi wkład w wysokości 5 tys.

W dowolnym systemie liczb pozycyjnych o podstawie większej niż 1 liczbę zapisuje się jako ciąg cyfr oddzielonych przecinkiem na dwa ciągi

Pozycje , te znajdujące się po lewej stronie przecinka są numerowane od prawej do lewej cyframi 0, 1, 2, ..., a po prawej stronie przecinka są numerowane w rzędzie od lewej do prawej -1, -2, - 3 itd. Ponumerowane pozycje są wywoływane cyfry .

Ciąg cyfr znajdujący się po lewej stronie przecinka nazywa się częścią całkowitą liczby, a po prawej stronie przecinka – częścią ułamkową.

Współczesne komputery używają obecnie głównie systemów liczb pozycyjnych o podstawach 2, 8, 16 i 10, chociaż podejmowano próby użycia innych systemów liczbowych, choć nie do końca udanych, (na przykład trójskładnikowego).

Warto zwrócić uwagę na ważną cechę podstawy systemu liczbowego - w dowolnym systemie liczb pozycyjnych podstawa jest zapisywana jako 10, ale ma inną wartość ilościową. Na przykład w systemie liczb binarnych 10 to dwa, w systemie liczb potrójnych 10 to trzy, a w systemie dziesiętnym 10 to dziesięć.