Historien om Fermats sista sats. Felix Kirsanov
Fermats sista teorem Singh Simon
"Har Fermats sista sats bevisats?"
Det var bara det första steget mot att bevisa Taniyama-Shimura-förmodan, men Wiles strategi var ett briljant matematiskt genombrott, ett resultat som förtjänade att publiceras. Men på grund av Wiles självpåtagna tystnadslöfte kunde han inte berätta för resten av världen om sitt resultat och hade ingen aning om vem mer som kunde göra ett lika betydande genombrott.
Wiles minns sin filosofiska inställning till alla potentiella utmanare: "Ingen vill ägna år åt att bevisa något och upptäcka att någon annan lyckades hitta beviset några veckor tidigare. Men märkligt nog, eftersom jag försökte lösa ett problem som i huvudsak ansågs olösligt, var jag inte särskilt rädd för rivaler. Jag förväntade mig bara inte att jag eller någon annan skulle komma på en idé som skulle leda till bevis.”
Den 8 mars 1988 blev Wiles chockad över att se rubriker i stor stil på tidningarnas framsidor som löd: "Fermats sista sats bevisad." Washington Post och New York Times rapporterade att trettioåttaårige Yoichi Miyaoka från Tokyo Metropolitan University hade löst världens tuffaste matematikproblem. Miyaoka har ännu inte publicerat sitt bevis, men beskrev dess framsteg vid ett seminarium vid Max Planck Institute for Mathematics i Bonn. Don Tsagir, som var närvarande vid Miyaokas tal, uttryckte den matematiska gemenskapens optimism med följande ord: ”Beviset som Miyaoka presenterar är extremt intressant, och vissa matematiker tror att det har stor sannolikhet att vara korrekt. Vi är inte helt säkra än, men än så länge ser bevisen väldigt uppmuntrande ut.”
På ett seminarium i Bonn talade Miyaoka om sitt tillvägagångssätt för att lösa problemet, som han betraktade från en helt annan, algebraisk-geometrisk synvinkel. Under de senaste decennierna har geometrar uppnått en djup och subtil förståelse av matematiska objekt, särskilt egenskaperna hos ytor. På 70-talet försökte den ryske matematikern S. Arakelov etablera paralleller mellan problemen med algebraisk geometri och problem med talteorin. Detta var en av delarna av Langlands program, och matematiker hoppades att olösta problem inom talteorin skulle kunna lösas genom att studera motsvarande problem i geometri, som också förblev olösta. Detta program var känt som parallellismens filosofi. De algebraiska geometrar som försökte lösa problem i talteorin kallades "aritmetiska algebraiska geometrar". 1983 förebådade de sin första betydande seger när Gerd Faltings från Princeton Institute for Advanced Studies gav betydande bidrag till förståelsen av Fermats teorem. Kom ihåg att, enligt Fermat, ekvationen
på n större än 2 har inga lösningar i heltal. Faltings bestämde sig för att han hade gjort framsteg i att bevisa Fermats sista sats genom att studera geometriska ytor associerade med olika värden n. Ytor relaterade till Fermats ekvationer för olika värden n, skiljer sig från varandra, men har en gemensam egenskap - de har alla genomgående hål, eller, enkelt uttryckt, hål. Dessa ytor är fyrdimensionella, precis som graferna för modulära former. Tvådimensionella sektioner av två ytor visas i fig. 23. Ytor associerade med Fermats ekvation ser likadana ut. Ju högre värde n i ekvationen, desto fler hål finns det i motsvarande yta.
Ris. 23. Dessa två ytor erhölls med hjälp av datorprogrammet Mathematica. Var och en av dem representerar platsen för punkter som uppfyller ekvationen x n + y n = z n(för ytan till vänster n=3, för ytan till höger n=5). Variabler x Och y anses komplexa här
Faltings kunde bevisa att eftersom sådana ytor alltid har flera hål, kunde den associerade Fermat-ekvationen bara ha en ändlig uppsättning heltalslösningar. Antalet lösningar kan vara vad som helst – från noll, som Fermat antog, till en miljon eller en miljard. Faltings bevisade alltså inte Fermats sista sats, men lyckades åtminstone förkasta möjligheten att Fermats ekvation skulle ha oändligt många lösningar.
Fem år senare rapporterade Miyaoka att han hade tagit det ett steg längre. Han var då i början av tjugoårsåldern. Miyaoka formulerade en hypotes om viss ojämlikhet. Det blev tydligt att bevisningen av hans geometriska gissning skulle innebära att bevisa att antalet lösningar till Fermats ekvation inte bara är ändligt, utan lika med noll. Miyaokas tillvägagångssätt liknade Wiles genom att de båda försökte bevisa Fermats sista sats genom att relatera den till en grundläggande hypotes inom en annan gren av matematiken. För Miyaoka var det algebraisk geometri, för Wiles gick vägen till bevis genom elliptiska kurvor och modulära former. Till Wiles' förtret kämpade han fortfarande för att bevisa Taniyama-Shimura-förmodan när Miyaoka påstod sig ha ett fullständigt bevis för sin egen förmodan och därför för Fermats sista teorem.
Två veckor efter sitt tal i Bonn publicerade Miyaoka fem sidor med beräkningar som utgjorde kärnan i hans bevis, och en grundlig granskning påbörjades. Talteoretiker och algebraisk geometrispecialister runt om i världen studerade, rad för rad, publicerade beräkningar. Några dagar senare upptäckte matematiker en motsägelse i beviset som inte kunde annat än orsaka oro. En del av Miyaokas arbete ledde till ett uttalande från talteorin, som, när det översattes till språket för algebraisk geometri, gav ett uttalande som motsäger resultatet som erhållits flera år tidigare. Även om detta inte nödvändigtvis ogiltigförklarade Miyaokas hela bevis, passade inte den motsättning som upptäcktes in i filosofin om parallellism mellan talteori och geometri.
Ytterligare två veckor senare meddelade Gerd Faltings, som hade banat väg för Miyaoke, att han hade upptäckt den exakta orsaken till det uppenbara parallellismbrottet - en lucka i resonemang. Den japanske matematikern var en geometer och var inte helt noggrann när han översatte sina idéer till det mindre bekanta territoriet inom talteorin. En armé av talteoretiker gjorde frenetiska ansträngningar för att täppa till hålet i Miyaokas bevis, men förgäves. Två månader efter att Miyaoka påstod sig ha ett fullständigt bevis på Fermats sista teorem, nådde den matematiska gemenskapen en enig slutsats: Miyaokas bevis var dömt att misslyckas.
Som med tidigare misslyckade bevis kunde Miyaoka få många intressanta resultat. Vissa fragment av hans bevis var anmärkningsvärda som mycket geniala tillämpningar av geometri till talteori, och under de följande åren använde andra matematiker dem för att bevisa vissa satser, men ingen lyckades bevisa Fermats sista sats på detta sätt.
Raset över Fermats sista sats tystnade snart, och tidningar hade korta meddelanden som sa att det trehundra år gamla pusslet fortfarande förblev olöst. Följande inskription dök upp på väggen av New Yorks tunnelbanestation Eighth Street, utan tvekan inspirerad av pressbevakningen av Fermats sista teorem: "Ekv. xn + yn = zn har inga lösningar. Jag har hittat ett verkligt fantastiskt bevis på detta faktum, men jag kan inte skriva ner det här eftersom mitt tåg har anlänt.”
Kapitel 10 KROKODILFARM De körde längs en pittoresk väg i gamla Johns bil och satt i baksätet. Vid ratten satt en svart förare i en ljus skjorta med ett bisarrt beskuret huvud. På hans rakade skalle stod buskar av trådhårt svart hår, logik
Förbereder inför loppet. Alaska, Linda Pletners Iditarod Farm är ett årligt race med slädhund i Alaska. Längden på rutten är 1150 miles (1800 km). Detta är världens längsta slädhundslopp. Start (ceremoniell) - 4 mars 2000 från Anchorage. Start
Getfarm Det är mycket arbete i byn på sommaren. När vi besökte byn Khomutets skördades hö där och de doftande vågorna från nyskurna örter verkade genomsyra allt runt omkring.. Örterna måste klippas i tid för att de inte ska bli övermogna, då kommer allt värdefullt och näringsrikt att bevaras. i dem. Detta
Sommargård Ett sugrör, som handhållen blixt, glas in i gräset; En annan, efter att ha skrivit på staketet, tände en eld av grönt glas vatten i ett hästtråg. In i den blå skymningen Nio ankor vandrar, vajande, längs ett hjulspår i en anda av parallella linjer. Här stirrar kycklingen på ingenting ensam
Fördärvad gård Den lugna solen, som en mörkröd blomma, sjönk till marken, växande in i solnedgången, Men nattens ridå i tom kraft Drag världen, störd av blicken. Tystnad rådde på den taklösa gården, Som om någon hade slitit av henne håret, de slogs om kaktusen
Gård eller gård? Den 13 februari 1958 publicerade alla centrala Moskva och sedan regionala tidningar beslutet från Centralkommittén för det Ukrainas kommunistiska parti "Om ett misstag vid köp av kor från kollektiva jordbrukare i Zaporozhye-regionen." Vi pratade inte ens om hela regionen, utan om två av dess distrikt: Primorsky
Fermats problem 1963, när han bara var tio år gammal, var Andrew Wiles redan fascinerad av matematik. ”I skolan älskade jag att lösa problem, jag tog med dem hem och kom på nya från varje problem. Men det bästa problemet jag någonsin har stött på var hos en lokal
Från Pythagoras sats till Fermats sista sats Pythagoras sats och det oändliga antalet pythagoras trippel diskuterades i boken av E.T. Bells "The Great Problem" - samma biblioteksbok som väckte Andrew Wiles uppmärksamhet. Och även om pytagoreerna uppnådde nästan komplett
Matematik efter beviset för Fermats sista sats Märkligt nog hade Wiles själv blandade känslor om sin rapport: ”Anledningen till talet valdes mycket väl, men själva föreläsningen gav mig blandade känslor. Jobbar på beviset
Kapitel 63 Old McLennons Farm Ungefär en och en halv månad efter att ha återvänt till New York, en novemberkväll, ringde telefonen i Lennons lägenhet. Yoko svarade i telefonen. En mansröst med en Puertoricansk accent frågade Yoko Ono. Låtsas
Pontryagins teorem Samtidigt som konservatoriet studerade min far vid Moscow State University, studerade mekanik och matematik. Han tog examen med framgång och tvekade till och med en tid när han skulle välja yrke. Musikvetenskapen vann, som ett resultat av hans matematiska tankesätt. En av min fars klasskamrater
Sats Satsen om en religiös sammanslutnings rätt att välja präst behöver bevisas. Den lyder så här: "Den ortodoxa gemenskapen skapas... under andligt ledarskap av en präst utvald av gemenskapen och välsignad av stiftsbiskopen."
I. Farm ("Här, från hönsspillning...") Här, från hönsspillning En räddning är en kvast. Kärlek - vilken? – Hon tog med mig in i hönsgården. Att hacka säden, hönorna kacklar, tupparna kliver viktigt. Och utan storlek och censur komponeras dikter i sinnet. Om en provensalsk eftermiddag
Pierre Fermat, som läste "Aritmetiken" av Diophantus från Alexandria och reflekterade över dess problem, hade för vana att skriva ner resultaten av sina reflektioner i form av korta kommentarer i bokens marginal. Mot det åttonde problemet med Diophantus i bokens marginal skrev Fermat: " Tvärtom är det omöjligt att sönderdela vare sig en kub i två kuber, eller en biquadrate till två biquadrate, och i allmänhet ingen potens större än en kvadrat i två potenser med samma exponent. Jag har upptäckt ett verkligt underbart bevis på detta, men dessa fält är för smala för det» / E.T. Bell "The Creators of Mathematics". M., 1979, s. 69/. Jag uppmärksammar er på ett elementärt bevis på Fermats teorem, som alla gymnasieelever som är intresserade av matematik kan förstå.
Låt oss jämföra Fermats kommentar om Diophantus problem med den moderna formuleringen av Fermats sista teorem, som har formen av en ekvation.
« Ekvationen
x n + y n = z n(där n är ett heltal större än två)
har inga lösningar i positiva heltal»
Kommentaren står i ett logiskt samband med uppgiften, liknande det logiska sambandet mellan predikatet och ämnet. Det som hävdas av Diophantus problem hävdas tvärtom av Fermats kommentar.
Fermats kommentar kan tolkas på följande sätt: om en andragradsekvation med tre okända har ett oändligt antal lösningar på mängden av alla trillingar av pythagoras tal, då, tvärtom, en ekvation med tre okända med en potens som är större än kvadraten
Det finns inte ens en antydan i ekvationen om dess samband med Diophantus problem. Hans uttalande kräver bevis, men det finns inget villkor av vilket det följer att det inte har några lösningar i positiva heltal.
Alternativen för att bevisa den för mig kända ekvationen kokar ner till följande algoritm.
- Ekvationen för Fermats teorem tas som slutsats, vars giltighet verifieras genom bevis.
- Samma ekvation kallas original ekvation från vilken dess bevis måste utgå.
Som ett resultat bildades en tautologi: " Om en ekvation inte har några lösningar i positiva heltal, så har den inga lösningar i positiva heltal"Beviset för tautologin är uppenbarligen felaktigt och saknar någon mening. Men det är bevisat genom motsägelse.
- Ett antagande görs som är motsatsen till vad som anges av ekvationen som behöver bevisas. Det borde inte motsäga den ursprungliga ekvationen, men det gör det. Det är ingen mening att bevisa det som accepteras utan bevis, och att utan bevis acceptera det som behöver bevisas.
- Baserat på det accepterade antagandet utförs absolut korrekta matematiska operationer och åtgärder för att bevisa att den motsäger den ursprungliga ekvationen och är falsk.
Därför, i 370 år nu, har bevisningen av ekvationen för Fermats sista sats förblivit en orealiserbar dröm för specialister och matematikentusiaster.
Jag tog ekvationen som slutsatsen av satsen, och det åttonde problemet med Diophantus och dess ekvation som satsens tillstånd.
"Om ekvationen x 2 + y 2 = z 2
(1) har ett oändligt antal lösningar på mängden av alla trippel av Pythagoras tal, sedan, omvänt, ekvationen x n + y n = z n
, Var n > 2
(2) har inga lösningar på uppsättningen positiva heltal."
Bevis.
A) Alla vet att ekvation (1) har ett oändligt antal lösningar på mängden av alla trippel av Pythagoras tal. Låt oss bevisa att inte en enda trippel av pythagoras tal som är en lösning till ekvation (1) är en lösning till ekvation (2).
Baserat på lagen om reversibilitet av likhet byter vi sidorna av ekvation (1). Pythagoras siffror (z, x, y) kan tolkas som längden på sidorna i en rätvinklig triangel och kvadraterna (x 2 , y 2 , z 2) kan tolkas som arean av kvadrater byggda på dess hypotenusa och ben.
Låt oss multiplicera arean av kvadraterna i ekvation (1) med en godtycklig höjd h :
z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)
Ekvation (3) kan tolkas som likheten mellan volymen av en parallellepiped och summan av volymerna av två parallellepipeder.
Låt höjden av tre parallellepipeder h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
Volymen av kuben sönderdelas i två volymer av två parallellepipeder. Vi lämnar kubens volym oförändrad och minskar höjden på den första parallellepipeden till x och minska höjden på den andra parallellepipeden till y . Volymen av en kub är större än summan av volymerna av två kuber:
z 3 > x 3 + y 3 (5)
På uppsättningen av trippel av Pythagoras tal ( x, y, z ) kl n=3 det kan inte finnas någon lösning på ekvation (2). Följaktligen, på uppsättningen av alla trippel av Pythagoras tal är det omöjligt att sönderdela en kub i två kuber.
Sätt in ekvation (3) höjden av tre parallellepipeder h = z 2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Volymen av en parallellepiped delas upp i summan av volymerna av två parallellepiped.
Vi lämnar den vänstra sidan av ekvation (6) oförändrad. På dess högra sida höjden z 2
förminska till X
under första terminen och före vid 2
under andra mandatperioden.
Ekvation (6) förvandlas till ojämlikhet:
Volymen av parallellepipeden sönderdelas i två volymer av två parallellepiped.
Vi lämnar den vänstra sidan av ekvation (8) oförändrad.
På höger sida höjden zn-2
förminska till xn-2
under första mandatperioden och minska till y n-2
under andra mandatperioden. Ekvation (8) blir olikhet:
| z n > x n + y n | (9) |
På uppsättningen av trillingar av Pythagoras tal kan det inte finnas en enda lösning till ekvation (2).
Följaktligen på uppsättningen av alla trippel av Pythagoras tal för alla n > 2 ekvation (2) har inga lösningar.
Ett "verkligt mirakulöst bevis" har erhållits, men bara för trillingar Pythagoras siffror. Detta är brist på bevis och anledningen till P. Fermats vägran från honom.
B) Låt oss bevisa att ekvation (2) inte har några lösningar på uppsättningen av tripletter av icke-pytagoreiska tal, som representerar en familj av en godtycklig trippel av Pythagoras tal z = 13, x = 12, y = 5 och en familj med en godtycklig trippel positiva heltal z = 21, x = 19, y = 16
Båda trillingarna av siffror är medlemmar av deras familjer:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Antalet familjemedlemmar (10) och (11) är lika med hälften av produkten av 13 gånger 12 och 21 gånger 20, det vill säga 78 och 210.
Varje familjemedlem (10) innehåller z = 13 och variabler X Och på 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1
Varje medlem i familjen (11) innehåller z = 21 och variabler X Och på , som tar heltalsvärden 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Variabler minskar successivt med 1 .
Trippeltal av sekvensen (10) och (11) kan representeras som en sekvens av olikheter av tredje graden:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
och i form av ojämlikheter av fjärde graden:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Korrektheten av varje olikhet verifieras genom att höja talen till tredje och fjärde potens.
En kub med ett större tal kan inte dekomponeras i två kuber med mindre tal. Det är antingen mindre eller större än summan av kuberna av de två mindre talen.
Bikvadraten av ett större tal kan inte delas upp i två biquadrates av mindre tal. Det är antingen mindre eller större än summan av bisquars av mindre tal.
När exponenten ökar har alla ojämlikheter, utom den vänstra extrema ojämlikheten, samma betydelse:
De har alla samma betydelse: potensen av det större talet är större än summan av potenserna av de två mindre talen med samma exponent:
| 13 n > 12 n + 12 n; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n | (12) | |
| 21 n > 20 n + 20 n; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n | (13) |
Den vänstra extremtermen av sekvenser (12) (13) representerar den svagaste ojämlikheten. Dess korrekthet bestämmer riktigheten av alla efterföljande olikheter i sekvensen (12) för n > 8 och sekvens (13) kl n > 14 .
Det kan inte finnas någon jämlikhet mellan dem. En godtycklig trippel av positiva heltal (21,19,16) är inte en lösning på ekvation (2) i Fermats sista sats. Om en godtycklig trippel av positiva heltal inte är en lösning på ekvationen, så har ekvationen inga lösningar på uppsättningen av positiva heltal, vilket är vad som behövde bevisas.
MED) Fermats kommentar om Diophantus problem säger att det är omöjligt att sönderdela " i allmänhet ingen potens större än en kvadrat, två potenser med samma exponent».
Kyss en grad större än en kvadrat kan inte riktigt brytas upp i två grader med samma exponent. Inga kyssar en grad större än en kvadrat kan delas upp i två potenser med samma exponent.
Varje godtycklig trippel av positiva heltal (z, x, y) kan tillhöra en familj där varje medlem består av ett konstant antal z och två nummer mindre z . Varje familjemedlem kan representeras i form av en ojämlikhet, och alla resulterande ojämlikheter kan representeras i form av en sekvens av ojämlikheter:
| z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n | (14) |
Sekvensen av ojämlikheter (14) börjar med ojämlikheter där vänster sida är mindre än höger, och slutar med ojämlikheter där höger sida är mindre än vänster sida. Med ökande exponent n > 2 antalet olikheter på höger sida av sekvens (14) ökar. Med exponenten n = k alla ojämlikheter på den vänstra sidan av sekvensen ändrar sin betydelse och antar betydelsen av ojämlikheterna på den högra sidan av ojämlikheterna i sekvensen (14). Som ett resultat av att exponenten för alla ojämlikheter ökar, visar sig vänster sida vara större än höger:
| zk > (z-1)k+ (z-1)k; zk > (z-1)k + (z-2)k;…; zk > 2 k + 1 k; z k > 1 k + 1 k | (15) |
Med en ytterligare ökning av exponenten n>k ingen av ojämlikheterna ändrar sin innebörd och förvandlas till jämlikhet. På grundval av detta kan det hävdas att varje godtyckligt vald trippel av positiva heltal (z, x, y) på n > 2 , z > x , z > y
I en godtyckligt vald trippel av positiva heltal z kan vara ett godtyckligt stort naturligt tal. För alla naturliga tal som inte är större än z , Fermats sista sats är bevisad.
D) Oavsett hur stort antal z , i den naturliga talserien finns en stor men ändlig uppsättning heltal före den, och efter den finns en oändlig uppsättning heltal.
Låt oss bevisa att hela den oändliga mängden naturliga tal är stor z , bildar tripplar av tal som inte är lösningar till ekvationen i Fermats sista sats, till exempel en godtycklig trippel av positiva heltal (z + 1, x ,y) , vart i z + 1 > x Och z + 1 > y för alla värden för exponenten n > 2 är inte en lösning på ekvationen av Fermats sista sats.
En slumpmässigt utvald trippel av positiva heltal (z + 1, x, y) kan tillhöra en familj av tripplar av tal, där varje medlem består av ett konstant tal z+1 och två nummer X Och på , antar olika värden, mindre z+1 . Familjemedlemmar kan representeras i form av ojämlikheter där den konstanta vänstra sidan är mindre än eller större än högersidan. Ojämlikheterna kan ordnas i form av en sekvens av ojämlikheter:
Med en ytterligare ökning av exponenten n>k till oändlighet, ingen av ojämlikheterna i sekvens (17) ändrar sin betydelse och förvandlas till jämlikhet. I sekvens (16) bildades ojämlikheten från en godtyckligt vald trippel av positiva heltal (z + 1, x, y) , kan placeras på sin högra sida i formuläret (z + 1) n > x n + y n eller vara på vänster sida i formuläret (z+1)n< x n + y n .
I alla fall en trippel av positiva heltal (z + 1, x, y) på n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y i sekvens (16) representerar en olikhet och kan inte representera en likhet, det vill säga den kan inte representera en lösning på ekvationen för Fermats sista sats.
Det är lätt och enkelt att förstå ursprunget till sekvensen av maktojämlikheter (16), där den sista ojämlikheten på vänster sida och den första ojämlikheten på höger sida är ojämlikheter av motsatt betydelse. Tvärtom är det inte lätt och svårt för skolelever, gymnasieelever och gymnasieelever att förstå hur en sekvens av ojämlikheter (16) bildas av en sekvens av ojämlikheter (17), där alla ojämlikheter har samma innebörd. .
I sekvens (16), genom att öka heltalsgraden av olikheter med 1 enhet förvandlas den sista olikheten på vänster sida till den första olikheten i motsatt mening på höger sida. Således minskar antalet olikheter på vänster sida av sekvensen, och antalet olikheter på höger sida ökar. Mellan den sista och första maktojämlikheten av motsatt betydelse finns det nödvändigtvis en maktlikhet. Dess grad kan inte vara ett heltal, eftersom endast icke-heltal ligger mellan två på varandra följande naturliga tal. En potenslikhet av icke-heltalsgrad, enligt villkoren för satsen, kan inte anses vara en lösning på ekvation (1).
Om vi i sekvens (16) fortsätter att öka graden med 1 enhet, kommer den sista olikheten på dess vänstra sida att förvandlas till den första olikheten av motsatt betydelse av höger sida. Som ett resultat kommer det inte att finnas några ojämlikheter på vänster sida kvar och endast ojämlikheter på höger sida kommer att finnas kvar, vilket kommer att vara en sekvens av ökande maktojämlikheter (17). En ytterligare ökning av deras heltalspotential med 1 enhet stärker bara dess maktojämlikheter och utesluter kategoriskt möjligheten till likhet i heltalspotentialen.
Följaktligen kan i allmänhet ingen heltalspotens av ett naturligt tal (z+1) i sekvensen av potensolikheter (17) delas upp i två heltalspotenser med samma exponent. Därför har ekvation (1) inga lösningar på en oändlig uppsättning naturliga tal, vilket är vad som behövde bevisas.
Följaktligen är Fermats sista teorem bevisat i sin helhet:
- i avsnitt A) för alla trillingar (z, x, y) Pythagoras tal (Fermats upptäckt är verkligen ett underbart bevis),
- i avsnitt B) för alla familjemedlemmar av någon trippel (z, x, y) Pythagoras siffror,
- i avsnitt C) för alla tripplar av tal (z, x, y) , inte stora antal z
- i avsnitt D) för alla tripplar av tal (z, x, y) naturliga talserier.
|
Ändringar gjorda 2010-05-09 |
Vilka satser kan och inte kan bevisas genom motsägelse?
Den förklarande ordboken för matematiska termer definierar ett bevis genom motsägelse av en sats, motsatsen till en omvänd sats.
"Bevis genom motsägelse är en metod för att bevisa en sats (sats), som består i att bevisa inte själva satsen utan dess ekvivalenta (motsvarande) sats. Bevis genom motsägelse används när den direkta satsen är svår att bevisa, men den motsatta satsen är lättare att bevisa. I ett proof by contradiction ersätts satsens slutsats av dess negation, och genom resonemang kommer man fram till negationen av villkoren, d.v.s. till en motsägelse, till motsatsen (motsatsen till vad som ges; denna reduktion till det absurda bevisar satsen."
Bevis genom motsägelse används mycket ofta i matematik. Bevis genom motsägelse är baserad på lagen om utesluten mitten, som består i det faktum att av två påståenden (påståenden) A och A (negation av A), ett av dem är sant och det andra är falskt."/Explanatory Dictionary of Mathematical Terms: A Manual for Teachers/O. V. Manturov [etc.]; redigerad av V. A. Ditkina.- M.: Utbildning, 1965.- 539 s.: ill.-C.112/.
Det skulle inte vara bättre att öppet förklara att metoden att bevisa genom motsägelse inte är en matematisk metod, även om den används i matematik, att den är en logisk metod och tillhör logiken. Är det acceptabelt att säga att bevis genom motsägelse "används närhelst en direkt sats är svår att bevisa", när den i själva verket används när, och endast när, det inte finns någon ersättning.
Karakteriseringen av förhållandet mellan de direkta och omvända satserna till varandra förtjänar också särskild uppmärksamhet. "Den omvända satsen för en given sats (eller till en given sats) är en sats där villkoret är slutsatsen och slutsatsen är villkoret för den givna satsen. Denna sats i förhållande till den omvända satsen kallas direktsatsen (original). Samtidigt kommer den omvända satsen till den omvända satsen att vara den givna satsen; därför kallas de direkta och omvända satserna ömsesidigt inversa. Om den direkta (givna) satsen är sann, är den omvända satsen inte alltid sann. Till exempel, om en fyrhörning är en romb, är dess diagonaler ömsesidigt vinkelräta (direkt sats). Om diagonalerna i en fyrhörning är ömsesidigt vinkelräta, så är fyrhörningen en romb - detta är falskt, det vill säga den omvända satsen är falsk."/Explanatory Dictionary of Mathematical Terms: A Manual for Teachers/O. V. Manturov [etc.]; redigerad av V. A. Ditkina.- M.: Utbildning, 1965.- 539 s.: ill.-C.261 /.
Denna egenskap hos förhållandet mellan de direkta och inversa satserna tar inte hänsyn till det faktum att villkoret för den direkta satsen accepteras som givet, utan bevis, så dess riktighet är inte garanterad. Villkoret för inverssatsen accepteras inte som givet, eftersom det är slutsatsen av den bevisade direktsatsen. Dess riktighet bekräftas av beviset för den direkta satsen. Denna väsentliga logiska skillnad i förhållandena för de direkta och omvända satserna visar sig vara avgörande i frågan om vilka satser som kan och inte kan bevisas med den logiska metoden genom motsägelse.
Låt oss anta att det finns en direkt sats i åtanke, som kan bevisas med den vanliga matematiska metoden, men som är svår. Låt oss formulera det generellt och kortfattat så här: från A skall E . Symbol A har innebörden av det givna villkoret i satsen, accepterat utan bevis. Symbol E Det som spelar roll är slutsatsen av satsen som måste bevisas.
Vi kommer att bevisa den direkta satsen genom motsägelse, logisk metod. Den logiska metoden används för att bevisa ett teorem som har inte matematiskt skick, och logisk skick. Det kan erhållas om det matematiska tillståndet för satsen från A skall E , komplettera med rakt motsatt villkor från A gör det inte E .
Resultatet var ett logiskt motsägelsefullt villkor för den nya satsen, som innehöll två delar: från A skall E Och från A gör det inte E . Det resulterande villkoret för den nya satsen motsvarar den logiska lagen för utesluten mitt och motsvarar beviset för satsen genom motsägelse.
Enligt lagen är en del av ett motstridiga villkor falsk, en annan del är sann och den tredje är utesluten. Motsägelsebeviset har till uppgift och syfte att fastställa exakt vilken del av de två delarna av satsens villkor som är falsk. När den falska delen av tillståndet har bestämts, bestäms den andra delen vara den sanna delen, och den tredje exkluderas.
Enligt den förklarande ordboken för matematiska termer, "bevis är resonemang under vilket sanningen eller falskheten i ett påstående (dom, påstående, sats) fastställs". Bevis genom motsägelse det finns ett resonemang under vilket det fastställs falskhet(absurditet) av slutsatsen som härrör från falsk villkoren för satsen som ska bevisas.
Given: från A skall E och från A gör det inte E .
Bevisa: från A skall E .
Bevis: Det logiska villkoret för satsen innehåller en motsägelse som kräver dess upplösning. Motsägelsen i villkoret måste finna sin lösning i beviset och dess resultat. Resultatet visar sig vara falskt med felfria och felfria resonemang. Anledningen till en falsk slutsats i logiskt korrekta resonemang kan bara vara ett motsägelsefullt villkor: från A skall E Och från A gör det inte E .
Det finns ingen skugga av tvivel om att en del av tillståndet är falskt, och den andra i det här fallet är sant. Båda delarna av villkoret har samma ursprung, är accepterade som data, antagna, lika möjliga, lika tillåtliga, etc. Under logiska resonemang upptäcktes inte ett enda logiskt drag som skulle skilja den ena delen av villkoret från den andra . Därför kan det i samma utsträckning vara det från A skall E och kanske från A gör det inte E . Påstående från A skall E Kanske falsk, sedan uttalandet från A gör det inte E kommer att vara sant. Påstående från A gör det inte E kan vara falskt, då påståendet från A skall E kommer att vara sant.
Följaktligen är det omöjligt att bevisa en direkt sats genom motsägelse.
Nu ska vi bevisa samma direkta sats med den vanliga matematiska metoden.
Given: A .
Bevisa: från A skall E .
Bevis.
1. Från A skall B
2. Från B skall I (enligt den tidigare bevisade satsen)).
3. Från I skall G (enligt den tidigare bevisade satsen).
4. Från G skall D (enligt den tidigare bevisade satsen).
5. Från D skall E (enligt den tidigare bevisade satsen).
Baserat på lagen om transitivitet, från A skall E . Den direkta satsen bevisas med den vanliga metoden.
Låt det bevisade direkta satsen ha en korrekt inverssats: från E skall A .
Låt oss bevisa det med det vanliga matematisk metod. Beviset för den omvända satsen kan uttryckas i symbolisk form som en algoritm för matematiska operationer.
Given: E
Bevisa: från E skall A .
Bevis.
1. Från E skall D
2. Från D skall G (enligt den tidigare bevisade omvända satsen).
3. Från G skall I (enligt den tidigare bevisade omvända satsen).
4. Från I gör det inte B (den omvända satsen är inte sann). Det är därför från B gör det inte A .
I den här situationen är det ingen mening att fortsätta det matematiska beviset för den omvända satsen. Orsaken till situationen är logisk. En felaktig omvänd teorem kan inte ersättas med någonting. Därför är det omöjligt att bevisa denna omvända sats med den vanliga matematiska metoden. Allt hopp är att bevisa denna omvända sats genom motsägelse.
För att bevisa det genom motsägelse är det nödvändigt att ersätta dess matematiska tillstånd med ett logiskt motsägelsefullt tillstånd, som i sin mening innehåller två delar - falskt och sant.
Converse teorem stater: från E gör det inte A . Hennes tillstånd E , varav slutsatsen följer A , är resultatet av att bevisa den direkta satsen med den vanliga matematiska metoden. Detta villkor ska bevaras och kompletteras med utlåtandet från E skall A . Som ett resultat av tillägget får vi det motsägelsefulla villkoret för den nya inversa satsen: från E skall A Och från E gör det inte A . Baserat på det här logiskt sett motsägelsefullt villkor, kan det omvända satsen bevisas med hjälp av det korrekta logisk bara resonemang, och bara, logisk metod genom motsägelse. I ett bevis genom motsägelse är alla matematiska handlingar och operationer underordnade logiska och räknas därför inte.
I den första delen av det motsägelsefulla uttalandet från E skall A skick E bevisades av beviset för den direkta satsen. I den andra delen från E gör det inte A skick E antogs och accepterades utan bevis. En av dem är falsk och den andra är sann. Du måste bevisa vilken som är falsk.
Vi bevisar det genom korrekt logisk resonerar och upptäcker att resultatet är en falsk, absurd slutsats. Anledningen till en falsk logisk slutsats är det motsägelsefulla logiska tillståndet i satsen, som innehåller två delar - falskt och sant. Den falska delen kan bara vara ett påstående från E gör det inte A , i vilken E accepterades utan bevis. Det är detta som skiljer den från E uttalanden från E skall A , vilket bevisas av beviset för den direkta satsen.
Därför är påståendet sant: från E skall A , vilket var det som behövde bevisas.
Slutsats: med den logiska metoden bevisas endast den inversa satsen genom motsägelse, som har en direkt sats bevisad med den matematiska metoden och som inte kan bevisas med den matematiska metoden.
Den erhållna slutsatsen får exceptionell betydelse i förhållande till bevismetoden genom motsägelse av Fermats stora sats. Den överväldigande majoriteten av försöken att bevisa det bygger inte på den vanliga matematiska metoden, utan på den logiska metoden att bevisa genom motsägelse. Wiles bevis på Fermats sista sats är inget undantag.
Dmitry Abrarov publicerade i artikeln "Fermat's Theorem: the Phenomenon of Wiles' Proofs," en kommentar till Wiles bevis på Fermat's Last Theorem. Enligt Abrarov bevisar Wiles Fermats sista teorem med hjälp av en anmärkningsvärd upptäckt av den tyske matematikern Gerhard Frey (f. 1944), som berättade om den potentiella lösningen av Fermats ekvation. x n + y n = z n
, Var n > 2
, med en annan, helt annan ekvation. Denna nya ekvation ges av en speciell kurva (kallad Freys elliptiska kurva). Frey-kurvan ges av en mycket enkel ekvation:
.
”Det var Frey som jämförde med varje beslut (a, b, c) Fermats ekvation, det vill säga tal som uppfyller sambandet a n + b n = c n, ovanstående kurva. I det här fallet skulle Fermats sista teorem följa."(Citat från: Abrarov D. "Fermat's Theorem: the phenomenon of Wiles' proofs")
Med andra ord, Gerhard Frey föreslog att ekvationen av Fermats sista sats x n + y n = z n
, Var n > 2
, har lösningar i positiva heltal. Samma lösningar är, enligt Freys antagande, lösningar på hans ekvation
y2 + x (x - a n) (y + b n) = 0
, vilket ges av dess elliptiska kurva.
Andrew Wiles accepterade denna anmärkningsvärda upptäckt av Frey och med dess hjälp, matematisk metoden bevisade att detta fynd, det vill säga Freys elliptiska kurva, inte existerar. Därför finns det ingen ekvation och dess lösningar som ges av en obefintlig elliptisk kurva.Därför borde Wiles ha accepterat slutsatsen att det inte finns någon ekvation för Fermats sista sats och Fermats sats själv. Han accepterar dock en mer blygsam slutsats att ekvationen för Fermats sista sats inte har några lösningar i positiva heltal.
Ett ovedersägligt faktum kan vara att Wiles accepterade ett antagande som är exakt motsatt i betydelsen till vad som anges i Fermats stora sats. Det tvingar Wiles att bevisa Fermats sista teorem genom motsägelse. Låt oss följa hans exempel och se vad som kommer av detta exempel.
Fermats sista sats säger att ekvationen x n + y n = z n , Var n > 2 , har inga lösningar i positiva heltal.
Enligt den logiska metoden att bevisa genom motsägelse bibehålls detta påstående, accepteras som givet utan bevis och kompletteras sedan med ett motsatt påstående: ekvation x n + y n = z n , Var n > 2 , har lösningar i positiva heltal.
Det presumtiva uttalandet accepteras också som givet, utan bevis. Båda påståendena, betraktade ur logikens grundläggande lagar, är lika giltiga, lika giltiga och lika möjliga. Genom korrekt resonemang är det nödvändigt att avgöra vilket som är falskt för att sedan fastställa att det andra påståendet är sant.
Rätt resonemang slutar i en falsk, absurd slutsats, vars logiska skäl endast kan vara det motsägelsefulla villkoret för att satsen bevisas, som innehåller två delar av rakt motsatt betydelse. De var det logiska skälet till den absurda slutsatsen, resultatet av bevis genom motsägelse.
Men under ett logiskt korrekt resonemang upptäcktes inte ett enda tecken genom vilket det kunde fastställas vilket särskilt påstående som är falskt. Det kan vara ett påstående: ekvation x n + y n = z n , Var n > 2 , har lösningar i positiva heltal. På samma grund kan det vara följande påstående: ekvation x n + y n = z n , Var n > 2 , har inga lösningar i positiva heltal.
Som ett resultat av resonemanget kan det bara finnas en slutsats: Fermats sista sats kan inte bevisas genom motsägelse.
Det skulle vara en helt annan sak om Fermats sista sats var en invers sats, som har en direkt sats bevisad med den vanliga matematiska metoden. I det här fallet skulle det kunna bevisas genom motsägelse. Och eftersom det är en direkt sats, bör dess bevis inte baseras på den logiska metoden att bevisa genom motsägelse, utan på den vanliga matematiska metoden.
Enligt D. Abrarov reagerade den mest kända av moderna ryska matematiker, akademikern V. I. Arnold, "aktivt skeptiskt" på Wiles bevis. Akademikern uttalade: "det här är inte riktig matematik - riktig matematik är geometrisk och har starka kopplingar till fysik." (Citat från: Abrarov D. "Fermats sats: fenomenet med Wiles bevis." Akademikerns uttalande uttrycker själva essensen av Wiles icke-matematiska bevis för Fermats sista teorem.
Motsägelsefullt är det omöjligt att bevisa antingen att ekvationen i Fermats sista sats inte har några lösningar eller att den har lösningar. Wiles misstag är inte matematiskt, utan logiskt - användningen av bevis genom motsägelse där användningen inte är meningsfull och Fermats stora sats inte bevisar.
Fermats sista teorem kan inte bevisas ens med den vanliga matematiska metoden om den ger: ekvationen x n + y n = z n , Var n > 2 , har inga lösningar i positiva heltal, och om du vill bevisa i det: ekvationen x n + y n = z n , Var n > 2 , har inga lösningar i positiva heltal. I denna form finns det inte ett teorem, utan en tautologi utan mening.
Notera. Mitt BTF-bevis diskuterades på ett av forumen. En av Trotil-deltagarna, expert på talteori, gjorde följande auktoritativa uttalande med titeln: "En kort återberättelse om vad Mirgorodsky gjorde." Jag citerar det ordagrant:
« A. Han bevisade att om z 2 = x 2 + y , Den där z n > x n + y n . Detta är ett välkänt och ganska uppenbart faktum.
I. Han tog två trippel - pytagoreisk och icke-pytagoreisk och visade genom enkel sökning att för en specifik, specifik familj av trippel (78 och 210 stycken) är BTF nöjd (och bara för den).
MED. Och då har författaren utelämnat det faktum att från < i senare utsträckning kan det visa sig vara det = , inte bara > . Ett enkelt motexempel - övergång n=1 V n=2 i Pythagoras trippel.
D. Denna punkt bidrar inte med något väsentligt till BTF-beviset. Slutsats: BTF har inte bevisats.”
Jag kommer att överväga hans slutsats punkt för punkt.
A. Det bevisar BTF för hela den oändliga uppsättningen av trippel av Pythagoras tal. Bevisat med en geometrisk metod, som, som jag tror, inte upptäcktes av mig, utan återupptäcktes. Och det upptäcktes, som jag tror, av P. Fermat själv. Fermat kan ha haft detta i åtanke när han skrev:
"Jag har upptäckt ett verkligt underbart bevis på detta, men dessa fält är för smala för det." Mitt antagande är baserat på det faktum att i det diofantiska problemet, mot vilket Fermat skrev i bokens marginaler, talar vi om lösningar på den diofantiska ekvationen, som är tripletter av pythagoras tal.
En oändlig uppsättning trillingar av pythagoras tal är lösningar till den diofatiska ekvationen, och i Fermats sats, tvärtom, kan ingen av lösningarna vara en lösning på ekvationen för Fermats sats. Och Fermats verkligt underbara bevis är direkt relaterat till detta faktum. Fermat kunde senare utöka sitt sats till mängden av alla naturliga tal. På mängden av alla naturliga tal tillhör inte BTF "uppsättningen exceptionellt vackra satser." Detta är mitt antagande, som varken kan bevisas eller motbevisas. Det kan accepteras eller förkastas.
I. Vid det här laget bevisar jag att både familjen för en godtyckligt tagen pythagoras trippel av tal och familjen av en godtyckligt tagen icke-pythagoras trippel av BTF-tal är uppfyllda. Detta är en nödvändig, men otillräcklig och mellanliggande länk i mitt bevis på BTF . De exempel jag tog på familjen av trippeln av pythagoras tal och familjen av trippeln av icke-pytagoreiska tal har innebörden av specifika exempel som förutsätter och inte utesluter förekomsten av liknande andra exempel.
Trotils uttalande att jag "visade genom enkel sökning att för en specifik, specifik familj av trillingar (78 och 210 stycken) är BTF nöjd (och bara för det) är grundlöst. Han kan inte vederlägga det faktum att jag lika gärna kan ta andra exempel på pytagoreiska och icke-pytagoreiska trippel för att få en specifik bestämd familj av den ena och den andra trippeln.
Oavsett vilket par av trillingar jag tar, kan jag enligt min åsikt kontrollera deras lämplighet för att lösa problemet endast med den "enkla uppräkningsmetoden". Jag känner ingen annan metod och behöver den inte. Om Trotil inte gillade det så borde han ha föreslagit en annan metod, vilket han inte gör. Utan att erbjuda något i gengäld är det felaktigt att fördöma "enkel overkill", som i det här fallet är oersättlig.
MED. Jag har utelämnat = mellan< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), i vilken graden n > 2 — hela Positivt nummer. Av jämlikheten mellan ojämlikheterna följer obligatorisk beaktande av ekvation (1) för ett gradvärde som inte är heltal n > 2 . Trotil, räknar obligatorisk hänsyn till jämlikhet mellan ojämlikheter faktiskt anser nödvändig i BTF-beviset, beaktande av ekvation (1) med inte hel gradvärde n > 2 . Jag gjorde detta för mig själv och hittade den ekvationen (1) med inte hel gradvärde n > 2 har en lösning med tre tal: z, (z-1), (z-1) för en icke-heltalsexponent.
För heltal n större än 2 har ekvationen x n + y n = z n inga lösningar som inte är noll i naturliga tal.
Du minns säkert från din skoltid Pythagoras sats: Kvadraten på hypotenusan i en rätvinklig triangel är lika med summan av benens kvadrater. Du kanske också kommer ihåg den klassiska räta triangeln med sidor vars längder är i förhållandet 3: 4: 5. För den ser Pythagoras sats ut så här:
Detta är ett exempel på att lösa den generaliserade Pythagoras ekvation i heltal som inte är noll med n= 2. Fermats sista sats (även kallad "Fermats sista sats" och "Fermats sista sats") är påståendet att för värdena n> 2 formens ekvationer x n + y n = z n har inga lösningar som inte är noll i naturliga tal.
Historien om Fermats sista sats är mycket intressant och lärorik, och inte bara för matematiker. Pierre de Fermat bidrog till utvecklingen av olika områden inom matematiken, men huvuddelen av hans vetenskapliga arv publicerades endast postumt. Faktum är att matematik för Fermat var något av en hobby, och inte en professionell sysselsättning. Han korresponderade med sin tids ledande matematiker, men strävade inte efter att publicera sitt arbete. Fermats vetenskapliga skrifter återfinns främst i form av privat korrespondens och fragmentariska anteckningar, ofta skrivna i marginalen på olika böcker. Det är i marginalen (av den andra volymen av den antika grekiska "Aritmetiken" av Diophantus. - Notera översättare) strax efter matematikerns död upptäckte ättlingarna formuleringen av den berömda satsen och efterskriften:
« Jag hittade ett verkligt underbart bevis på detta, men dessa fält är för smala för det».
Tyvärr brydde sig Fermat aldrig om att skriva ner det "mirakulösa beviset" han hittade, och ättlingar sökte utan framgång efter det i mer än tre århundraden. Av allt Fermats spridda vetenskapliga arv, som innehåller många överraskande uttalanden, var det den stora satsen som envist vägrade att lösas.
Den som har försökt bevisa Fermats sista sats är förgäves! En annan stor fransk matematiker, René Descartes (1596–1650), kallade Fermat för en "skrytt", och den engelske matematikern John Wallis (1616–1703) kallade honom en "jävla fransman". Fermat själv lämnade dock fortfarande efter sig ett bevis på sitt teorem för fallet n= 4. Med bevis för n= 3 löstes av den store schweizisk-ryske matematikern på 1700-talet Leonhard Euler (1707–83), varefter han inte kunde hitta bevis för n> 4, föreslog skämtsamt att Fermats hus skulle genomsökas för att hitta nyckeln till de förlorade bevisen. Under 1800-talet gjorde nya metoder inom talteorin det möjligt att bevisa påståendet för många heltal inom 200, men återigen, inte för alla.
1908 instiftades ett pris på 100 000 tyska mark för att lösa detta problem. Prisfonden testamenterades av den tyske industrimannen Paul Wolfskehl, som enligt legenden skulle begå självmord, men blev så medtagen av Fermats sista teorem att han ändrade uppfattning om att dö. Med tillkomsten av att lägga till maskiner och sedan datorer, värdefältet n började stiga högre och högre - till 617 i början av andra världskriget, till 4001 1954, till 125 000 1976. I slutet av 1900-talet programmerades de kraftfullaste datorerna vid militära laboratorier i Los Alamos (New Mexico, USA) för att lösa Fermats problem i bakgrunden (liknande skärmsläckarläget på en persondator). Därmed var det möjligt att visa att satsen är sann för otroligt stora värden x, y, z Och n, men detta kunde inte fungera som ett strikt bevis, eftersom något av följande värden n eller trillingar av naturliga tal skulle kunna motbevisa satsen som helhet.
Slutligen, 1994, publicerade den engelske matematikern Andrew John Wiles (f. 1953), verksam vid Princeton, ett bevis på Fermats sista sats, som efter vissa modifieringar ansågs vara heltäckande. Beviset tog mer än hundra journalsidor och baserades på användningen av moderna apparater för högre matematik, som inte utvecklades under Fermats era. Så vad menade då Fermat med att lämna ett meddelande i bokens marginal att han hade hittat beviset? De flesta matematiker som jag talade med om detta ämne påpekade att det under århundradena hade funnits mer än tillräckligt med felaktiga bevis för Fermats sista sats, och att Fermat själv troligen hade hittat ett liknande bevis, men misslyckats med att känna igen felet. i det. Det är dock möjligt att det fortfarande finns några korta och eleganta bevis på Fermats sista teorem som ingen ännu har hittat. Bara en sak kan sägas med säkerhet: idag vet vi med säkerhet att satsen är sann. De flesta matematiker, tror jag, håller oreserverat med Andrew Wiles, som anmärkte om hans bevis: "Nu är äntligen mitt sinne i fred."
För många år sedan fick jag ett brev från Tasjkent från Valery Muratov, att döma av handstilen, en man i tonåren, som då bodde på Kommunisticheskaya Street på nummer 31. Killen var bestämd: "Kom direkt till saken. Hur mycket kommer du att betala mig för att ha bevisat Fermats teorem? "Jag är nöjd med minst 500 rubel. Vid ett annat tillfälle skulle jag ha bevisat det för dig gratis, men nu behöver jag pengar..."
En fantastisk paradox: få människor vet vem Fermat är, när han levde och vad han gjorde. Ännu färre människor kan beskriva hans stora teorem även i de mest allmänna termer. Men alla vet att det finns någon form av Fermats teorem, beviset för vilket matematiker runt om i världen har kämpat i mer än 300 år, men inte kan bevisa!
Det finns många ambitiösa människor, och själva medvetenheten om att det finns något som andra inte kan göra sporrar deras ambitioner ännu mer. Därför har tusentals (!) bevis på den stora satsen kommit och kommer till akademier, vetenskapliga institut och till och med tidningsredaktioner runt om i världen - ett aldrig tidigare skådat och aldrig brutet rekord av pseudovetenskaplig amatöraktivitet. Det finns till och med en term: "Fermatister", det vill säga människor som är besatta av att bevisa den stora satsen, som fullständigt plågade professionella matematiker med krav på att utvärdera deras arbete. Den berömda tyske matematikern Edmund Landau förberedde till och med en standard enligt vilken han svarade: "Det finns ett fel på sidan i ditt bevis på Fermats teorem ...", och hans doktorander skrev ner sidnumret. Och så sommaren 1994 rapporterade tidningar runt om i världen något helt sensationellt: den stora satsen hade bevisats!
Så vem är Fermat, vad är problemet och är det verkligen löst? Pierre Fermat föddes 1601 i familjen till en garvare, en rik och respekterad man - han tjänstgjorde som andre konsul i sin hemstad Beaumont - ungefär som en assistent till borgmästaren. Pierre studerade först med franciskanermunkarna, sedan vid juridiska fakulteten i Toulouse, där han sedan praktiserade juridik. Fermats intresseområde gick dock långt utöver juridik. Han var särskilt intresserad av klassisk filologi, och hans kommentarer till antika författares texter är kända. Och min andra passion är matematik.
På 1600-talet, liksom många år senare, fanns det inget sådant yrke: matematiker. Därför var alla de stora matematikerna på den tiden matematiker "deltid": Rene Descartes tjänstgjorde i armén, François Viète var advokat, Francesco Cavalieri var munk. Det fanns inga vetenskapliga tidskrifter då, och den klassiske vetenskapsmannen Pierre Fermat publicerade inte ett enda vetenskapligt arbete under sin livstid. Det fanns en ganska snäv krets av "amatörer" som löste olika problem som var intressanta för dem och skrev brev till varandra om detta, ibland argumenterade (som Fermat och Descartes), men förblev mest likasinnade. De blev grundarna av ny matematik, sårar av lysande frön, från vilka det mäktiga trädet av modern matematisk kunskap började växa, få styrka och förgrening.
Så Fermat var samma "amatör". I Toulouse, där han bodde i 34 år, kände alla honom, först och främst som rådgivare till utredningskammaren och en erfaren advokat. Vid 30 års ålder gifte han sig, fick tre söner och två döttrar, åkte ibland på tjänsteresor och under en av dem dog han plötsligt vid 63 års ålder. Allt! Livet för denna man, en samtida med De tre musketörerna, är förvånansvärt händelselöst och utan äventyr. Äventyren kom med hans stora sats. Låt oss inte prata om Fermats hela matematiska arv, och det är svårt att prata om det populärt. Ta mitt ord för det: detta arv är stort och varierat. Påståendet att den stora satsen är höjdpunkten i hans verk är mycket kontroversiellt. Det är bara det att ödet för den stora satsen är förvånansvärt intressant, och den stora världen av människor som inte är invigda i matematikens mysterier har alltid varit intresserade inte av själva satsen, utan av allt runtomkring den...
Rötterna till hela denna historia måste sökas i antiken, så älskad av Fermat. Runt 300-talet bodde den grekiske matematikern Diophantus i Alexandria, en ursprunglig vetenskapsman som tänkte utanför ramarna och uttryckte sina tankar utanför ramarna. Av de 13 volymerna av hans Aritmetik har bara 6 nått oss. Precis när Fermat fyllde 20 år publicerades en ny översättning av hans verk. Fermat var mycket intresserad av Diophantus, och dessa verk var hans uppslagsbok. I dess marginaler skrev Fermat ner sin stora sats, som i sin enklaste moderna form ser ut så här: ekvationen Xn + Yn = Zn har ingen lösning i heltal för n - större än 2. (För n = 2 är lösningen uppenbar : 32 + 42 = 52). Där, i marginalen till Diophantine volymen, tillägger Fermat: "Jag har upptäckt detta verkligt underbara bevis, men dessa marginaler är för smala för det."
Vid första anblicken är detta en enkel sak, men när andra matematiker började bevisa detta "enkla" teorem, lyckades ingen på hundra år. Slutligen bevisade den store Leonhard Euler det för n = 4, sedan 20 (!) år senare - för n = 3. Och återigen stannade arbetet av i många år. Nästa seger tillhörde tysken Peter Dirichlet (1805-1859) och fransmannen Andrien Legendre (1752-1833) - de erkände att Fermat hade rätt för n = 5. Sedan gjorde fransmannen Gabriel Lamé (1795-1870) detsamma för n = 7. Slutligen, i mitten av förra seklet, bevisade tysken Ernst Kummer (1810-1893) den stora satsen för alla värden på n mindre än eller lika med 100. Dessutom bevisade han det med metoder som Fermat kunde inte ha vetat, vilket ytterligare ökade känslan av mystik kring den stora satsen.
Således visade det sig att de bevisade Fermats teorem "bit för bit", men ingen lyckades "i sin helhet". Nya försök till bevis ledde bara till en kvantitativ ökning av värdena på n. Alla förstod att det med mycket arbete var möjligt att bevisa den stora satsen för ett godtyckligt stort antal n, men Fermat talade om vilket värde som helst. större än 2! Det var i denna skillnad mellan "hur mycket du vill" och "vilken som helst" som hela innebörden av problemet koncentrerades.
Det bör dock noteras att försök att bevisa Fermgs teorem inte bara var någon form av matematiskt spel, som löste en komplex rebus. I processen med dessa bevis öppnades nya matematiska horisonter, problem uppstod och löstes, och blev nya grenar av det matematiska trädet. Den store tyske matematikern David Hilbert (1862–1943) citerade den stora satsen som ett exempel på "det stimulerande inflytande som ett speciellt och till synes obetydligt problem kan ha på vetenskapen." Samma Kummer, som arbetade på Fermats sats, bevisade själv satser som låg till grund för talteorin, algebra och funktionsteorin. Så att bevisa den stora satsen är inte en sport, utan en riktig vetenskap.
Tiden gick och elektroniken kom till hjälp för professionella "fsrmatntsts". Elektroniska hjärnor kunde inte komma på nya metoder, men de gjorde det snabbt. Runt början av 80-talet bevisades Fermats teorem med hjälp av en dator för n mindre än eller lika med 5500. Gradvis växte denna siffra till 100 000, men alla förstod att sådan "ackumulering" var en fråga om ren teknik, som inte gav något till sinnet eller hjärtat. De kunde inte ta fästningen av den stora satsen rakt på sak och började leta efter lösningsmanövrar.
I mitten av 80-talet bevisade en ung icke-matematiker G. Filytings den så kallade "Mordell-förmodan", som för övrigt "inte kom i händerna" på någon matematiker på 61 år. Hoppet uppstod att nu, genom att "anfalla från flanken", så att säga, kunde Fermats teorem lösas. Dock hände ingenting då. 1986 föreslog den tyske matematikern Gerhard Frey en ny bevismetod i Essence. Jag åtar mig inte att förklara det strikt, men inte på ett matematiskt, utan på ett universellt mänskligt språk, det låter ungefär så här: om vi är övertygade om att beviset för någon annan sats är ett indirekt, på något sätt transformerat bevis på Fermats sats, därför kommer vi att bevisa den stora satsen. Ett år senare visade amerikanen Kenneth Ribet från Berkeley att Frey hade rätt och faktiskt kan ett bevis reduceras till ett annat. Många matematiker i olika länder i världen följde denna väg. Viktor Aleksandrovich Kolyvanov har gjort mycket för att bevisa den stora satsen. Den ointagliga fästningens tre hundra år gamla murar började skaka. Matematiker insåg att det inte skulle stå sig länge.
Sommaren 1993, i det antika Cambridge, vid Isaac Newton Institute of Mathematical Sciences, samlades 75 av världens mest framstående matematiker för att diskutera sina problem. Bland dem fanns den amerikanske professorn Andrew Wiles från Princeton University, en stor specialist på talteori. Alla visste att han hade studerat den stora satsen i många år. Wiles gav tre rapporter och vid den sista - den 23 juni 1993 - i slutet, vände han sig bort från styrelsen, sa han med ett leende:
- Jag kommer väl inte fortsätta...
Först var det dödstysthet, sedan en syndflod av applåder. De som satt i salen var kvalificerade nog att förstå: Fermats sista sats var bevisad! Ingen av de närvarande fann i alla fall några felaktigheter i den framlagda bevisningen. Biträdande direktör för Newton Institute Peter Goddard sa till reportrar:
"De flesta experter trodde inte att de skulle veta svaret förrän i slutet av sina liv." Detta är en av de största framgångarna inom matematiken i vårt århundrade...
Flera månader gick, inga kommentarer eller vederläggningar gjordes. Det är sant att Wiles inte publicerade sitt bevis, utan bara skickade ut så kallade utskrifter av sitt arbete till en mycket snäv krets av sina kollegor, vilket naturligtvis hindrar matematiker från att kommentera denna vetenskapliga sensation, och jag förstår akademikern Ludwig Dmitrievich Faddeev, vem sa:
"Jag kan säga att en sensation har uppstått när jag ser beviset med mina egna ögon."
Faddeev tror att sannolikheten för att Wiles vinner är mycket stor.
"Min far, en välkänd specialist inom talteori, var till exempel övertygad om att satsen skulle bevisas, men inte på grundläggande sätt," tillade han.
Vår andra akademiker, Viktor Pavlovich Maslov, var skeptisk till nyheten och menar att beviset för den stora satsen inte alls är ett pressande matematiskt problem. När det gäller sina vetenskapliga intressen är Maslov, ordföranden för Council on Applied Mathematics, långt ifrån "Fermatisterna", och när han säger att den fullständiga lösningen av den stora satsen bara är av sportintresse kan man förstå honom. Jag vågar dock notera att begreppet relevans i vilken vetenskap som helst är en variabel storhet. För 90 år sedan fick Rutherford förmodligen också höra: "Tja, okej, ja, teorin om radioaktivt sönderfall... Så vad? Vad är det för nytta med det?..."
Arbetet med beviset för den stora satsen har redan gett mycket åt matematiken, och vi får hoppas att det kommer att ge mer.
"Vad Wiles gjorde kommer att utveckla matematiker till andra områden," sa Peter Goddard. — Det stänger snarare inte någon av tankeriktningarna, utan väcker nya frågor som kommer att kräva ett svar...
Professor Mikhail Ilyich Zelikin vid Moskvas statliga universitet förklarade den nuvarande situationen för mig så här:
Ingen ser några misstag i Wiles arbete. Men för att detta arbete ska bli ett vetenskapligt faktum är det nödvändigt för flera välrenommerade matematiker att självständigt upprepa detta bevis och bekräfta dess riktighet. Detta är en oumbärlig förutsättning för att den matematiska allmänheten ska förstå Wiles arbete...
Hur lång tid tar det?
Jag ställde denna fråga till en av våra ledande experter inom talteori, doktor i fysikaliska och matematiska vetenskaper Alexey Nikolaevich Parshin.
— Andrew Wiles har fortfarande mycket tid framför sig...
Faktum är att den 13 september 1907 testamenterade den tyske matematikern P. Wolfskel, som till skillnad från de allra flesta matematiker, var en rik man, 100 tusen mark till den som skulle bevisa den stora satsen under de kommande 100 åren. I början av seklet gick ränta på det testamenterade beloppet till statskassan vid det berömda universitetet i Goethanghent. Med dessa pengar bjöds ledande matematiker in att hålla föredrag och bedriva vetenskapligt arbete. Då var priskommitténs ordförande redan nämnda David Gilbert. Han ville verkligen inte betala bonusen.
"Lyckligtvis," sa den store matematikern, "det verkar som om vi inte har en matematiker, förutom jag, som skulle kunna göra denna uppgift, men jag kommer aldrig att våga döda gåsen som lägger guldägg åt oss."
Det är några år kvar till deadline 2007, utsedd av Wolfskehl, och det tycks mig vara en allvarlig fara över "Hilberts kyckling". Men det handlar egentligen inte om bonusen. Det är en fråga om nyfikenhet i tanke och mänsklig uthållighet. De kämpade i mer än trehundra år, men de bevisade det ändå!
Och vidare. För mig är det mest intressanta i hela den här historien: hur bevisade Fermat själv sin stora sats? Trots allt var alla dagens matematiska knep okända för honom. Och bevisade han det överhuvudtaget? Det finns trots allt en version som han verkade ha bevisat, men han hittade själv ett fel och skickade därför inte beviset till andra matematiker och glömde att stryka över posten i marginalen till Diophantus volym. Därför förefaller det mig som att beviset för den stora satsen uppenbarligen har ägt rum, men hemligheten bakom Fermats sats kvarstår, och det är osannolikt att vi någonsin kommer att avslöja det...
Fermat kan ha tagit fel då, men han misstog sig inte när han skrev: ”Kanske kommer eftervärlden att vara mig tacksam för att ha visat dem att de gamla inte visste allt, och detta kan tränga in i medvetandet hos dem som kommer efter mig för att passera fackla till sina söner..."
Det finns inte många människor i världen som aldrig har hört talas om Fermats sista teorem - kanske är detta det enda matematiska problemet som har blivit så allmänt känt och har blivit en riktig legend. Det nämns i många böcker och filmer, och det huvudsakliga sammanhanget för nästan alla omnämnanden är omöjligheten att bevisa teoremet.
Ja, detta teorem är mycket välkänt och har på sätt och vis blivit en "idol" som dyrkas av amatörer och professionella matematiker, men få människor vet att dess bevis hittades, och detta hände redan 1995. Men först till kvarn.
Så, Fermats sista sats (ofta kallad Fermats sista sats), formulerad 1637 av den briljante franske matematikern Pierre Fermat, är mycket enkel i grunden och förståelig för alla med gymnasieutbildning. Det står att formeln a i potensen av n + b till potensen av n = c till potensen av n inte har naturliga (det vill säga inte bråk) lösningar för n > 2. Allt verkar enkelt och tydligt, men bästa matematiker och vanliga amatörer kämpade med att söka efter en lösning i mer än tre och ett halvt århundrade.
Varför är hon så känd? Nu får vi veta...
Finns det många bevisade, obevisade och ännu obevisade satser? Poängen här är att Fermats sista teorem representerar den största kontrasten mellan enkelheten i formuleringen och komplexiteten i beviset. Fermats sista teorem är ett otroligt svårt problem, och ändå kan dess formulering förstås av alla med 5:e klass i gymnasiet, men inte ens varje professionell matematiker kan förstå beviset. Varken inom fysiken, kemi, biologi eller matematik finns det ett enda problem som skulle kunna formuleras så enkelt, men som förblev olöst så länge. 2. Vad består den av?
Låt oss börja med Pythagoras byxor. Formuleringen är verkligen enkel – vid första anblicken. Som vi vet från barndomen, "pytagoreiska byxor är lika på alla sidor." Problemet ser så enkelt ut eftersom det var baserat på ett matematiskt påstående som alla känner till - Pythagoras sats: i vilken rätvinklig triangel som helst är kvadraten som byggs på hypotenusan lika med summan av kvadraterna byggda på benen.
På 500-talet f.Kr. Pythagoras grundade det pytagoreiska brödraskapet. Pythagoréerna studerade bland annat heltalstripletter som tillfredsställde likheten x²+y²=z². De bevisade att det finns oändligt många pythagoras trippel och fick allmänna formler för att hitta dem. De försökte nog leta efter C och högre grader. Övertygade om att detta inte fungerade, övergav pytagoreerna sina värdelösa försök. Medlemmarna av brödraskapet var mer filosofer och esteter än matematiker.
Det vill säga, det är lätt att välja en uppsättning tal som perfekt uppfyller likheten x²+y²=z²
Med utgångspunkt från 3, 4, 5 - faktiskt förstår en yngre elev att 9 + 16 = 25.
Eller 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Bra.
Så det visar sig att de INTE är det. Det är här tricket börjar. Enkelhet är uppenbar, eftersom det är svårt att bevisa inte närvaron av något, utan tvärtom dess frånvaro. När du behöver bevisa att det finns en lösning kan och bör du helt enkelt presentera denna lösning.
Att bevisa frånvaro är svårare: någon säger till exempel: en sådan och en ekvation har inga lösningar. Lägg honom i en pöl? enkelt: bam - och här är lösningen! (ge lösning). Och det är det, motståndaren är besegrad. Hur bevisar man frånvaro?
Säg: "Jag har inte hittat sådana lösningar"? Eller så kanske du inte såg bra ut? Tänk om de finns, bara väldigt stora, väldigt stora, så att även en superkraftig dator fortfarande inte har tillräckligt med styrka? Det är det här som är svårt.
Detta kan visas visuellt så här: om du tar två rutor av lämplig storlek och plockar isär dem till enhetsrutor, får du från detta gäng enhetsrutor en tredje ruta (Fig. 2): 
Men låt oss göra samma sak med den tredje dimensionen (fig. 3) - det fungerar inte. Det finns inte tillräckligt med kuber, eller så finns det extra kvar:
Men 1600-talsmatematikern fransmannen Pierre de Fermat studerade entusiastiskt den allmänna ekvationen x n + y n = z n. Och till sist drog jag slutsatsen: för n>2 finns det inga heltalslösningar. Fermats bevis är oåterkalleligt förlorat. Manuskript brinner! Allt som återstår är hans anmärkning i Diophantus' Arithmetic: "Jag har hittat ett verkligt fantastiskt bevis på detta förslag, men marginalerna här är för smala för att innehålla det."
Egentligen kallas ett teorem utan bevis för en hypotes. Men Fermat har ett rykte om att aldrig göra misstag. Även om han inte lämnade bevis på ett uttalande bekräftades det i efterhand. Dessutom bevisade Fermat sin tes för n=4. Således gick hypotesen om den franske matematikern till historien som Fermats sista teorem.
Efter Fermat arbetade så stora hjärnor som Leonhard Euler med sökandet efter ett bevis (1770 föreslog han en lösning för n = 3),
Adrien Legendre och Johann Dirichlet (dessa forskare hittade tillsammans beviset för n = 5 1825), Gabriel Lamé (som hittade beviset för n = 7) och många andra. I mitten av 80-talet av förra seklet stod det klart att den vetenskapliga världen var på väg mot den slutliga lösningen av Fermats sista sats, men först 1993 såg och trodde matematiker att trehundratalets epos att söka efter bevis för Fermats sista teorem var praktiskt taget över.
Det är lätt att visa att det räcker att bevisa Fermats teorem endast för enkla n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... För sammansatt n förblir beviset giltigt. Men det finns oändligt många primtal...
År 1825, med hjälp av Sophie Germains metod, bevisade kvinnliga matematiker, Dirichlet och Legendre oberoende satsen för n=5. År 1839, med samma metod, visade fransmannen Gabriel Lame sanningen i satsen för n=7. Gradvis bevisades satsen för nästan alla n mindre än hundra.
Slutligen visade den tyske matematikern Ernst Kummer i en lysande studie att satsen i allmänhet inte kan bevisas med hjälp av 1800-talets matematikmetoder. Priset från den franska vetenskapsakademin, som inrättades 1847 för att bevisa Fermats teorem, förblev obedelat.
1907 bestämde sig den rike tyske industrimannen Paul Wolfskehl för att ta sitt liv på grund av obesvarad kärlek. Som en äkta tysk satte han datum och tid för självmord: exakt vid midnatt. Den sista dagen gjorde han ett testamente och skrev brev till vänner och släktingar. Saker och ting slutade före midnatt. Det måste sägas att Paulus var intresserad av matematik. Eftersom han inte hade något annat att göra gick han till biblioteket och började läsa Kummers berömda artikel. Plötsligt tycktes det honom att Kummer hade gjort ett misstag i sitt resonemang. Wolfskel började analysera denna del av artikeln med en penna i händerna. Midnatt har passerat, morgonen har kommit. Luckan i beviset har fyllts. Och själva orsaken till självmord såg nu helt löjlig ut. Paul rev sina avskedsbrev och skrev om sitt testamente.
Han dog snart av naturliga orsaker. Arvingarna var ganska förvånade: 100 000 mark (mer än 1 000 000 nuvarande pund sterling) överfördes till kontot hos Royal Scientific Society of Göttingen, som samma år utlyste en tävling om Wolfskehl-priset. 100 000 mark tilldelades den person som bevisade Fermats teorem. Inte en pfennig tilldelades för att vederlägga teoremet...
De flesta professionella matematiker ansåg att sökandet efter ett bevis på Fermats sista sats var en hopplös uppgift och vägrade resolut att slösa tid på en sådan värdelös övning. Men amatörerna hade en viskning. Några veckor efter tillkännagivandet slog en lavin av "bevis" Högskolan i Göttingen. Professor E.M. Landau, vars ansvar var att analysera bevisen som skickades, delade ut kort till sina elever:
Kära. . . . . . . .
Tack för att du skickade mig manuskriptet med beviset på Fermats sista sats. Det första felet finns på sidan ... i rad... . På grund av det förlorar hela beviset sin giltighet.
Professor E. M. Landau
År 1963 bevisade Paul Cohen, med utgångspunkt i Gödels fynd, olösligheten hos ett av Hilberts tjugotre problem - kontinuumhypotesen. Tänk om Fermats sista sats också är obestämbar?! Men sanna Great Theorem-fanatiker blev inte alls besvikna. Tillkomsten av datorer gav plötsligt matematiker en ny metod för bevis. Efter andra världskriget bevisade team av programmerare och matematiker Fermats sista teorem för alla värden på n upp till 500, sedan upp till 1 000 och senare upp till 10 000.
På 1980-talet höjde Samuel Wagstaff gränsen till 25 000, och på 1990-talet förklarade matematiker att Fermats sista teorem var sann för alla värden på n upp till 4 miljoner. Men om du subtraherar ens en biljon biljon från oändligheten så blir den inte mindre. Matematiker är inte övertygade av statistik. Att bevisa den stora satsen innebar att bevisa den för ALLA n gå till oändligheten.
1954 började två unga japanska matematikvänner forska i modulära former. Dessa former genererar serier av tal, var och en med sin egen serie. Av en slump jämförde Taniyama dessa serier med serier genererade av elliptiska ekvationer. De matchade! Men modulära former är geometriska objekt, och elliptiska ekvationer är algebraiska. Någon koppling har aldrig hittats mellan så olika föremål.
Men efter noggranna tester lade vänner fram en hypotes: varje elliptisk ekvation har en tvilling - en modulär form, och vice versa. Det var denna hypotes som blev grunden för en hel riktning inom matematiken, men tills Taniyama-Shimura-hypotesen bevisades kunde hela byggnaden kollapsa när som helst.
1984 visade Gerhard Frey att en lösning på Fermats ekvation, om den finns, kan inkluderas i någon elliptisk ekvation. Två år senare bevisade professor Ken Ribet att denna hypotetiska ekvation inte kunde ha en motsvarighet i modulvärlden. Från och med nu var Fermats sista teorem oupplösligt kopplad till Taniyama-Shimura-förmodan. Efter att ha bevisat att någon elliptisk kurva är modulär drar vi slutsatsen att det inte finns någon elliptisk ekvation med en lösning på Fermats ekvation, och Fermats sista sats skulle omedelbart bevisas. Men under trettio år var det inte möjligt att bevisa Taniyama-Shimura-hypotesen, och det fanns mindre och mindre hopp om framgång.
1963, när han bara var tio år gammal, var Andrew Wiles redan fascinerad av matematik. När han lärde sig om den stora satsen insåg han att han inte kunde ge upp den. Som skolpojke, student och doktorand förberedde han sig för denna uppgift.
Efter att ha lärt sig om Ken Ribets fynd, kastade Wiles huvudstupa in i att bevisa Taniyama-Shimura-hypotesen. Han bestämde sig för att arbeta i fullständig isolering och i hemlighet. "Jag insåg att allt som hade med Fermats sista sats att göra väcker för stort intresse... Alltför många åskådare stör uppenbarligen uppnåendet av målet." Sju år av hårt arbete lönade sig, Wiles slutförde äntligen beviset på Taniyama-Shimura-förmodan.
År 1993 presenterade den engelske matematikern Andrew Wiles för världen sitt bevis på Fermats sista sats (Wiles läste hans sensationella artikel vid en konferens vid Sir Isaac Newton Institute i Cambridge.), arbetet pågick i mer än sju år.
Medan hajpen fortsatte i pressen började ett seriöst arbete med att verifiera bevisen. Varje bevis måste granskas noggrant innan beviset kan anses vara rigoröst och korrekt. Wiles tillbringade en rastlös sommar och väntade på feedback från recensenter, i hopp om att han skulle kunna vinna deras godkännande. I slutet av augusti fann experter att domen var otillräckligt underbyggd.
Det visade sig att detta beslut innehåller ett grovt fel, även om det generellt sett är korrekt. Wiles gav inte upp, kallade på hjälp av den berömda specialisten i talteori Richard Taylor, och redan 1994 publicerade de ett korrigerat och utökat bevis på teoremet. Det mest fantastiska är att detta arbete tog upp så många som 130 (!) sidor i den matematiska tidskriften "Annals of Mathematics". Men historien slutade inte heller där - den sista punkten nåddes först nästa år, 1995, när den sista och "ideala", ur en matematisk synvinkel, versionen av beviset publicerades.
"...en halv minut efter starten av den festliga middagen i samband med hennes födelsedag, gav jag Nadya manuskriptet till det fullständiga beviset" (Andrew Wales). Har jag ännu inte sagt att matematiker är konstiga människor?
Den här gången rådde ingen tvekan om bevisen. Två artiklar utsattes för den mest noggranna analysen och publicerades i maj 1995 i Annals of Mathematics.
Mycket tid har gått sedan det ögonblicket, men det finns fortfarande en åsikt i samhället att Fermats sista teorem är olöslig. Men även de som känner till bevisen som hittats fortsätter att arbeta i denna riktning - få är nöjda med att den stora satsen kräver en lösning på 130 sidor!
Därför kastas nu ansträngningarna från många matematiker (mestadels amatörer, inte professionella vetenskapsmän) in i sökandet efter ett enkelt och kortfattat bevis, men denna väg kommer troligen inte att leda någonstans...
källa